X線変換

数学において、X線変換（レイ変換^[1]またはジョン変換とも呼ばれる）は、1938年にフリッツ・ジョンによって導入された積分変換^{[2]であり、現代の}積分幾何学の基礎の1つです。これはラドン変換と非常に密接に関連しており、2次元ではラドン変換と一致します。より高次元では、関数のX線変換は、ラドン変換のように超平面上で積分するのではなく、直線上で積分することによって定義されます。X線変換は、関数ƒのX線変換が、密度が関数ƒで表される不均質媒体の断層撮影スキャンの減衰データを表すため、X線トモグラフィー（ CTスキャンで使用される）にちなんで名付けられました。したがって、X線変換の逆変換は、既知の減衰データから未知の密度ƒを再構築できるため、実用上重要です。

詳細には、ƒ がユークリッド空間R ⁿ上のコンパクトに支えられた 連続関数である場合、 ƒのX線変換は、R ⁿのすべての直線の集合上で次のように 定義される関数Xƒである。

${\displaystyle Xf(L)=\int _{L}f=\int _{\mathbf {R} }f(x_{0}+t\theta )dt}$

ここで、x _{0 は}直線上の始点であり、θ は直線Lの方向を与えるR ⁿの単位ベクトルです。後者の積分は有向的な意味では考えられず、ユークリッド直線L上の 1 次元ルベーグ測度に関する積分です。

X 線変換は、ジョン方程式と呼ばれる超双曲波動方程式を満たします。

ガウス関数または通常の超幾何関数は、X 線変換として記述できます。(Gelfand、Gindikin、Graev 2003、2.1.2)

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