一般化ガンマ分布

一般化ガンマ

確率密度関数
パラメータ	${\displaystyle a>0}$（規模）、${\displaystyle d,p>0}$
サポート	${\displaystyle x\;\in \;(0,\,\infty )}$
PDF	${\displaystyle {\frac {p/a^{d}}{\Gamma (d/p)}}x^{d-1}e^{-(x/a)^{p}}}$
ドイツ連邦共和国	${\displaystyle {\frac {\gamma (d/p,(x/a)^{p})}{\Gamma (d/p)}}}$
平均	${\displaystyle a{\frac {\Gamma ((d+1)/p)}{\Gamma (d/p)}}}$
モード	${\displaystyle a\left({\frac {d-1}{p}}\right)^{\frac {1}{p}}\mathrm {for} \;d>1,\mathrm {otherwise} \;0}$
分散	${\displaystyle a^{2}\left({\frac {\Gamma ((d+2)/p)}{\Gamma (d/p)}}-\left({\frac {\Gamma ((d+1)/p)}{\Gamma (d/p)}}\right)^{2}\right)}$
エントロピ	${\displaystyle \ln {\frac {a\Gamma (d/p)}{p}}+{\frac {d}{p}}+a\left({\frac {1}{p}}-{\frac {d}{p}}\right)\psi \left({\frac {d}{p}}\right)}$

一般化ガンマ分布は、 2 つの形状パラメータ（およびスケールパラメータ）を持つ連続 確率分布です。これは、 1 つの形状パラメータ（およびスケールパラメータ）を持つガンマ分布の一般化です。生存分析のパラメトリック モデルでよく使用される多くの分布（指数分布、ワイブル分布、ガンマ分布など）は、一般化ガンマの特殊なケースであるため、特定のデータ セットにどのパラメトリック モデルが適切かを判断するために使用されることがあります。^[1]別の例としては、半正規分布があります。

一般化ガンマ分布は、2つの形状パラメータ、 および、尺度パラメータ、を持つ。一般化ガンマ分布の非負のxに対して、確率密度関数は^[2]である。${\displaystyle d>0}$${\displaystyle p>0}$${\displaystyle a>0}$

${\displaystyle f(x;a,d,p)={\frac {(p/a^{d})x^{d-1}e^{-(x/a)^{p}}}{\Gamma (d/p)}},}$

ここで はガンマ関数を表します。 ${\displaystyle \Gamma (\cdot )}$

累積分布関数は

${\displaystyle F(x;a,d,p)={\frac {\gamma (d/p,(x/a)^{p})}{\Gamma (d/p)}},{\text{または}}\,P\left({\frac {d}{p}},\left({\frac {x}{a}}\right)^{p}\right);}$

ここで、 は下側不完全ガンマ関数を表し、 は正規化された下側不完全ガンマ関数を表します。 ${\displaystyle \gamma (\cdot )}$${\displaystyle P(\cdot ,\cdot )}$

分位関数は、と のパラメータを持つガンマ分布の累積分布関数であることに注目することで見つけることができます。分位関数は、合成関数の逆関数に関する既知の関係を使用して を反転することで得られ、次の式が得られます。 ${\displaystyle F(x;a,d,p)=G((x/a)^{p})}$${\displaystyle G}$${\displaystyle \alpha =d/p}$${\displaystyle \beta =1}$${\displaystyle F}$

${\displaystyle F^{-1}(q;a,d,p)=a\cdot {\big [}G^{-1}(q){\big ]}^{1/p},}$

はガンマ分布の分位関数です。 ${\displaystyle G^{-1}(q)}$${\displaystyle \alpha =d/p,\,\beta =1}$

• すると、一般化ガンマ分布はワイブル分布になります。${\displaystyle d=p}$
• 一般化ガンマがガンマ分布になる場合。${\displaystyle p=1}$
• すると指数分布になります。${\displaystyle p=d=1}$
• するとレイリー分布になります。${\displaystyle p=d=2}$
• の場合には、仲上分布となる。${\displaystyle p=2}$${\displaystyle d=2m}$
• の場合には半正規分布になります。${\displaystyle p=2}$${\displaystyle d=1}$

この分布の代替パラメータ化が時々使用される。例えば、 α = d/pの置換である。^[3]さらに、シフトパラメータを追加して、xの定義域がゼロ以外の値から始まるようにすることができる。^[3] a、d、pの符号の制限も解除すると（ただし、α = d / pは正のまま）、 1925年にこれを説明したイタリアの数学者で経済学者のルイジ・アモローゾにちなんで、アモローゾ分布と呼ばれる分布が得られる。 ^[4]

Xが上記のように一般化ガンマ分布に従う場合、 ^[3]

${\displaystyle \operatorname {E} (X^{r})=a^{r}{\frac {\Gamma ({\frac {d+r}{p}})}{\Gamma ({\frac {d}{p}})}}.}$

GG(a,d,p) をパラメータa、d、pの一般化ガンマ分布と表します。と2 つの正の実数が与えられている場合、 であれば、 および となります 。 ${\displaystyle c}$${\displaystyle \alpha}$${\displaystyle f\simGG(a,d,p)}$${\displaystyle cf\sim GG(ca,d,p)}$${\displaystyle f^{\alpha }\sim GG\left(a^{\alpha },{\frac {d}{\alpha }},{\frac {p}{\alpha }}\right)}$

とが2つの一般化ガンマ分布の確率密度関数である場合、それらのカルバック・ライブラー・ダイバージェンスは次のように与えられる。 ${\displaystyle f_{1}}$${\displaystyle f_{2}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}D_{KL}(f_{1}\parallel f_{2})&=\int _{0}^{\infty }f_{1}(x;a_{1},d_{1},p_{1})\,\ln {\frac {f_{1}(x;a_{1},d_{1},p_{1})}{f_{2}(x;a_{2},d_{2},p_{2})}}\,dx\\&=\ln {\frac {p_{1}\,a_{2}^{d_{2}}\,\Gamma \left(d_{2}/p_{2}\right)}{p_{2}\,a_{1}^{d_{1}}\,\Gamma \left(d_{1}/p_{1}\right)}}+\left[{\frac {\psi \left(d_{1}/p_{1}\right)}{p_{1}}}+\ln a_{1}\right](d_{1}-d_{2})+{\frac {\Gamma {\bigl (}(d_{1}+p_{2})/p_{1}{\bigr )}}{\Gamma \left(d_{1}/p_{1}\right)}}\left({\frac {a_{1}}{a_{2}}}\right)^{p_{2}}-{\frac {d_{1}}{p_{1}}}\end{aligned}}}$

ここで、はディガンマ関数である。^[5]${\displaystyle \psi (\cdot )}$

Rプログラミング言語には、一般化ガンマ分布のフィッティングと生成のための関数を含むパッケージがいくつかあります。R の gamlss パッケージを使用すると、一般化ガンマ (family=GG) を含むさまざまな分布ファミリのフィッティングと生成が可能です。R の他のオプションには、パッケージflexsurvに実装されている関数dgengamma (パラメータ化: 、、)と、パッケージggamma (パラメータ化: 、、) があります。${\displaystyle \mu =\ln a+{\frac {\ln d-\ln p}{p}}}$${\displaystyle \sigma ={\frac {1}{\sqrt {pd}}}}$${\displaystyle Q={\sqrt {\frac {p}{d}}}}$${\displaystyle a=a}$${\displaystyle b=p}$${\displaystyle k=d/p}$

Pythonプログラミング言語では、これはSciPyパッケージで実装されており、パラメーター化は、、スケールは 1 です。 ${\displaystyle c=p}$${\displaystyle a=d/p}$

• 半t分布
• 切断正規分布
• 折り畳み正規分布
• 正規分布
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