フロイデンタールのスペクトル定理

数学において、フロイデンタールのスペクトル定理は、1936年にハンス・フロイデンタールによって証明されたリース空間理論の結果です。これは、主射影特性を持つリース空間内の正の要素によって支配される任意の要素は、ある意味で単純な関数によって一様に近似できることを大まかに述べています。

フロイデンタールのスペクトル定理からは、数多くのよく知られた結果が導かれます。よく知られているラドン・ニコディムの定理、ポアソン公式の妥当性、正規作用素の理論からのスペクトル定理はすべて、フロイデンタールのスペクトル定理の特殊なケースとして示されることができます。

e をリース空間Eの任意の正の元とします。Eのpの正の元は、のときeの成分と呼ばれます。 が e の互いに素な成分である場合、の任意の実線型結合はe単純関数と呼ばれます。 ${\displaystyle p\wedge (ep)=0}$${\displaystyle p_{1},p_{2},\ldots ,p_{n}}$${\displaystyle p_{1},p_{2},\ldots ,p_{n}}$

フロイデンタールのスペクトル定理は、次のように述べます。E を主射影特性を持つ任意のリース空間とし、eをE内の任意の正の元とします。すると、 eによって生成される主イデアル内の任意の元fに対して、 e単純関数 のシーケンスとが存在し、 は単調増加でe一様収束してfに収束し、 は 単調減少でe一様収束してfに収束します。 ${\displaystyle \{s_{n}\}}$${\displaystyle \{t_{n}\}}$${\displaystyle \{s_{n}\}}$${\displaystyle \{t_{n}\}}$

を測度空間とし、を 上の符号付き加法測度の実空間とします。 は全変動ノルムを持つデデキント完全バナッハ格子であることが示され、したがって主射影特性を持ちます。任意の正測度 に対して、（上で定義した） - 単純関数は（通常の意味での）上の- 可測単純関数に正確に対応することが示されます。さらに、フロイデンタールのスペクトル定理により、によって生成されるバンド内の任意の測度は、上の - 可測単純関数によって下から単調に近似できるため、ルベーグの単調収束定理により は関数に対応することが示され、 によって生成されるバンドとバナッハ格子の間に等長格子同型性が確立されます。 ${\displaystyle (X,\Sigma )}$${\displaystyle M_{\sigma}}$${\displaystyle \sigma}$${\displaystyle (X,\Sigma )}$${\displaystyle M_{\sigma}}$ ${\displaystyle \mu}$${\displaystyle \mu}$${\displaystyle \mu}$${\displaystyle (X,\Sigma )}$${\displaystyle \nu}$${\displaystyle \mu}$${\displaystyle \mu}$${\displaystyle (X,\Sigma )}$ ${\displaystyle \nu}$${\displaystyle L^{1}(X,\Sigma ,\mu )}$${\displaystyle \mu}$${\displaystyle L^{1}(X,\Sigma ,\mu )}$

• ラドン・ニコディムの定理

• Zaanen、Adrian C. (1996)、リース空間における作用素理論入門、Springer、ISBN 3-540-61989-5
• ザーネン、アドリアーン C.ルクセンブルク、WAJ (1971)、リース スペース I、北オランダ、ISBN 0-7204-2451-8