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数学において、実平面曲線は通常、実射影平面上で定義される実代数曲線です。
楕円形
実数体は代数的に閉じておらず、実射影平面内の平面曲線Cの幾何学でさえも閉じていません。特異点がないと仮定すると、 Cの実数はいくつかの楕円、つまり位相的に円である部分多様体を形成します。実射影平面には、2 つの要素を持つ巡回群である基本群があります。このような楕円は、いずれかのグループ要素を表します。言い換えると、平面内でそれを縮小できる場合とできない場合があります。無限遠直線L を取り除くと、アフィン平面の有限部分にとどまる楕円はすべて縮小可能になり、基本群の単位元を表します。したがって、他のタイプの楕円はL と交差する必要があります。
さまざまな楕円がどのように入れ子になっているかという疑問がまだ残っています。これはヒルベルトの第 16 の問題のテーマでした。古典的な結果については ハルナックの曲線定理を参照してください。