ホフスタッターの蝶

凝縮物質物理学において、ホフスタッターの蝶は、格子内の垂直磁場における相互作用しない 2 次元電子のスペクトル特性のグラフです。スペクトルのフラクタルな自己相似性は、ダグラス ホフスタッターの 1976 年の博士論文^[1]で発見され、現代の科学的データ視覚化の初期の例の 1 つです。この名前は、ホフスタッターが書いたように、「[グラフの] 大きなギャップが蝶に似た非常に印象的なパターンを形成する」という事実を反映しています。^[1]

ホフスタッターのバタフライは、整数量子ホール効果の理論と位相量子数の理論において重要な役割を果たします。

垂直な均​​一磁場の作用を受ける2次元格子上の電子の最初の数学的記述は、1950年代にルドルフ・パイエルスとその学生RGハーパーによって研究されました。 ^{[2] [3]}

ホフスタッターは、1976年に垂直磁場におけるブロッホ電子のエネルギーレベルに関する論文で初めてこの構造について説明しました。 ^[1]これは、ハーパー方程式のスペクトルをさまざまな周波数でグラフで表したものです。このスペクトルの数学的構造の重要な側面の1つ、つまり、特定の磁場の値に対するエネルギーバンドが単一の次元（エネルギー）に沿って分割されていることは、ソビエトの物理学者マーク・アズベルが1964年に^（ホフスタッターが引用した論文の中で）さりげなく言及していましたが、ホフスタッターはその研究を大幅に拡張し、磁場のすべての値をすべてのエネルギー値に対してプロットし、スペクトルの一意に再帰的な幾何学的特性を初めて明らかにした2次元プロットを作成しました。^[1]

ホフスタッターがオレゴン大学に在籍中に執筆した論文は、その後の研究の方向性を定める上で影響力を及ぼした。この論文では、理論的な根拠に基づいて、2次元正方格子内の電子の許容エネルギー準位値が、系に垂直に印加された磁場の関数として、現在ではフラクタル集合として知られているものを形成すると予測されていた。つまり、印加磁場の小規模な変化に対するエネルギー準位の分布は、大規模構造に見られるパターンを再帰的に繰り返すのである。 ^[1]ホフスタッターが「Gplot」と呼んだ図は、 1976年にPhysical Review B誌^{に掲載された論文[1]}で再帰構造として説明されているが、これはブノワ・マンデルブロが新たに造った「フラクタル」という語が英語のテキストで導入される前に書かれたものである。ホフスタッターは、1979年の著書『ゲーデル、エッシャー、バッハ』でもこの図について論じている。この構造は一般に「ホフスタッターの蝶」として知られるようになった。

デイビッド・J・サウレスと彼のチームは、蝶の羽がチャーン整数によって特徴付けられることを発見しました。これは、ホフスタッターのモデルにおけるホール伝導率を計算する方法を提供します。 ^[5]

1997年、散乱体の配列を備えたマイクロ波ガイドを用いた実験で、ホフスタッターバタフライが再現されました。^[6]散乱体を備えたマイクロ波ガイドの数学的記述と磁場中のブロッホ波の類似性により、散乱体の周期的なシーケンスに対してホフスタッターバタフライを再現することができました。

2001年、クリスチャン・アルブレヒト、クラウス・フォン・クリツィング、および同僚は、超格子ポテンシャル内の2次元電子ガスを用いて、ホフスタッターの蝶に関するサウレスらの予測を検証するための実験装置を実現した。^{[7] [2]}

2013年、3つの別々の研究グループが独立して、六方晶窒化ホウ素基板上に作製されたグラフェンデバイスにおけるホフスタッターバタフライスペクトルの証拠を報告しました。^{[8] [9] [10]}この場合、バタフライスペクトルは、グラフェン格子が窒化ホウ素に対してほぼゼロの角度の不一致で配向されたときに発生する大規模なモアレパターンと印加磁場との相互作用によって生じます。

2017年9月、グーグルのジョン・マルティニスのグループは、 CQTシンガポールのアンジェラキスのグループと共同で、9つの超伝導量子ビットで相互作用する光子を使用した垂直磁場内の2D電子のシミュレーション結果を発表しました。シミュレーションでは、予想通りホフスタッターのバタフライが再現されました。^[11]

2021年に、ねじれた二層グラフェンの第2魔法角で蝶が観測されました。 ^[12]

ホフスタッターは原著論文で、次のような導出を考察している。^[1]格子間隔 の2次元正方格子内の荷電量子粒子は、単一のブロッホバンドに制限された垂直静的均一磁場の下で、周期シュレーディンガー方程式で記述される。2次元正方格子の場合、緊密な結合エネルギー分散関係は ${\displaystyle a}$

${\displaystyle W(\mathbf {k} )=E_{0}(\cos k_{x}a+\cos k_{y}a)={\frac {E_{0}}{2}}(e^{ ik_{x}a}+e^{-ik_{x}a}+e^{ik_{y}a}+e^{-ik_{y}a})}$、

ここで、 はエネルギー関数、は結晶運動量、は経験的パラメータです。磁場 （磁気ベクトルポテンシャル）は、結晶運動量を正準運動量 （粒子運動量演算子、は粒子の電荷（電子の場合、は素電荷）に置き換えるパイエルス置換法を使用して考慮に入れることができます。便宜上、ゲージ を選びます。 ${\displaystyle W(\mathbf {k} )}$${\displaystyle \mathbf {k} =(k_{x},k_{y})}$${\displaystyle E_{0}}$${\displaystyle \mathbf {B} =\nabla \times \mathbf {A} }$${\displaystyle \mathbf {A} }$${\displaystyle \hbar \mathbf {k} \to \mathbf {p} -q\mathbf {A} }$${\displaystyle \mathbf {p} =(p_{x},p_{y})}$${\displaystyle q}$${\displaystyle q=-e}$${\displaystyle e}$${\displaystyle \mathbf {A} =(0,Bx,0)}$

は変換演算子なので、となり、ここでおよびは粒子の 2 次元波動関数です。を有効ハミルトニアンとして使用すると、次の時間に依存しないシュレーディンガー方程式が得られます。 ${\displaystyle e^{ip_{j}a}}$${\displaystyle e^{ip_{j}a}\psi (x,y)=\psi (x+a,y)}$${\displaystyle j=x,y,z}$${\displaystyle \psi (\mathbf {r} )=\psi (x,y)}$${\displaystyle W(\mathbf {p} -q\mathbf {A} )}$

${\displaystyle E\psi (x,y)={\frac {E_{0}}{2}}\left[\psi (x+a,y)+\psi (xa,y)+\psi (x ,y+a)e^{-iqBxa/\hbar }+\psi (x,ya)e^{+iqBxa/\hbar }\right].}$

粒子は格子内の点の間を飛び回ることしかできないことを考慮すると、 と書きます。ここで は整数です。ホフスタッターは、 という仮定を立てます。ここで はエネルギーに依存します。これにより、ハーパー方程式 (のほぼマシュー演算子としても知られています) が得られます。 ${\displaystyle x=na,y=ma}$${\displaystyle n,m}$${\displaystyle \psi (x,y)=g_{n}e^{i\nu m}}$${\displaystyle \nu}$${\displaystyle \lambda =1}$

${\displaystyle g_{n+1}+g_{n-1}+2\cos(2\pin\alpha -\nu )g_{n}=\epsilon g_{n},}$

ここで、およびは格子セルを通る磁束に比例し、は磁束量子である。磁束比は磁気長によって次のように表すこともできる。^[1]${\displaystyle \epsilon =2E/E_{0}}$${\displaystyle \alpha =\phi (B)/\phi _{0}}$${\displaystyle \phi (B)=Ba^{2}}$${\displaystyle \phi _{0}=2\pi \hbar /q}$${\displaystyle \alpha}$${\textstyle l_{\rm {m}}={\sqrt {\hbar /eB}}}$${\textstyle \alpha =(2\pi )^{-1}(a/l_{\rm {m}})^{2}}$

ホフスタッターのバタフライは、フラックス比 の関数としてをプロットしたものです。ここで、 はハーパー方程式の解となる 可能性のあるすべての の集合です。${\displaystyle \epsilon _{\alpha }}$${\displaystyle \alpha}$${\displaystyle \epsilon _{\alpha }}$${\displaystyle \epsilon }$

余弦関数の特性により、パターンは周期 1 で周期的になります(単位セルあたりの量子フラックスごとに繰り返されます)。 0 から 1 の領域にあるグラフは、直線と で反射対称性を持ちます。^{[1] は}必ず -4 から 4 の間に制限されることに注意してください。^[1]${\displaystyle \alpha}$${\displaystyle \alpha}$${\displaystyle \alpha ={\frac {1}{2}}}$${\displaystyle \epsilon =0}$${\displaystyle \epsilon }$

ハーパー方程式には、解が の有理性に依存するという特別な性質があります。 に周期性を課すことで、 （有理数）（ただし、 と は異なる素数）であれば、エネルギーバンドがちょうど 個存在することがわかります。^[1]が大きい の場合、エネルギーバンドはランダウ準位に対応する薄いエネルギーバンドに収束します。 ${\displaystyle \alpha}$${\displaystyle n}$${\displaystyle \alpha =P/Q}$${\displaystyle P}$${\displaystyle Q}$${\displaystyle Q}$${\displaystyle Q\gg P}$

グレゴリー・ワニエは、状態密度を考慮すると、系を記述するディオファントス方程式が得られることを示した。 ^[13]

${\displaystyle {\frac {n}{n_{0}}}=S+T\alpha }$

どこ

${\displaystyle n=\int _{-4}^{\epsilon _{\rm {F}}}\rho (\epsilon )\mathrm {d} \epsilon \;;\;n_{0}=\int _{-4}^{4}\rho (\epsilon )\mathrm {d} \epsilon }$

ここで、 と は整数、 は与えられた における状態密度です。ここで はフェルミエネルギーまでの状態数を数え、 は完全に満たされたバンド ( から ) のレベルに対応します。この式は、ハーパー方程式のすべての解を特徴付けます。最も重要なことは、が無理数のとき、 の解が無限に存在することを導出できることです。 ${\displaystyle S}$${\displaystyle T}$${\displaystyle \rho (\epsilon )}$${\displaystyle \alpha}$${\displaystyle n}$${\displaystyle n_{0}}$${\displaystyle \epsilon =-4}$${\displaystyle \epsilon =4}$${\displaystyle \alpha}$${\displaystyle \epsilon _{\alpha }}$

全ての和集合は、の有理値と無理値の間で不連続な自己相似フラクタルを形成する。この不連続性は非物理的であり、^[1]の有限の不確実性または有限サイズの格子に対して連続性が回復される。^[14]実際の実験で蝶を分解できるスケールは、システムの特定の条件に依存する。^[2]${\displaystyle \epsilon _{\alpha }}$${\displaystyle \alpha}$${\displaystyle B}$

2次元正方格子内の電子の状態図は、垂直磁場、化学ポテンシャル、温度の関数として、無限の相を持つ。Thoulessと同僚は、各相は整数ホール伝導度によって特徴付けられ、すべての整数値が許容されることを示した。これらの整数はチャーン数として知られている。^[2]

• オーブリー・アンドレモデル