投影スライス定理

数学において、 2 次元における射影スライス定理、中心スライス定理、またはフーリエスライス定理は、次の 2 つの計算の結果が等しいことを述べています。

• 2次元関数f ( r ) を取り、それを (1次元の) 線に投影し(たとえば、ラドン変換を使用)、その投影のフーリエ変換を実行します。
• 同じ関数を取りますが、最初に 2 次元フーリエ変換を実行し、次に投影線に平行な原点を通してスライスします。

演算子の用語で言えば、

• F ₁と F _{2 は}、上で述べた1次元と2次元のフーリエ変換演算子であり、
• P ₁は射影演算子（2次元関数を1次元線に射影する）であり、
• S ₁はスライス演算子（関数から1次元の中心スライスを抽出する）である。

それから

${\displaystyle F_{1}P_{1}=S_{1}F_{2}.}$

この考え方はより高い次元にまで拡張できます。

この定理は、例えば、医療用 CTスキャンの分析に使用されます。このスキャンでは、内部臓器の X 線画像が「投影」されます。これらの画像のフーリエ変換は、内部臓器の 3 次元密度のフーリエ変換によるスライスとして見られ、これらのスライスを補間して、その密度の完全なフーリエ変換を構築できます。次に、逆フーリエ変換を使用して、オブジェクトの 3 次元密度を復元します。この手法は、 1956 年にRonald N. Bracewellによって電波天文学の問題のために初めて導き出されました。^[1]

N次元では、射影スライス定理は、 N次元関数 f ( r ) のm次元線形部分多様体への射影のフーリエ変換は、その関数のN次元フーリエ変換のm次元スライス に等しいことを述べています。このスライスは、フーリエ空間内の原点を通る、射影部分多様体に平行なm次元線形部分多様体から構成されます。演算子の用語では、次のようになります。

${\displaystyle F_{m}P_{m}=S_{m}F_{N}.\,}$

N次元への一般化に加えて、射影スライス定理は任意の基底変換によってさらに一般化することができる。^{[2]表記の便宜上、基底変換は}N次元列ベクトル上で動作するN行N列の可逆行列Bで表されると考える。すると、一般化されたフーリエスライス定理は次のように表現できる。

${\displaystyle F_{m}P_{m}B=S_{m}{\frac {B^{-T}}{|B^{-T}|}}F_{N}}$

ここで、は基底変換の変更の逆の転置です。 ${\displaystyle B^{-T}=(B^{-1})^{T}}$

投影スライス定理は、2 次元の場合に簡単に証明できます。一般性を失うことなく、投影線をx軸とすることができます。シフトおよび回転した線を使用する場合でも、法則が適用されるため、一般性が失われることはありません。シフトした線 (y 方向) を使用すると、同じ投影が得られ、したがって同じ 1D フーリエ変換結果が得られます。回転した関数は、回転したフーリエ変換のフーリエ ペアであり、この場合も定理が当てはまります。

f ( x ,  y )が2次元関数である場合、 f ( x ,  y )のx軸への投影はp ( x )であり、ここで

${\displaystyle p(x)=\int _{-\infty }^{\infty }f(x,y)\,dy.}$

のフーリエ変換は ${\displaystyle f(x,y)}$

${\displaystyle F(k_{x},k_{y})=\int _{-\infty }^{\infty }\int _{-\infty }^{\infty }f(x,y)\, e^{-2\pi i(xk_{x}+yk_{y})}\,dxdy.}$

スライスは${\displaystyle s(k_{x})}$

${\displaystyle s(k_{x})=F(k_{x},0)=\int _{-\infty }^{\infty }\int _{-\infty }^{\infty }f(x,y)\,e^{-2\pi ixk_{x}}\,dxdy}$

${\displaystyle =\int _{-\infty }^{\infty }\left[\int _{-\infty }^{\infty }f(x,y)\,dy\right]\,e^{-2\pi ixk_{x}}dx}$

${\displaystyle =\int _{-\infty }^{\infty }p(x)\,e^{-2\pi ixk_{x}}dx}$

これは単にp ( x )のフーリエ変換です。高次元の場合の証明は上記の例から簡単に一般化できます。

2次元関数f ( r ) が円対称である場合、r  = | r |としてf ( r ) と表すことができます。この場合、任意の投影線への投影はf ( r )のアーベル変換になります。 f ( r ) の2次元フーリエ変換は、 f ( r )の0次ハンケル変換によって与えられる円対称関数になり、したがって、原点を通る任意のスライスも表します。投影スライス定理は、投影のフーリエ変換がスライスまたはに等しいことを述べています。

${\displaystyle F_{1}A_{1}=H,}$

ここで、A _{1 は}2 次元の円対称関数を 1 次元の線に投影するアーベル変換演算子を表し、F _{1 は}1 次元のフーリエ変換演算子を表し、H は0 次ハンケル変換演算子を表します。

投影スライス定理は、平行ビーム投影によるCT画像再構成に適しています。ファンビームCTやコーンビームCTには直接適用されません。この定理は、1995年にShuang-ren ZhaoによってファンビームCTとコーンビームCTの画像再構成に拡張されました。^[3]

• ラドン変換 § フーリエ変換との関係

• Bracewell, Ronald N. (1990). 「数値変換」. Science . 248 (4956): 697–704. Bibcode :1990Sci...248..697B. doi :10.1126/science.248.4956.697. PMID  17812072. S2CID  5643835.
• Bracewell, Ronald N. (1956). 「電波天文学におけるストリップ積分」. Aust. J. Phys . 9 (2): 198. Bibcode :1956AuJPh...9..198B. doi : 10.1071/PH560198 .
• ガスキル、ジャック D. (2005)。線形システム、フーリエ変換、光学。ジョン ワイリー アンド サンズ、ニューヨーク。ISBN 978-0-471-29288-3。
• Ng, Ren (2005). 「フーリエスライス写真」(PDF) . ACM Transactions on Graphics . 24 (3): 735–744. doi :10.1145/1073204.1073256.
• Zhao, Shuang-Ren; Halling, Horst (1995)。「一般化フーリエ法による自由線源経路による円錐ビーム投影の再構成」。放射線学および核医学における完全 3 次元画像再構成に関する 1995 年国際会議議事録: 323–7。
• Garces, Daissy H.; Rhodes, William T.; Peña, Néstor (2011). 「投影スライス定理: コンパクトな表記法」。Journal of the Optical Society of America A . 28 (5): 766–769. Bibcode :2011JOSAA..28..766G. doi :10.1364/JOSAA.28.000766. PMID  21532686.

• フーリエスライス定理 (ビデオ)。「コンピューター断層撮影と ASTRA ツールボックス」コースの一部。アントワープ大学。2015 年 9 月 10 日。