逆分布

確率論と統計学において、逆分布はランダム変数の逆数の分布です。逆分布は、特にスケールパラメータの事前分布と事後分布のベイズ文脈で発生します。ランダム変数の代数では、逆分布は比率分布のクラスの特殊なケースであり、分子ランダム変数は退化した分布を持ちます。

一般に、正の確率分布を持つランダム変数Xの確率分布が与えられれば、逆数の分布Y = 1 / Xを求めることができる。Xの分布が密度関数f ( x )と累積分布関数F ( x )と連続している場合、逆数の 累積分布関数G ( y )は次のように求められる。

${\displaystyle G(y)=\Pr(Y\leq y)=\Pr \left(X\geq {\frac {1}{y}}\right)=1-\Pr \left(X<{\frac {1}{y}}\right)=1-F\left({\frac {1}{y}}\right).}$

次に、 Yの密度関数は累積分布関数の導関数として求められます。

${\displaystyle g(y)={\frac {1}{y^{2}}}f\left({\frac {1}{y}}\right).}$

逆数分布の密度関数は次の式で表される^[1]。

${\displaystyle f(x)\propto x^{-1}\quad {\text{ for }}0<a<x<b,}$

ここで は「に比例する」という意味です。この場合の逆分布は次のような形になります。 ${\displaystyle \propto \!\,}$

${\displaystyle g(y)\propto y^{-1}\quad {\text{ for }}0\leq b^{-1}<y<a^{-1},}$

これもまた逆数分布です。

逆一様分布

パラメータ	${\displaystyle 0<a<b,\quad a,b\in \mathbb {R} }$
サポート	${\displaystyle [b^{-1},a^{-1}]}$
PDF	${\displaystyle y^{-2}{\frac {1}{ba}}}$
ドイツ連邦共和国	${\displaystyle {\frac {by^{-1}}{ba}}}$
平均	${\displaystyle {\frac {\ln(b)-\ln(a)}{ba}}}$
中央値	${\displaystyle {\frac {2}{a+b}}}$
分散	${\displaystyle {\frac {1}{a\cdot b}}-\left({\frac {\ln(b)-\ln(a)}{ba}}\right)^{2}}$

元のランダム変数Xが区間( a , b )に一様分布している場合( a >0)、逆変数Y = 1 / Xは範囲( b ⁻¹、a ⁻¹ )の値を取る逆分布を持ち、この範囲の確率密度関数は

${\displaystyle g(y)=y^{-2}{\frac {1}{ba}},}$

その他の場所ではゼロになります。

同じ範囲内での逆数の累積分布関数は、

${\displaystyle G(y)={\frac {by^{-1}}{ba}}.}$

例えば、Xが区間(0,1)に一様に分布している場合、Y = 1 / Xは密度 と累積分布関数を持ち、${\displaystyle g(y)=y^{-2}}$${\displaystyle G(y)={1-y^{-1}}}$${\displaystyle y>1.}$

Xをkの自由度を持つt分布のランダム変量とします。その密度関数は

${\displaystyle f(x)={\frac {1}{\sqrt {k\pi }}}{\frac {\Gamma \left({\frac {k+1}{2}}\right)}{\Gamma \left({\frac {k}{2}}\right)}}{\frac {1}{\left(1+{\frac {x^{2}}{k}}\right)^{\frac {1+k}{2}}}}.}$

Y = 1 / Xの密度は

${\displaystyle g(y)={\frac {1}{\sqrt {k\pi }}}{\frac {\Gamma \left({\frac {k+1}{2}}\right)}{\Gamma \left({\frac {k}{2}}\right)}}{\frac {1}{y^{2}\left(1+{\frac {1}{y^{2}k}}\right)^{\frac {1+k}{2}}}}.}$

k = 1の場合、 Xと 1 /  Xの分布は同一です ( Xはコーシー分布(0,1) になります)。k > 1 の場合、 1 / Xの分布は 二峰性になります。^{[引用が必要]}

変数が正規分布に従う場合、その逆数または逆数は逆正規分布に従う：^[2]${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {N}}(\mu ,\sigma ^{2})}$${\displaystyle Y={\frac {1}{X}}}$

${\displaystyle f(y)={\frac {1}{{\sqrt {2\pi }}\sigma y^{2}}}e^{-{\frac {1}{2}}\left({\frac {1/y-\mu }{\sigma }}\right)^{2}}.}$

変数Xが標準正規分布 に従う場合、Y  = 1/ Xは逆標準正規分布に従い、 裾が重く、双峰性があり、^[2] で最頻値が、密度が ${\displaystyle {\mathcal {N}}(0,1)}$${\displaystyle \pm {\tfrac {1}{\sqrt {2}}}}$

${\displaystyle f(y)={\frac {e^{-{\frac {1}{2y^{2}}}}}{{\sqrt {2\pi }}y^{2}}}}$

そして、1次および高次のモーメントは存在しません。^[2]このような逆分布や比分布の場合でも、区間の確率を定義することができ、モンテカルロシミュレーションまたは場合によってはギアリー・ヒンクリー変換を使用して計算することができます。^[3]

しかし、より一般的なケースであるシフト逆関数の場合、一般正規分布に従うため、極と平均の差が実数値であれば、平均と分散の統計は主値の意味で存在します。この変換されたランダム変数（逆シフト正規分布）の平均は、スケールドドーソン関数です。^[4]${\displaystyle 1/(pB)}$${\displaystyle B=N(\mu ,\sigma )}$${\displaystyle p}$${\displaystyle \mu}$

${\displaystyle {\frac {\sqrt {2}}{\sigma }}F\left({\frac {p-\mu }{{\sqrt {2}}\sigma }}\right).}$

対照的に、シフトが純粋に複素数である場合、平均が存在し、スケールされたファデーエワ関数であり、その正確な表現は虚数部の符号に依存します。 どちらの場合も、分散は平均の単純な関数です。^[5]したがって、 が実数である場合は分散を主値の意味で考慮する必要があり、 の虚数部がゼロでない場合は分散が存在します。 これらの平均と分散は、比率の線形化に再帰しないため、正確であることに注意してください。 異なる極のペアとを持つ2つの比率の正確な共分散も同様に利用できます。^[6]複素正規変数 の逆の場合は、シフトされているかどうかに関係なく、異なる特性を示します。^[4]${\displaystyle p-\mu }$${\displaystyle \operatorname {Im} (p-\mu )}$${\displaystyle p-\mu }$${\displaystyle p-\mu }$${\displaystyle p_{1}}$${\displaystyle p_{2}}$ ${\displaystyle B}$

が、レートパラメータ を持つ指数分布のランダム変数である場合、の累積分布関数は次のようになります。に対して。このランダム変数の期待値は存在しないことに注意してください。逆指数分布は、フェージング無線通信システムの解析に使用されます。 ${\displaystyle X}$${\displaystyle \lambda }$${\displaystyle Y=1/X}$${\displaystyle F_{Y}(y)=e^{-\lambda /y}}$${\displaystyle y>0}$

X がコーシー分布( μ , σ ) のランダム変数である場合、 1 / X はコーシー ( μ / C , σ / C ) のランダム変数であり、 C = μ ² + σ ²となります。

X がF ( ν ₁ , ν ₂ ) 分布のランダム変数である場合、1 / XはF ( ν ₂ , ν ₁ ) ランダム変数です。

が試行回数と成功確率を持つ二項分布に従って分布している 場合、逆数分布の閉じた形式はわかりません。ただし、この分布の平均を計算することはできます。 ${\displaystyle X}$${\displaystyle n}$${\displaystyle p}$

${\displaystyle E\left[{\frac {1}{(1+X)}}\right]={\frac {1}{p(n+1)}}\left(1-(1-p)^{n+1}\right)}$

逆分布の非中心モーメントの漸近近似は知られている。^[7]

${\displaystyle E[(1+X)^{a}]=O((np)^{-a})+o(n^{-a})}$

ここで、O() と o() はそれぞれ大小のo 次関数であり、は実数です。 ${\displaystyle a}$

下限がa、上限がb、モードがcの三角分布（ a  <  b、a  ≤  c  ≤  b）の場合、逆数の平均は次のように表される。

${\displaystyle \mu ={\frac {2\left({\frac {a\,\mathrm {ln} \left({\frac {a}{c}}\right)}{a-c}}+{\frac {b\,\mathrm {ln} \left({\frac {c}{b}}\right)}{b-c}}\right)}{a-b}}}$

そして、

${\displaystyle \sigma ^{2}={\frac {2\left({\frac {\mathrm {ln} \left({\frac {c}{a}}\right)}{a-c}}+{\frac {\mathrm {ln} \left({\frac {b}{c}}\right)}{b-c}}\right)}{a-b}}-\mu ^{2}}$。

逆数の両方のモーメントは、三角形がゼロを横切らないとき、つまり、a、b、およびcがすべて正かすべて負の場合にのみ定義されます。

その他の逆分布としては

逆カイ二乗分布

逆ガンマ分布

逆ウィシャート分布

逆行列ガンマ分布

逆分布は、スケールパラメータのベイズ推論における事前分布として広く使用されています。

• 調和平均
• 比率分布
• 自己相反分布