非心F分布

確率論および統計学において、非心F分布は、通常のF分布を非心的に一般化した連続確率分布です。これは、( X / n ₁ )/( Y / n ₂ )の商の分布を表します。ここで、分子Xは自由度n ₁の非心カイ二乗分布に従い、分母Yは自由度n ₂の中心カイ二乗分布に従います。また、 XとYは統計的に互いに独立している必要があります。

これは、帰無仮説が偽である場合の分散分析問題における検定統計量の分布です。非心F分布は、このような検定の検出力関数を求めるために使用されます。

もし${\displaystyle X}$は非心度パラメータを持つ非心カイ二乗確率変数である。${\displaystyle \lambda }$そして$\displaystyle \nu _{1}}$自由度、そして${\displaystyle Y}$はカイ二乗確率変数であり、$\displaystyle \nu _{2}}$統計的に独立した自由度${\displaystyle X}$、 それから

${\displaystyle F={\frac {X/\nu _{1}}{Y/\nu _{2}}}}$

は非心F分布に従う確率変数です。非心F分布の確率密度関数（pdf）は^{[ 1 ]です。}

${\displaystyle p(f)=\sum \limits _{k=0}^{\infty }{\frac {e^{-\lambda /2}(\lambda /2)^{k}}{B\left({\frac {\nu _{2}}{2}},{\frac {\nu _{1}}{2}}+k\right)k!}}\left({\frac {\nu _{1}}{\nu _{2}}}\right)^{{\frac {\nu _{1}}{2}}+k}\left({\frac {\nu _{2}}{\nu _{2}+\nu _{1}f}}\right)^{{\frac {\nu _{1}+\nu _{2}}{2}}+k}f^{\nu _{1}/2-1+k}}$

いつ${\displaystyle f\geq 0}$それ以外の場合はゼロ。自由度$\displaystyle \nu _{1}}$そして$\displaystyle \nu _{2}}$正の相関関係にある。${\displaystyle B(x,y)}$はベータ関数であり、

${\displaystyle B(x,y)={\frac {\Gamma (x)\Gamma (y)}{\Gamma (x+y)}}.}$

非心F分布の累積分布関数は

${\displaystyle F(x\mid d_{1},d_{2},\lambda )=\sum \limits _{j=0}^{\infty }\left({\frac {\left({\frac {1}{2}}\lambda \right)^{j}}{j!}}e^{-\lambda /2}\right)I\left({\frac {d_{1}x}{d_{2}+d_{1}x}}{\bigg |}{\frac {d_{1}}{2}}+j,{\frac {d_{2}}{2}}\right)}$

どこ${\displaystyle I}$は正則化された不完全ベータ関数です。

非心F分布の平均と分散は

${\displaystyle \operatorname {E} [F]\quad {\begin{cases}={\frac {\nu _{2}(\nu _{1}+\lambda )}{\nu _{1}(\nu _{2}-2)}}&{\text{if }}\nu _{2}>2\\{\text{存在しない}}&{\text{if }}\nu _{2}\leq 2\\\end{cases}}}$

そして

${\displaystyle \operatorname {Var} [F]\quad {\begin{cases}=2{\frac {(\nu _{1}+\lambda )^{2}+(\nu _{1}+2\lambda )(\nu _{2}-2)}{(\nu _{2}-2)^{2}(\nu _{2}-4)}}\left({\frac {\nu _{2}}{\nu _{1}}}\right)^{2}&{\text{if }}\nu _{2}>4\\{\text{存在しない}}&{\text{if }}\nu _{2}\leq 4.\\\end{cases}}}$

λ  = 0の場合 、非心F分布は F分布になります。

Z は、以下の条件を満たす場合に非心カイ二乗分布に従います。

${\displaystyle Z=\lim _{\nu _{2}\to \infty }\nu _{1}F}$

ここで、Fは非心F分布に従う。

非心t分布も参照してください。

二重非心F分布は、分子と分母に非心カイ二乗分布を持つ。 ^{[ 2 ]}

非心F分布は、 R言語（例：pf関数）、MATLAB（統計ツールボックスのncfcdf、ncfinv、ncfpdf、ncfrnd、ncfstat関数） 、 Mathematica（NoncentralFRatioDistribution関数）、NumPy（random.noncentral_f）、およびBoost C++ライブラリで実装されています。^{[ 3 ]}

ベルリン・フンボルト大学統計計量経済学研究所では、非心t分布、カイ二乗分布、F分布のインタラクティブなオンライン計算機をR言語で実装した共同Wikiページを公開している。^{[ 4 ]}

• Weisstein, Eric W. ; et  al. "非心F分布" . MathWorld . Wolfram Research, Inc . 2011年8月20日取得.