逆ガンマ分布

逆ガンマ

確率密度関数
累積分布関数
パラメータ	${\displaystyle \alpha >0}$ 形状（実物）規模（実物） ${\displaystyle \beta >0}$
サポート	${\displaystyle x\in (0,\infty )\!}$
PDF	${\displaystyle {\frac {\beta ^{\alpha }}{\Gamma (\alpha )}}x^{-\alpha -1}\exp \left(-{\frac {\beta }{x}}\right)}$
ドイツ連邦共和国	${\displaystyle {\frac {\Gamma (\alpha ,\beta /x)}{\Gamma (\alpha )}}\!}$
平均	${\displaystyle {\frac {\beta }{\alpha -1}}\!}$のために${\displaystyle \alpha >1}$
モード	${\displaystyle {\frac {\beta }{\alpha +1}}\!}$
分散	${\displaystyle {\frac {\beta ^{2}}{(\alpha -1)^{2}(\alpha -2)}}\!}$のために${\displaystyle \alpha >2}$
歪度	${\displaystyle {\frac {4{\sqrt {\alpha -2}}}{\alpha -3}}\!}$のために${\displaystyle \alpha >3}$
過剰尖度	${\displaystyle {\frac {6(5\,\alpha -11)}{(\alpha -3)(\alpha -4)}}\!}$のために${\displaystyle \alpha >4}$
エントロピ	${\displaystyle \alpha \!+\!\ln(\beta \Gamma (\alpha ))\!-\!(1\!+\!\alpha )\psi (\alpha )}$ （ディガンマ関数を参照）
MGF の	存在しません。
CF	${\displaystyle {\frac {2\left(-i\beta t\right)^{\!\!{\frac {\alpha }{2}}}}{\Gamma (\alpha )}}K_{\alpha }\left({\sqrt {-4i\beta t}}\right)}$

確率論と統計学において、逆ガンマ分布は、正の実数直線上の連続確率分布の 2 パラメータ族であり、ガンマ分布に従って分布する変数の逆数の分布です。

おそらく逆ガンマ分布の主な用途はベイズ統計学であり、無情報事前分布が使用される場合は正規分布の未知の分散に対する周辺事後分布として分布が生じ、情報事前分布が必要な場合は解析的に扱いやすい共役事前分布として分布が生じます。一部のベイズ主義者の間では、分散の逆数として定義される精度の観点から正規分布の別のパラメータ化を検討するのが一般的であり、これによりガンマ分布を共役事前分布として直接使用できます。他のベイズ主義者は、スケールされた逆カイ2乗分布として逆ガンマ分布を異なる方法でパラメータ化することを好みます。

逆ガンマ分布の確率密度関数はサポート上で定義される。 ${\displaystyle x>0}$

${\displaystyle f(x;\alpha ,\beta )={\frac {\beta ^{\alpha }}{\Gamma (\alpha )}}(1/x)^{\alpha +1}\exp \left(-\beta /x\right)}$

形状パラメータ は、 スケールパラメータはである。^[1] ここで はガンマ関数を表す。 ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle \beta }$${\displaystyle \Gamma (\cdot )}$

やや似た指数項を含むガンマ分布とは異なり、密度関数が次を満たすため、 はスケールパラメータです。 ${\displaystyle \beta }$

${\displaystyle f(x;\alpha ,\beta )={\frac {f(x/\beta ;\alpha ,1)}{\beta }}}$

累積分布関数は正規化されたガンマ関数である

${\displaystyle F(x;\alpha ,\beta )={\frac {\Gamma \left(\alpha ,{\frac {\beta }{x}}\right)}{\Gamma (\alpha )}}=Q\left(\alpha ,{\frac {\beta }{x}}\right)\!}$

ここで、分子は上側不完全ガンマ関数、分母はガンマ関数です。多くの数学パッケージでは、正規化されたガンマ関数 を直接計算できます。${\displaystyle Q}$

とすると、逆ガンマ分布の - 次モーメントは^{[2]で与えられる。}${\displaystyle \alpha >n}$${\displaystyle n}$

${\displaystyle \mathrm {E} [X^{n}]=\beta ^{n}{\frac {\Gamma (\alpha -n)}{\Gamma (\alpha )}}={\frac {\beta ^{n}}{(\alpha -1)\cdots (\alpha -n)}}.}$

逆ガンマ分布の特性関数 は、第 2 種の 修正ベッセル関数です。$${\displaystyle {\frac {2\left(-i\beta t\right)^{\!\!{\frac {\alpha }{2}}}}{\Gamma (\alpha )}}K_{\alpha }\left({\sqrt {-4i\beta t}}\right)}$$${\displaystyle K_{\alpha }}$

およびについては、 ${\displaystyle \alpha >0}$${\displaystyle \beta >0}$

${\displaystyle \mathbb {E} [\ln(X)]=\ln(\beta )-\psi (\alpha )\,}$

そして

${\displaystyle \mathbb {E} [X^{-1}]={\frac {\alpha }{\beta }},\,}$

情報エントロピーは

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {H} (X)&=\operatorname {E} [-\ln(p(X))]\\&=\operatorname {E} \left[-\alpha \ln(\beta )+\ln(\Gamma (\alpha ))+(\alpha +1)\ln(X)+{\frac {\beta }{X}}\right]\\&=-\alpha \ln(\beta )+\ln(\Gamma (\alpha ))+(\alpha +1)\ln(\beta )-(\alpha +1)\psi (\alpha )+\alpha \\&=\alpha +\ln(\beta \Gamma (\alpha ))-(\alpha +1)\psi (\alpha ).\end{aligned}}}$

ここで、 は ディガンマ関数です。 ${\displaystyle \psi (\alpha )}$

逆ガンマ( α _q , β _q ) からの逆ガンマ( α _p , β _p ) のカルバック ライブラー発散は、ガンマ( α _q , β q ) からのガンマ( α _p , β _p )の KL 発散と同じです。β _q ):

${\displaystyle D_{\mathrm {KL} }(\alpha _{p},\beta _{p};\alpha _{q},\beta _{q})=\mathbb {E} \left[\log {\frac {\rho (X)}{\pi (X)}}\right]=\mathbb {E} \left[\log {\frac {\rho (1/Y)}{\pi (1/Y)}}\right]=\mathbb {E} \left[\log {\frac {\rho _{G}(Y)}{\pi _{G}(Y)}}\right],}$

ここで、 は逆ガンマ分布のpdfであり、は _ガンマ分布のpdfであり、_はGamma( αp、βp )分布です。 ${\displaystyle \rho ,\pi }$${\displaystyle \rho _{G},\pi _{G}}$${\displaystyle Y}$

${\displaystyle {\begin{aligned}D_{\mathrm {KL} }(\alpha _{p},\beta _{p};\alpha _{q},\beta _{q})={}&(\alpha _{p}-\alpha _{q})\psi (\alpha _{p})-\log \Gamma (\alpha _{p})+\log \Gamma (\alpha _{q})+\alpha _{q}(\log \beta _{p}-\log \beta _{q})+\alpha _{p}{\frac {\beta _{q}-\beta _{p}}{\beta _{p}}}.\end{aligned}}}$

• ならば、​${\displaystyle X\sim {\mbox{Inv-Gamma}}(\alpha ,\beta )}$${\displaystyle kX\sim {\mbox{Inv-Gamma}}(\alpha ,k\beta )\,}$${\displaystyle k>0}$
• ならば（逆カイ二乗分布）${\displaystyle X\sim {\mbox{Inv-Gamma}}(\alpha ,{\tfrac {1}{2}})}$${\displaystyle X\sim {\mbox{Inv-}}\chi ^{2}(2\alpha )\,}$
• ならば（スケール逆カイ二乗分布）${\displaystyle X\sim {\mbox{Inv-Gamma}}({\tfrac {\alpha }{2}},{\tfrac {1}{2}})}$${\displaystyle X\sim {\mbox{Scaled Inv-}}\chi ^{2}(\alpha ,{\tfrac {1}{\alpha }})\,}$
• ならば（レヴィ分布）${\displaystyle X\sim {\textrm {Inv-Gamma}}({\tfrac {1}{2}},{\tfrac {c}{2}})}$${\displaystyle X\sim {\textrm {Levy}}(0,c)\,}$
• ならば（指数分布）${\displaystyle X\sim {\textrm {Inv-Gamma}}(1,c)}$${\displaystyle {\tfrac {1}{X}}\sim {\textrm {Exp}}(c)\,}$
• (速度パラメータを持つガンマ分布)の場合(詳細については次の段落の導出を参照)${\displaystyle X\sim {\mbox{Gamma}}(\alpha ,\beta )\,}$${\displaystyle \beta }$${\displaystyle {\tfrac {1}{X}}\sim {\mbox{Inv-Gamma}}(\alpha ,\beta )\,}$
• （尺度パラメータを持つガンマ分布）の場合、${\displaystyle X\sim {\mbox{Gamma}}(k,\theta )}$${\displaystyle \theta }$${\displaystyle 1/X\sim {\mbox{Inv-Gamma}}(k,1/\theta )}$
• 逆ガンマ分布はタイプ5ピアソン分布の特殊なケースである。
• 逆ガンマ分布の多変量一般化は逆ウィシャート分布です。
• 独立した逆ガンマ変数の合計の分布については、Witkovsky (2001)を参照。

とし、ガンマ分布のpdfは ${\displaystyle X\sim {\mbox{Gamma}}(\alpha ,\beta )}$

${\displaystyle f_{X}(x)={\frac {\beta ^{\alpha }}{\Gamma (\alpha )}}x^{\alpha -1}e^{-\beta x}}$、。${\displaystyle x>0}$

はガンマ分布の観点から見たレートパラメータである ことに注意してください。${\displaystyle \beta }$

変換を定義する。すると、のpdfは ${\displaystyle Y=g(X)={\tfrac {1}{X}}}$${\displaystyle Y}$

${\displaystyle {\begin{aligned}f_{Y}(y)&=f_{X}\left(g^{-1}(y)\right)\left|{\frac {d}{dy}}g^{-1}(y)\right|\\[6pt]&={\frac {\beta ^{\alpha }}{\Gamma (\alpha )}}\left({\frac {1}{y}}\right)^{\alpha -1}\exp \left({\frac {-\beta }{y}}\right){\frac {1}{y^{2}}}\\[6pt]&={\frac {\beta ^{\alpha }}{\Gamma (\alpha )}}\left({\frac {1}{y}}\right)^{\alpha +1}\exp \left({\frac {-\beta }{y}}\right)\\[6pt]&={\frac {\beta ^{\alpha }}{\Gamma (\alpha )}}\left(y\right)^{-\alpha -1}\exp \left({\frac {-\beta }{y}}\right)\\[6pt]\end{aligned}}}$

逆ガンマ分布の観点からは、 はスケールパラメータであることに注意してください。 これは、 がスケールパラメータであるための条件を満たすことを見れば簡単に証明できます。 ${\displaystyle {\beta }}$${\displaystyle {\beta }}$

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {f(y/\beta ;\alpha ,1)}{\beta }}&={\frac {1}{\beta }}{\frac {1}{\Gamma (\alpha )}}\left({\frac {y}{\beta }}\right)^{-\alpha -1}\exp(-{\frac {1}{\frac {y}{\beta }}})\\[6pt]&={\frac {\beta ^{\alpha }}{\Gamma (\alpha )}}\left(y\right)^{-\alpha -1}\exp(-{\frac {\beta }{y}})\\[6pt]&=f(y;\alpha ,\beta )\end{aligned}}}$

• ウィーナー過程の到達時間分布はレヴィ分布に従う。これは逆ガンマ分布の特殊なケースであり、 となる。^[3]${\displaystyle \alpha =0.5}$

• ガンマ分布
• 逆カイ二乗分布
• 正規分布
• ピアソン分布

• Hoff, P. (2009). 「ベイズ統計手法入門」 Springer.
• Witkovsky, V. (2001). 「逆ガンマ変数の線形結合の分布の計算」Kybernetika . 37 (1): 79–90. MR  1825758. Zbl  1263.62022.