基底変化定理

数学において、基底変換定理は層の順像と逆像を関連付けます。より正確には、次の層の 自然変換によって与えられる基底変換マップに関するものです。

${\displaystyle g^{*}(R^{r}f_{*}{\mathcal {F}})\to R^{r}f'_{*}(g'^{*}{\mathcal {F}})}$

どこ

${\displaystyle {\begin{array}{rcl}X'&{\stackrel {g'}{\to }}&X\\f'\downarrow &&\downarrow f\\S'&{\stackrel {g}{\to }}&S\end{array}}}$

は位相空間の直交座標であり、 X上の層です。 ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$

このような定理は、幾何学のさまざまな分野に存在します。(本質的に任意の)位相空間と固有写像fに対して、代数幾何学では (準) 連接層と固有fまたはg平坦に対して、解析幾何学では同様に、固有fまたはg平滑のエタール層に対しても存在します。

A が可換環で、BとA'が 2 つのA代数である場合、可換代数では単純な基底変更現象が発生します。とします。この状況では、B加群Mが与えられたときに、（ A'加群の） 同型が存在します。${\displaystyle B'=B\otimes _{A}A'}$

${\displaystyle (M\otimes _{B}B')_{A'}\cong (M_{A})\otimes _{A}A'.}$

ここで添え字は忘却関手、つまりMであるがA加群として扱われることを示している。実際、そのような同型性は、 ${\displaystyle M_{A}}$

${\displaystyle M\otimes _{B}B'=M\otimes _{B}B\otimes _{A}A'\cong M\otimes _{A}A'.}$

したがって、忘却関数とテンソル積という 2 つの演算は、上記の同型の意味では交換可能です。以下で説明する基底変換定理は、同様の種類のステートメントです。

以下に示す基底変換定理はすべて、（異なるタイプの層に対して、また関連する写像に関するさまざまな仮定の下で）次の基底変換写像が成り立つことを主張している。

${\displaystyle g^{*}(R^{r}f_{*}{\mathcal {F}})\to R^{r}f'_{*}(g'^{*}{\mathcal {F}})}$

は同型であり、

${\displaystyle {\begin{array}{rcl}X'&{\stackrel {g'}{\to }}&X\\f'\downarrow &&\downarrow f\\S'&{\stackrel {g}{\to }}&S\\\end{array}}}$

は直交座標を形成する位相空間間の連続写像であり、はX上の層である。^[1]ここで はfによるの高次の直接像、すなわち直接像（プッシュフォワードとも呼ばれる）関手の導来関手を表す。 ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$${\displaystyle R^{i}f_{*}{\mathcal {F}}}$${\displaystyle {\mathcal {F}}}$${\displaystyle f_{*}}$

この写像は写像fとgに関する仮定なしに存在します。これは次のように構築されます。 は の左随伴なので、自然な写像（単位写像と呼ばれる）があります。 ${\displaystyle g'^{*}}$${\displaystyle g'_{*}}$

${\displaystyle \operatorname {id} \to g'_{*}\circ g'^{*}}$

など

${\displaystyle R^{r}f_{*}\to R^{r}f_{*}\circ g'_{*}\circ g'^{*}.}$

グロタンディークのスペクトル列は、次の最初のマップと最後のマップ（エッジマップ）を与えます。

${\displaystyle R^{r}f_{*}\circ g'_{*}\circ g'^{*}\to R^{r}(f\circ g')_{*}\circ g'^{*}=R^{r}(g\circ f')_{*}\circ g'^{*}\to g_{*}\circ R^{r}f'_{*}\circ g'^{*}.}$

これを上記と組み合わせると

${\displaystyle R^{r}f_{*}\to g_{*}\circ R^{r}f'_{*}\circ g'^{*}.}$

と の随伴性を使用すると、最終的に目的のマップが生成されます。 ${\displaystyle g^{*}}$${\displaystyle g_{*}}$

上で述べた導入例は、この特殊なケース、すなわちアフィンスキームの場合であり、したがって、およびBモジュールMに関連付けられた準コヒーレント層の場合です。 ${\displaystyle X=\operatorname {Spec} (B),S=\operatorname {Spec} (A),S'=\operatorname {Spec} (A')}$${\displaystyle X'=\operatorname {Spec} (B')}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}:={\tilde {M}}}$

概念的には、単一の高次直接像関数のみを含む上記の基底変換写像を、一度にすべてをエンコードする写像にまとめると便利です。実際、上記と同様の議論により、S'上の層の導来カテゴリの写像が得られます。${\displaystyle R^{r}f_{*}}$

${\displaystyle g^{*}Rf_{*}({\mathcal {F}})\to Rf'_{*}(g'^{*}{\mathcal {F}})}$

ここで はの (全) 導出関数を表します。 ${\displaystyle Rf_{*}}$${\displaystyle f_{*}}$

Xがハウスドルフ 位相空間、Sが局所コンパクトハウスドルフ空間、fが普遍的に閉じている（つまり、任意の連続写像に対する閉写像である）場合、基底変化写像 ${\displaystyle X\times _{S}T\to T}$${\displaystyle T\to S}$

${\displaystyle g^{*}R^{r}f_{*}{\mathcal {F}}\to R^{r}f'_{*}g'^{*}{\mathcal {F}}}$

は同型である。^[2]実際、 に対して、 ${\displaystyle s\in S}$

${\displaystyle (R^{r}f_{*}{\mathcal {F}})_{s}=\varinjlim H^{r}(U,{\mathcal {F}})=H^{r}(X_{s},{\mathcal {F}}),\quad X_{s}=f^{-1}(s)}$

そして${\displaystyle s=g(t)}$

${\displaystyle g^{*}(R^{r}f_{*}{\mathcal {F}})_{t}=H^{r}(X_{s},{\mathcal {F}})=H^{r}(X'_{t},g'^{*}{\mathcal {F}})=R^{r}f'_{*}(g'^{*}{\mathcal {F}})_{t}.}$

のすべての個々の高次導関数を一つの実体にエンコードするために、上記のステートメントは、基底変化マップ ${\displaystyle f_{*}}$

${\displaystyle g^{*}Rf_{*}{\mathcal {F}}\to Rf'_{*}g'^{*}{\mathcal {F}}}$

は準同型である。

関係する空間がハウスドルフであるという仮定は、Schnürer & Soergel (2016) によって弱められました。

Lurie (2009)は上記の定理を非可換層コホモロジー、すなわち（可換群ではなく）単体集合に値を取る層に拡張した。 ^[3]

写像fが閉じていない場合、次の例が示すように、基底変換写像は同型である必要はありません (写像は標準的な包含です)。

${\displaystyle {\begin{array}{rcl}\emptyset &{\stackrel {g'}{\to }}&\mathbb {C} \setminus \{0\}\\f'\downarrow &&\downarrow f\\\{0\}&{\stackrel {g}{\to }}&\mathbb {C} \end{array}}}$

一方では、常にゼロですが、 が上の局所系で、基本群の表現（ Zと同型）に対応する場合、 は（任意の に対して）茎上ののモノドロミー作用の不変量として計算でき、これは必ずしもゼロになる必要はありません。 ${\displaystyle f'_{*}g'^{*}{\mathcal {F}}}$${\displaystyle {\mathcal {F}}}$${\displaystyle \mathbb {C} \setminus \{0\}}$ ${\displaystyle \pi _{1}(X)}$${\displaystyle g^{*}f_{*}{\mathcal {F}}}$${\displaystyle \pi _{1}(X,x)}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}_{x}}$${\displaystyle x\neq 0}$

基底変換結果を得るには、関数（またはその導関数）をコンパクトなサポートを持つ直接像に置き換える必要があります。たとえば、上の例のように が開部分集合の包含である場合、 はゼロによる拡張であり、つまり、その茎は次のように与えられます。 ${\displaystyle f_{*}}$ ${\displaystyle Rf_{!}}$${\displaystyle f:X\to S}$${\displaystyle Rf_{!}{\mathcal {F}}}$

${\displaystyle (Rf_{!}{\mathcal {F}})_{s}={\begin{cases}{\mathcal {F}}_{s}&s\in X,\\0&s\notin X.\end{cases}}}$

一般に写像 が存在し、これはf が真であれば準同型であるが、一般にはそうではない。上述の真基底変換定理は次のように一般化される： 準同型^[4]が存在する。${\displaystyle Rf_{!}{\mathcal {F}}\to Rf_{*}{\mathcal {F}}}$

${\displaystyle g^{*}Rf_{!}{\mathcal {F}}\to Rf'_{!}g'^{*}{\mathcal {F}}.}$

準連接層に対する適切な基底変換定理は、次の状況で適用されます。はネータースキーム間の適切な射であり、 はS上で平坦な連接層です（つまり、上で平坦です）。 この状況では、次のステートメントが成り立ちます。^[5]${\displaystyle f:X\to S}$${\displaystyle {\mathcal {F}}}$${\displaystyle {\mathcal {F}}_{x}}$${\displaystyle {\mathcal {O}}_{S,f(x)}}$

• 「半連続性定理」：
  • それぞれについて、関数は上半連続です。${\displaystyle p\geq 0}$${\displaystyle s\mapsto \dim _{k(s)}H^{p}(X_{s},{\mathcal {F}}_{s}):S\to \mathbb {Z} }$
  • 関数は局所的に一定であり、 はオイラー特性を表します。${\displaystyle s\mapsto \chi ({\mathcal {F}}_{s})}$${\displaystyle \chi ({\mathcal {F}})}$
• 「グラウエルトの定理」：Sが簡約かつ連結である場合、それぞれに対して以下の式は同値である。 ${\displaystyle p\geq 0}$
  • ${\displaystyle s\mapsto \dim _{k(s)}H^{p}(X_{s},{\mathcal {F}}_{s})}$一定です。
  • ${\displaystyle R^{p}f_{*}{\mathcal {F}}}$ローカルに自由であり、自然な地図

${\displaystyle R^{p}f_{*}{\mathcal {F}}\otimes _{{\mathcal {O}}_{S}}k(s)\to H^{p}(X_{s},{\mathcal {F}}_{s})}$

はすべての に対して同型です。${\displaystyle s\in S}$

さらに、これらの条件が成立する場合、自然写像

${\displaystyle R^{p-1}f_{*}{\mathcal {F}}\otimes _{{\mathcal {O}}_{S}}k(s)\to H^{p-1}(X_{s},{\mathcal {F}}_{s})}$

はすべての に対して同型です。${\displaystyle s\in S}$

• もし、あるpに対して、すべてのに対して、自然写像${\displaystyle H^{p}(X_{s},{\mathcal {F}}_{s})=0}$${\displaystyle s\in S}$

${\displaystyle R^{p-1}f_{*}{\mathcal {F}}\otimes _{{\mathcal {O}}_{S}}k(s)\to H^{p-1}(X_{s},{\mathcal {F}}_{s})}$

はすべての に対して同型です。${\displaystyle s\in S}$

層の茎はfの下の点のファイバーのコホモロジーと密接に関係しているので、この文は「コホモロジーは基底拡大と可換である」と言い換えることができる。^[6]${\displaystyle R^{p}f_{*}{\mathcal {F}}}$

これらの記述は、上記の仮定に加えて、有限生成射影A加群の有限複体と関数の自然同型性が 存在するという以下の事実を用いて証明される。${\displaystyle S=\operatorname {Spec} A}$${\displaystyle 0\to K^{0}\to K^{1}\to \cdots \to K^{n}\to 0}$

${\displaystyle H^{p}(X\times _{S}\operatorname {Spec} -,{\mathcal {F}}\otimes _{A}-)\to H^{p}(K^{\bullet }\otimes _{A}-),p\geq 0}$

-代数のカテゴリについて。 ${\displaystyle A}$

ベース変更マップ

${\displaystyle g^{*}(R^{r}f_{*}{\mathcal {F}})\to R^{r}f'_{*}(g'^{*}{\mathcal {F}})}$

は、写像が平坦であるという条件のもとで、準連接層 （ 上）の同型である（いくつかの技術的条件に加えて、f は有限型 の分離射である必要があり、関係するスキームはネーター的である必要がある）。^[7]${\displaystyle {\mathcal {F}}}$${\displaystyle X}$${\displaystyle g:S'\rightarrow S}$

ベース変更マップを考慮すると、フラットベース変更の広範囲にわたる拡張が可能である。

${\displaystyle Lg^{*}Rf_{*}({\mathcal {F}})\to Rf'_{*}(Lg'^{*}{\mathcal {F}})}$

S'上の層の導来圏では、上で述べたのと同様に、 となる。ここでは、 - 加群の引き戻しの（全）導来関手となる（はテンソル積を含むため、gが平坦でない場合は正確ではなく、したがってその導来関手と等しくない）。この写像は、以下の条件が満たされる限り、準同型となる：^[8]${\displaystyle Lg^{*}}$${\displaystyle {\mathcal {O}}}$${\displaystyle g^{*}{\mathcal {G}}={\mathcal {O}}_{X}\otimes _{g^{-1}{\mathcal {O}}_{S}}g^{-1}{\mathcal {G}}}$${\displaystyle g^{*}}$${\displaystyle Lg^{*}}$

• ${\displaystyle S}$は準コンパクトであり、準コンパクトかつ準分離的である。${\displaystyle f}$
• ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$は、-加群の有界導来圏である の対象であり、そのコホモロジー層は準連接である（例えば、 は準連接層の有界複体である可能性がある）${\displaystyle D^{b}({\mathcal {O}}_{X}{\text{-mod}})}$${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}}$${\displaystyle {\mathcal {F}}}$
• ${\displaystyle X}$および は上でTor 独立であり、つまりおよび がを満たす場合、すべての整数 に対して、${\displaystyle S'}$${\displaystyle S}$${\displaystyle x\in X}$${\displaystyle s'\in S'}$${\displaystyle f(x)=s=g(s')}$${\displaystyle p\geq 1}$

${\displaystyle \operatorname {Tor} _{p}^{{\mathcal {O}}_{S,s}}({\mathcal {O}}_{X,x},{\mathcal {O}}_{S',s'})=0}$。

• 以下の条件のいずれかが満たされます。
  • ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$は に対して有限平坦振幅を持ちます。つまり、 はにおいて、ある有界区間の外側のすべての に対して -平坦である複素数に準同型です。同様に、 の任意の複素数に対して、 の外側のすべての に対してである区間が存在し、または${\displaystyle f}$${\displaystyle D^{-}(f^{-1}{\mathcal {O}}_{S}{\text{-mod}})}$${\displaystyle {\mathcal {F}}'}$${\displaystyle ({\mathcal {F}}')^{i}}$${\displaystyle f^{-1}{\mathcal {O}}_{S}}$${\displaystyle i}$${\displaystyle [m,n]}$${\displaystyle [m,n]}$${\displaystyle {\mathcal {G}}}$${\displaystyle D^{-}(f^{-1}{\mathcal {O}}_{S}{\text{-mod}})}$${\displaystyle \operatorname {Tor} _{i}({\mathcal {F}},{\mathcal {G}})=0}$${\displaystyle i}$${\displaystyle [m,n]}$
  • ${\displaystyle g}$は有限の Tor 次元を持ちます。つまり、 はに対して有限の平坦な振幅を持ちます。${\displaystyle {\mathcal {O}}_{S'}}$${\displaystyle g}$

この定式化の利点の 1 つは、平坦性仮説が弱められていることです。ただし、左辺と右辺のコホモロジーの具体的な計算には、グロタンディークのスペクトル列が必要になります。

導出代数幾何学は、プルバックをホモトピープルバックに置き換えることで、平坦性仮定を捨てる手段を提供する。最も簡単なケースでは、X、S、およびがアフィンである場合（上記の表記法を使用）、ホモトピープルバックは導出テンソル積 で与えられる。${\displaystyle X'}$${\displaystyle S'}$

${\displaystyle X'=\operatorname {Spec} (B'\otimes _{B}^{L}A)}$

そして、関係するスキーム（または、より一般的には、導出スキーム）が準コンパクトかつ準分離的であると仮定すると、自然変換は

${\displaystyle Lg^{*}Rf_{*}{\mathcal {F}}\to Rf'_{*}Lg'^{*}{\mathcal {F}}}$

は、任意の準連接層、またはより一般的には準連接層の複合体に対する準同型である。 ^[9] 前述の平坦な基底変換の結果は、実際には特殊なケースであり、gが平坦な場合、ホモトピー引き戻し（これは局所的には導出テンソル積によって与えられる）は通常の引き戻し（局所的には導出されていないテンソル積によって与えられる）と一致し、平坦なマップgおよびg'に沿った引き戻しは自動的に導出される（すなわち、）ためである。前述の基底変換定理における Tor 独立性または Tor 振幅に関連する補助的な仮定も不要になる。 ${\displaystyle Lg^{*}=g^{*}}$

上記の形式では、基底変更は Ben-Zvi、Francis & Nadler (2010) によって、写像 f が完全写像 (これには f がスキームの準コンパクトで準分離した写像である場合も含まれますが、特性 0 の代数群の分類スタック BG などのより一般的なスタックも含まれます) であるという条件で、X 、S、およびS 'が(おそらく導来)スタックである状況にまで拡張されています。

適切な基底変換は複素多様体や複素解析空間の文脈でも成り立つ。^[10]形式関数の定理は 適切な基底変換の変形であり、引き戻しが完了操作に置き換えられている。

アーベル多様体理論の基礎的事実であるシーソー原理と立方体の定理は、適切な基底変換の結果である。^[11]

基底変換はD加群に対しても成り立つ。X 、S、X'、S'が滑らかな多様体（ただしfとgは平坦や固有である必要はない）であれば、準同型が存在する。

${\displaystyle g^{\dagger }\int _{f}{\mathcal {F}}\to \int _{f'}g'^{\dagger }{\mathcal {F}},}$

ここで、およびはD加群の逆像関数と順像関数を表す。^[12]${\displaystyle -^{\dagger }}$${\displaystyle \int }$

エタール捩れ層 の場合、それぞれ適切な基底変更と滑らかな基底変更と呼ばれる2つの基底変更の結果があります。が適切な場合、基底変更が成り立ちます。^[13]また、fが準コンパクトであり、 の捩れがXの留数体の特性と素である場合、 gが滑らかな場合にも成り立ちます。^[14]${\displaystyle {\mathcal {F}}}$${\displaystyle f:X\rightarrow S}$${\displaystyle {\mathcal {F}}}$

適切な基底変換に密接に関連しているのは、次の事実です (通常、2 つの定理は同時に証明されます)。Xを可分閉体上の多様体と、上の構成可能層とします。すると、次の各ケースで は有限になります。 ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$${\displaystyle X_{\text{et}}}$${\displaystyle H^{r}(X,{\mathcal {F}})}$

• Xが完了しているか、
• ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$p はkの特性ですが、pねじれはありません。

追加の仮定の下で、デニンガー (1988) は適切な基底変換定理を非ねじれエタール層に拡張しました。

上で述べた位相的な状況とよく似て、開いた浸漬 fの基底変化写像は、

${\displaystyle g^{*}f_{*}{\mathcal {F}}\to f'_{*}g'^{*}{\mathcal {F}}}$

は通常同型ではない。^[15]代わりに、ゼロ関数による拡張は同型を満たす。 ${\displaystyle f_{!}}$

${\displaystyle g^{*}f_{!}{\mathcal {F}}\to f'_{!}g^{*}{\mathcal {F}}.}$

この事実と適切な基底変換は、写像fに対するコンパクトなサポートを備えた直接像関数を次のよう に定義することを示唆している。

${\displaystyle Rf_{!}:=Rp_{*}j_{!}}$

ここで はfのコンパクト化、すなわち、開いた浸漬への因数分解とそれに続く適切な写像です。これが明確に定義されていること、すなわち、コンパクト化の選択とは独立していること (同型性を除く) を示すには、適切な基底変換定理が必要です。さらに、位相空間上の層の場合と同様に、 vsの基底変換式は、非適切な写像fに対しても成り立ちます。 ${\displaystyle f=p\circ j}$${\displaystyle g_{*}}$${\displaystyle Rf_{!}}$

体k上のスキームの構造写像に対して、 の個々のコホモロジー (で表記) は、コンパクト台を持つコホモロジーと呼ばれる。これは、通常のエタールコホモロジーの重要な変形である。 ${\displaystyle f:X\to S=\operatorname {Spec} k}$${\displaystyle Rf_{!}({\mathcal {F}})}$${\displaystyle H_{c}^{*}(X,{\mathcal {F}})}$

同様の考え方は、 A1^{ホモトピー}理論における関手の類似物を構築するためにも使用される。^{[16] [17]}${\displaystyle Rf_{!}}$

• 代数幾何学におけるグロタンディークの相対的観点
• ベースの変更（曖昧さ回避）
• 保型形式の基底変換の解除

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