SAMV（アルゴリズム）

SAMV（反復スパース漸近最小分散^{[1] [2]}）は、信号処理、医療用画像処理、リモートセンシングに応用されるスペクトル推定、到来方向（DOA）推定、断層再構成における線形逆問題のためのパラメータフリーの超解像アルゴリズムです。この名前は、漸近最小分散（AMV）基準に基づいていることを強調するために2013年に付けられました^[1]。これは、困難な環境（スナップショットの数が限られており、信号対雑音比が低いなど）で、相関の高い複数のソースの振幅と周波数の両方の特性を回復するための強力なツールです。用途には、合成開口レーダー、^{[2] [3]}コンピューター断層撮影スキャン、磁気共鳴画像（MRI）などがあります。

SAMVアルゴリズムの定式化は、DOA推定の文脈における逆問題として与えられる。要素の均一線形アレイ（ULA）が、それぞれ位置 にあるソースから放射された狭帯域信号を受信すると仮定する。ULAのセンサーは、特定の時間にわたってスナップショットを蓄積する。次元スナップショットベクトルは、 ${\displaystyle M}$${\displaystyle K}$${\displaystyle \mathbf {\theta } =\{\theta _{a},\ldots ,\theta _{K}\}}$${\displaystyle N}$${\displaystyle M\times 1}$

${\displaystyle \mathbf {y} (n)=\mathbf {A} \mathbf {x} (n)+\mathbf {e} (n),n=1,\ldots ,N}$

ここで、はステアリング行列、にはソース波形が含まれ、はノイズ項です。、 はディラックデルタであり、 の場合にのみ 1 に等しく、それ以外の場合は 0 に等しいと仮定します。また、と は独立であり、 、ただしであると仮定します。を未知の信号電力とノイズ分散を含むベクトル とします。 ${\displaystyle \mathbf {A} =[\mathbf {a} (\theta _{1}),\ldots ,\mathbf {a} (\theta _{K})]}$${\displaystyle {\bf {x}}(n)=[{\bf {x}}_{1}(n),\ldots ,{\bf {x}}_{K}(n)]^{T}}$${\displaystyle {\bf {e}}(n)}$${\displaystyle \mathbf {E} \left({\bf {e}}(n){\bf {e}}^{H}({\bar {n}})\right)=\sigma {\bf {I}}_{M}\delta _{n,{\bar {n}}}}$${\displaystyle \delta _{n,{\bar {n}}}}$${\displaystyle n={\bar {n}}}$${\displaystyle {\bf {e}}(n)}$${\displaystyle {\bf {x}}(n)}$${\displaystyle \mathbf {E} \left({\bf {x}}(n){\bf {x}}^{H}({\bar {n}})\right)={\bf {P}}\delta _{n,{\bar {n}}}}$${\displaystyle {\bf {P}}=\operatorname {Diag} ({p_{1},\ldots ,p_{K}})}$${\displaystyle {\bf {p}}}$${\displaystyle {\bf {p}}=[p_{1},\ldots ,p_{K},\sigma ]^{T}}$

に関するすべての情報を含む共 分散行列は${\displaystyle {\bf {y}}(n)}$${\displaystyle {\boldsymbol {\bf {p}}}}$

${\displaystyle {\bf {R}}={\bf {A}}{\bf {P}}{\bf {A}}^{H}+\sigma {\bf {I}}.}$

この共分散行列は、標本共分散行列によって伝統的に推定することができる。行列にベクトル化演算子を適用した後、得られたベクトルは未知のパラメータと次のように 線形関係にある。${\displaystyle {\bf {R}}_{N}={\bf {Y}}{\bf {Y}}^{H}/N}$${\displaystyle {\bf {Y}}=[{\bf {y}}(1),\ldots ,{\bf {y}}(N)]}$${\displaystyle {\bf {R}}}$${\displaystyle {\bf {r}}({\boldsymbol {\bf {p}}})=\operatorname {vec} ({\bf {R}})}$${\displaystyle {\boldsymbol {\bf {p}}}}$

${\displaystyle {\bf {r}}({\boldsymbol {\bf {p}}})=\operatorname {vec} ({\bf {R}})={\bf {S}}{\boldsymbol {\bf {p}}}}$、

ここで 、、、、とし、は クロネッカー 積とし ます。${\displaystyle {\bf {S}}=[{\bf {S}}_{1},{\bar {\bf {a}}}_{K+1}]}$${\displaystyle {\bf {S}}_{1}=[{\bar {\bf {a}}}_{1},\ldots ,{\bar {\bf {a}}}_{K}]}$${\displaystyle {\bar {\bf {a}}}_{k}={\bf {a}}_{k}^{*}\otimes {\bf {a}}_{k}}$${\displaystyle k=1,\ldots ,K}$${\displaystyle {\bar {\bf {a}}}_{K+1}=\operatorname {vec} ({\bf {I}})}$${\displaystyle \otimes }$

統計量からパラメータを推定するために、漸近最小分散基準に基づく一連の反復SAMVアプローチを開発する。^[1]によれば、 2次統計量に基づく任意の一貫した推定量の共分散行列は、実対称正定値行列によって制限される 。${\displaystyle {\boldsymbol {\bf {p}}}}$${\displaystyle {\bf {r}}_{N}}$${\displaystyle \operatorname {Cov} _{\boldsymbol {p}}^{\operatorname {Alg} }}$${\displaystyle {\boldsymbol {p}}}$${\displaystyle {\bf {r}}_{N}}$

${\displaystyle \operatorname {Cov} _{\boldsymbol {p}}^{\operatorname {Alg} }\geq [{\bf {S}}_{d}^{H}{\bf {C}}_{r}^{-1}{\bf {S}}_{d}]^{-1},}$

ここで、 である。さらに、この下限は、 の漸近分布の共分散行列を最小化することによって得られる。 ${\displaystyle {\bf {S}}_{d}={\rm {d}}{\bf {r}}({\boldsymbol {p}})/{\rm {d}}{\boldsymbol {p}}}$${\displaystyle {\hat {\bf {p}}}}$

${\displaystyle {\hat {\boldsymbol {p}}}=\arg \min _{\boldsymbol {p}}f({\boldsymbol {p}}),}$

どこ ${\displaystyle f({\boldsymbol {p}})=[{\bf {r}}_{N}-{\bf {r}}({\boldsymbol {p}})]^{H}{\bf {C}}_{r}^{-1}[{\bf {r}}_{N}-{\bf {r}}({\boldsymbol {p}})].}$

したがって、 の推定値は反復的に取得できます。 ${\displaystyle {\boldsymbol {\bf {p}}}}$

を最小化する とは次のように計算できます。とが回目の反復である程度近似されていると仮定すると、 回目の反復で次のように改良できます。 ${\displaystyle \{{\hat {p}}_{k}\}_{k=1}^{K}}$${\displaystyle {\hat {\sigma }}}$${\displaystyle f({\boldsymbol {p}})}$${\displaystyle {\hat {p}}_{k}^{(i)}}$${\displaystyle {\hat {\sigma }}^{(i)}}$${\displaystyle i}$${\displaystyle (i+1)}$

${\displaystyle {\hat {p}}_{k}^{(i+1)}={\frac {{\bf {a}}_{k}^{H}{\bf {R}}^{-1{(i)}}{\bf {R}}_{N}{\bf {R}}^{-1{(i)}}{\bf {a}}_{k}}{({\bf {a}}_{k}^{H}{\bf {R}}^{-1{(i)}}{\bf {a}}_{k})^{2}}}+{\hat {p}}_{k}^{(i)}-{\frac {1}{{\bf {a}}_{k}^{H}{\bf {R}}^{-1{(i)}}{\bf {a}}_{k}}},\quad k=1,\ldots ,K}$

${\displaystyle {\hat {\sigma }}^{(i+1)}=\left(\operatorname {Tr} ({\bf {R}}^{-2^{(i)}}{\bf {R}}_{N})+{\hat {\sigma }}^{(i)}\operatorname {Tr} ({\bf {R}}^{-2^{(i)}})-\operatorname {Tr} ({\bf {R}}^{-1^{(i)}})\right)/{\operatorname {Tr} {({\bf {R}}^{-2^{(i)}})}},}$

ここで、 番目の反復におけるの推定値は、で与えられます。 ${\displaystyle {\bf {R}}}$${\displaystyle i}$${\displaystyle {\bf {R}}^{(i)}={\bf {A}}{\bf {P}}^{(i)}{\bf {A}}^{H}+{\hat {\sigma }}^{(i)}{\bf {I}}}$${\displaystyle {\bf {P}}^{(i)}=\operatorname {Diag} ({\hat {p}}_{1}^{(i)},\ldots ,{\hat {p}}_{K}^{(i)})}$

ほとんどの圧縮センシングベースの音源位置特定技術の解像度は、位置パラメータ空間をカバーする方向グリッドの細かさによって制限されます。^[4]スパース信号回復モデルでは、真の信号のスパース性は、過剰完全辞書内の隣接する要素間の距離に依存するため、最適な過剰完全辞書を選択することが困難になります。計算の複雑さは方向グリッドの細かさに正比例し、高密度のグリッドは計算上実用的ではありません。グリッドによって課せられるこの解像度の制限を克服するために、グリッドフリーのSAMV-SML (反復スパース漸近最小分散 - 確率的最大尤度) が提案されています。^[1]これは、単一のスカラーパラメータに関する確率的最大尤度コスト関数を反復的に最小化することで位置推定値を改善します。 ${\displaystyle \mathbf {x} (n)}$${\displaystyle {\bf {A}}}$${\displaystyle {\boldsymbol {\bf {\theta }}}=(\theta _{1},\ldots ,\theta _{K})^{T}}$${\displaystyle \theta _{k}}$

SISO レーダー/ソナー 距離-ドップラー画像化問題における SAMV アルゴリズムの典型的な応用。この画像化問題は単一スナップショットの応用であり、単一スナップショット推定と互換性のあるアルゴリズム、すなわち整合フィルタ(MF、ピリオドグラムまたはバックプロジェクションに似ており、高速フーリエ変換(FFT)として効率的に実装されることが多い)、IAA、 ^[5]、および SAMV アルゴリズムのバリアント (SAMV-0) が含まれています。シミュレーション条件は次と同じです: ^[5]要素多相パルス圧縮P3 コードが送信パルスとして使用され、合計 9 つの移動ターゲットがシミュレートされます。すべての移動ターゲットのうち、3 つはdB パワーで、残りの 6 つは dB パワーです。受信信号は、dB パワーの均一な白色ガウス ノイズで汚染されていると想定されます。 ${\displaystyle 30}$${\displaystyle 5}$${\displaystyle 25}$${\displaystyle 0}$

整合フィルタ検出結果には、ドップラーと距離領域の両方で深刻なスミアリングとリーク効果の影響を受けるため、dB ターゲットを区別することはできません。対照的に、IAA アルゴリズムは、観測可能なターゲット距離推定値とドップラー周波数を備えた強化された画像化結果を提供します。SAMV-0 アプローチは、非常にスパースな結果を提供し、スミアリング効果を完全に排除しますが、弱いdB ターゲットを見逃します。 ${\displaystyle 5}$${\displaystyle 5}$

SAMV アルゴリズムのオープン ソースMATLAB実装は、ここからダウンロードできます。

• アレイ処理 – 信号処理の研究分野
• 整合フィルタ – ある意味で最適な信号処理で使用されるフィルタ。
• ピリオドグラム – 信号のスペクトル密度の推定
• フィルタ逆投影 – 積分変換（ラドン変換）
• 多重信号分類 – 周波数推定と無線方向探知（MUSIC）に使用されるアルゴリズム。一般的なパラメトリック超解像法です。
• パルスドップラーレーダー – レーダーシステムの種類
• 超解像イメージング – 従来の限界を超えてイメージングシステムの解像度を向上させる技術
• 圧縮センシング - 信号処理技術
• 逆問題 – 一連の観測結果を生み出す原因要因を計算するプロセス
• 断層再構成 – 有限数の投影から物体の特性を推定する