立方体の定理

数学において、立方定理は、 3つの完全多様体の積上の直線束が自明であるための条件である。これは、線型同値性の文脈において、イタリア代数幾何学学派によって発見された原理である。立方定理の最終版は、アンドレ・ヴェイユの功績として、ラング（1959年）によって初めて発表された。歴史に関する議論は、クライマン（2005年）によってなされている。層コホモロジーによる処理と、ピカール関手による記述は、マンフォード（2008年）によってなされている。

定理は、代数的に閉じた体上の任意の完全多様体 U、V、Wと、それらの点u、v、wに対して、 U × V × { w }、U × { v } × W、 { u } × V × Wのそれぞれに対して自明な制約を持つ任意の可逆層 Lは、それ自体が自明であると述べています。 (Mumford p. 55; そこでの結果は、多様体の 1 つは完全である必要はなく、連結スキームで置き換えることができるという点で、やや強力です。)

環空間 X上で、可逆層L がO _X加群としてO _Xに同型である場合、それは自明である。基底X が複素多様体である場合、可逆層は正則直線束(の切断の層) であり、自明とは、単に位相的に同値であるだけでなく、自明束と正則に同値であることを意味する。

ヴェイユの結果は、現在ではアーベル多様体の双対性理論で一般的に使われている概念である双拡大の観点から再表現されている。^[1]

平方定理（Lang 1959）（Mumford 2008、p.59）は、アーベル多様体 Aに適用される系（これもWeilによる）である。その定理の1つのバージョンは、関数φ _Lがx ∈ AをTにとると、^*
_×L ⊗ L ^−1はAからPic ( A )への 群準同型である（ただしT^*
_×は、線束上のxによる変換です。

• クライマン、スティーブン L. (2005)、「ピカール スキーム」、基礎代数幾何学、Math. Surveys Monogr.、vol. 123、プロビデンス、ロードアイランド州:アメリカ数学協会、pp. 235–321、arXiv : math/0504020、Bibcode :2005math......4020K、MR  2223410
• ラング、セルジュ (1959)、アーベル多様体、インターサイエンス純粋および応用数学論文集、第 7 巻、ニューヨーク: インターサイエンス パブリッシャーズ、MR  0106225
• マンフォード、デイビッド(2008) [1970]、アーベル多様体、タタ数学基礎研究所、第5巻、プロビデンス、ロードアイランド州：アメリカ数学会、ISBN 978-81-85931-86-9、MR  0282985、OCLC  138290