射影的に拡張された実数直線

実解析において、射影的に拡張された実数直線（実数直線の一点コンパクト化とも呼ばれる）は、実数の集合の拡張である。 $\mathbb {R}$ $、 \infty$ で表される点によって表される。^{[ 1 ]}したがって、それは集合である。 $\displaystyle \mathbb {R} \cup \{\infty \}}$ 可能な限り標準算術演算を拡張し、^{[ 1 ]}時には次のように表記される。 $\displaystyle \mathbb {R} ^{*}}$ ^{[ 2 ]}または ${\widehat {\mathbb {R} }}.$ 追加された点は、実数直線の両端の近傍にあるとみなされるため、無限遠点と呼ばれます。より正確には、無限遠点は、絶対値が増加かつ無限である実数列の極限です。

射影的に拡張された実数直線は、 3つの点に $0、1$ 、 $\infty$ という特定の値が割り当てられた実射影直線と同一視できる。射影的に拡張された実数直線は、 $+\infty$ $と$ −∞ $が区別される$ アフィン的に拡張された実数直線とは異なる。

ゼロで割る

ほとんどの数学的数値モデルとは異なり、この構造ではゼロ除算が可能です。

{\frac {a}{0}}=\infty

非ゼロのaに対して。特に、 $1 / 0 = \infty$ および $1 / \infty = 0$ であるため、逆関数 $1 / x$ はこの構造において全関数となります。[ 1 ^{]ただし、}この構造は体ではなく、二進算術演算はどれも全関数ではありません。たとえば、逆数は全関数であるにもかかわらず、 $0 \cdot \inftyは定義されていません。$ ^{[ 1 ]}ただし、この構造には使用可能な解釈があります。たとえば、幾何学では、垂直線の傾きは $\infty$ です。^{[ 1 ]}

実数直線の拡張

射影的に拡張された実数直線は、慣習的に $\infty$ と呼ばれる一点を追加することによって、リーマン球面が複素数の体を拡張するのと同じように、実数の体を拡張します。

対照的に、アフィン拡張された実数直線（実数直線の2点コンパクト化とも呼ばれる）は $、+\infty$ と $-\infty$ を区別する。

注文

順序関係は拡張できません ${\widehat {\mathbb {R} }}$ 意味のある方法で。数 $a \neq \inftyが与えられた場合、$ $a > \infty$ または $a < \infty$ を定義する説得力のある議論はありません。 $\infty は$ 他のどの要素とも比較できないため、この関係を維持する意味はありません。 ${\widehat {\mathbb {R} }}$ ^{[ 2 ]}ただし、 $\mathbb {R}$ 定義では、 ${\widehat {\mathbb {R} }}$ 。

幾何学

$\inftyが$ 他の点と何ら変わらない点であるという考え方の根底にあるのは、実射影直線が均質な空間であり、実際には円と同相であるという点です。例えば、2 × 2 の実数可逆行列の一般線形群には推移作用があります。群作用はメビウス変換（線形分数変換とも呼ばれる）で表現できますが、線形分数変換の分母が $0$ の場合、像は $\infty$ になります。

この作用の詳細な解析によると、任意の異なる3点P、Q、Rに対して、 Pを0、Qを1、Rを $\infty$ に写像する線形分数変換が存在する。つまり、線形分数変換群は実射影直線上で三重推移的である。交差比が不変であるため、これは4点組には拡張できない。

射影線という用語は適切である。なぜなら、点は 1次元線形部分空間と 1 対 1 で対応しているからである。 $\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$ 。

算術演算

算術演算の動機

この空間における算術演算は、実数における同様の演算の拡張である。新しい定義の動機の一つは、実数関数の極限である。

定義された算術演算

サブセットに対する標準操作に加えて $\mathbb {R}$ の ${\widehat {\mathbb {R} }}$ 、以下の操作が定義されています $a\in {\widehat {\mathbb {R} }}$ ただし、以下に示す例外があります。^{[ 3 ]}^{[ 2 ]}

{\begin{aligned}a+\infty =\infty +a&=\infty ,&a\neq \infty \\a-\infty =\infty -a&=\infty ,&a\neq \infty \\a/\infty =a\cdot 0=0\cdot a&=0,&a\neq \infty \\\infty /a&=\infty ,&a\neq \infty \\a/0=a\cdot \infty =\infty \cdot a&=\infty ,&a\neq 0\\0/a&=0,&a\neq 0\end{aligned}}

未定義の算術演算

以下の式は実関数の極限を考慮することによって正当化することはできず、また、それらの定義によって、標準的な代数的性質の記述がすべての定義済みケースに対して形式を変えずに保持されることもありません。^{[ a ]}したがって、それらは未定義のままです。

{\begin{aligned}&\infty +\infty \\&\infty -\infty \\&\infty \cdot 0\\&0\cdot \infty \\&\infty /\infty \\&0/0\end{aligned}}

指数関数 $e^{x}$ 拡張できません ${\widehat {\mathbb {R} }}$ [ ²^]

代数的性質

以下の等式は、両辺が未定義であるか、両辺が定義されていて等しいかのいずれかを意味します。これは、どのような場合でも当てはまります。 $a,b,c\in {\widehat {\mathbb {R} }}.$

{\begin{aligned}(a+b)+c&=a+(b+c)\\a+b&=b+a\\(a\cdot b)\cdot c&=a\cdot (b\cdot c)\\a\cdot b&=b\cdot a\\a\cdot \infty &={\frac {a}{0}}\\\end{aligned}}

関係する式が定義されている場合、以下はどの式に対しても成り立つ。 $a,b,c\in {\widehat {\mathbb {R} }}.$

{\begin{aligned}a\cdot (b+c)&=a\cdot b+a\cdot c\\a&=\left({\frac {a}{b}}\right)\cdot b&=\,\,&{\frac {(a\cdot b)}{b}}\\a&=(a+b)-b&=\,\,&(a-b)+b\end{aligned}}

一般的に、 $\mathbb {R}$ 以下の場合にも有効です ${\widehat {\mathbb {R} }}$ 出現するすべての式が定義されている場合。

区間と位相

区間の概念は、 ${\widehat {\mathbb {R} }}$ しかし、これは順序集合ではないため、区間の意味は少し異なります。閉区間の定義は次のとおりです（ $a,b\in \mathbb {R} ,a<b$ ): ^{[ 2 ]}

{\begin{aligned}\left[a,b\right]&=\lbrace x\mid x\in \mathbb {R} ,a\leq x\leq b\rbrace \\\left[a,\infty \right]&=\lbrace x\mid x\in \mathbb {R} ,a\leq x\rbrace \cup \lbrace \infty \rbrace \\\left[b,a\right]&=\lbrace x\mid x\in \mathbb {R} ,b\leq x\rbrace \cup \lbrace \infty \rbrace \cup \lbrace x\mid x\in \mathbb {R} ,x\leq a\rbrace \\\left[\infty ,a\right]&=\lbrace \infty \rbrace \cup \lbrace x\mid x\in \mathbb {R} ,x\leq a\rbrace \\\left[a,a\right]&=\{a\}\\\left[\infty ,\infty \right]&=\lbrace \infty \rbrace \end{aligned}}

端点が等しい場合を除き、対応する開区間と半開区間は、それぞれの端点を取り除くことによって定義されます。この再定義は、0 を含む区間で割る場合の区間演算で役立ちます。 ^{[ 2 ]}

${\widehat {\mathbb {R} }}$ 空集合も区間であり、 ${\widehat {\mathbb {R} }}$ いずれの単一点も除外する。^{[ b ]}

開区間を基底としてトポロジーを定義する ${\widehat {\mathbb {R} }}$ 基底として十分なのは、の有界開区間である。 $\mathbb {R}$ そして間隔 $(b,a)=\{x\mid x\in \mathbb {R} ,b<x\}\cup \{\infty \}\cup \{x\mid x\in \mathbb {R} ,x<a\}$ すべての人々のために $a,b\in \mathbb {R}$ そのため $a<b.$

前述のとおり、この位相は円と同相です。したがって、この位相は（与えられた同相写像に対して）この円上の通常の計量（直線または円に沿って測定）に対応する計量化可能です。通常の計量の拡張となる計量は存在しません。 $\mathbb {R} .$

区間演算

区間演算は以下まで拡張されます ${\widehat {\mathbb {R} }}$ から $\mathbb {R}$ 区間に対する算術演算の結果は常に区間となる。ただし、二項演算を含む区間が互換性のない値を含み、結果が未定義となる場合は例外である。^{[ c ]}特に、すべてのに対して、次のことが成り立つ。 $a,b\in {\widehat {\mathbb {R} }}$ :

x\in [a,b]\iff {\frac {1}{x}}\in \left[{\frac {1}{b}},{\frac {1}{a}}\right]\!,

どちらの区間にも $0$ と $\infty$ が含まれるかどうかに関係なく。

微積分

微積分学のツールは、関数の解析に使用できます。 ${\widehat {\mathbb {R} }}$ これらの定義は、この空間のトポロジーに基づいている。

近隣地域

させて $x\in {\widehat {\mathbb {R} }}$ そして $A\subseteq {\widehat {\mathbb {R} }}$ 。

$Aが$ $x$ の近傍であるとは、 $A が$ $x$ を含む開区間 $B$ を含む場合をいう。
$A$ は、ある実数 $y$ $が$ 存在して、 $y\neq x$ $A$ には半開区間が含まれる $[x,y)$ 。
$A$ は、ある実数 $y$ が存在して $、$ $y\neq x$ $A$ には半開区間が含まれる $(y,x]$ 。
$A$ は、 $xの$ 穿孔近傍（または右側穿孔近傍もしくは左側穿孔近傍）である。 $x\not \in A,$ そして $A\cup \{x\}$ $はx$ の近傍（または右側近傍もしくは左側近傍）です。

制限

極限の基本的な定義

させて $f:{\widehat {\mathbb {R} }}\to {\widehat {\mathbb {R} }},$ $p\in {\widehat {\mathbb {R} }},$ そして $L\in {\widehat {\mathbb {R} }}$ 。

$x$ がpに近づくときのf ( x )の極限はLであり、次のように表される。

\lim _{x\to p}{f(x)}=L

Lの任意の近傍Aに対して、 pの穴あき近傍Bが存在し、 $x\in B$ 暗示する $f(x)\in A$ 。

x が右側 (左側) からpに近づくときのf ( x )の片側極限はLであり、次のように表される。

\lim _{x\to p^{+}}{f(x)}=L\qquad \left(\lim _{x\to p^{-}}{f(x)}=L\right),

Lの任意の近傍Aに対して、 pの右側 (左側) 穴あき近傍Bが存在し、 $x\in B$ 暗示する $f(x)\in A.$

次のように証明できる。 $\lim _{x\to p}{f(x)}=L$ 両方が $\lim _{x\to p^{+}}{f(x)}=L$ そして $\lim _{x\to p^{-}}{f(x)}=L$ 。

限界との比較 $\mathbb {R}$

上記の定義は、実関数の極限の通常の定義と比較することができます。以下の記述では、 $p,L\in \mathbb {R} ,$ 最初の限界は上記のように定義され、2番目の限界は通常の意味での限界である。

$\lim _{x\to p}{f(x)}=L$ と同等 $\lim _{x\to p}{f(x)}=L$
$\lim _{x\to \infty ^{+}}{f(x)}=L$ と同等 $\lim _{x\to -\infty }{f(x)}=L$
$\lim _{x\to \infty ^{-}}{f(x)}=L$ と同等 $\lim _{x\to +\infty }{f(x)}=L$
$\lim _{x\to p}{f(x)}=\infty$ と同等 $\lim _{x\to p}{|f(x)|}=+\infty$
$\lim _{x\to \infty ^{+}}{f(x)}=\infty$ と同等 $\lim _{x\to -\infty }{|f(x)|}=+\infty$
$\lim _{x\to \infty ^{-}}{f(x)}=\infty$ と同等 $\lim _{x\to +\infty }{|f(x)|}=+\infty$

限界の拡張定義

させて $A\subseteq {\widehat {\mathbb {R} }}$ ならば、p がAの集積点であるのは、 pのすべての近傍が点を含む場合かつその場合に限る。 $y\in A$ そのため $y\neq p.$

させて $f:{\widehat {\mathbb {R} }}\to {\widehat {\mathbb {R} }},A\subseteq {\widehat {\mathbb {R} }},L\in {\widehat {\mathbb {R} }},p\in {\widehat {\mathbb {R} }}$ 、p はAの極限点である。xが Aを通ってpに近づくときのf ( x )の極限がLであるのは、 Lの任意の近傍Bに対して、 pの穴あき近傍Cが存在し、 $x\in A\cap C$ 暗示する $f(x)\in B.$

これは、部分空間トポロジーに適用された、連続性の通常の位相的定義に対応する。 $A\cup \lbrace p\rbrace ,$ そしてfの制限 $A\cup \lbrace p\rbrace .$

連続

機能

f:{\widehat {\mathbb {R} }}\to {\widehat {\mathbb {R} }},\quad p\in {\widehat {\mathbb {R} }}.

は、 $p$ で $f$ が定義され $、$ かつ

\lim _{x\to p}{f(x)}=f(p).

もし $A\subseteq {\widehat {\mathbb {R} }},$ 機能

f:A\to {\widehat {\mathbb {R} }}

$A$ において連続であるのは、すべての $p\in A$ $fは$ $p$ で定義され、極限は $f(x)$ $xが$ $p$ に近づくにつれて $A$ は $f(p).$

$P$ と $Q$ が多項式であるすべての有理関数 $P (x)/ Q (x)$ は、一意の方法で、関数に延長することができます。 ${\widehat {\mathbb {R} }}$ に ${\widehat {\mathbb {R} }}$ それは連続的である ${\widehat {\mathbb {R} }}.$ 特に、これは多項式関数の場合であり、その値は次のようになります。 $\infty$ で $\infty ,$ それらが一定でない場合。

また、タンジェント関数が $\tan$ 拡張されて

\tan \left({\frac {\pi }{2}}+n\pi \right)=\infty {\text{ for }}n\in \mathbb {Z} ,

それから $\tan$ 連続 $\mathbb {R} ,$ しかし、連続関数にまで延長することはできない ${\widehat {\mathbb {R} }}.$

連続する多くの基本関数 $\mathbb {R}$ 連続関数に拡張することはできない ${\widehat {\mathbb {R} }}.$ これは、例えば指数関数やすべての三角関数に当てはまります。例えば、正弦関数は連続です。 $\mathbb {R} ,$ しかし、連続させることはできません $\infty .$ 上記のように、接線関数は連続な関数に拡張できます。 $\mathbb {R} ,$ しかし、この関数は連続にすることはできません $\infty .$

終域を拡張すると連続になる不連続関数は多数あります ${\widehat {\mathbb {R} }}$ 終域をアフィン拡張実数系に拡張すると、不連続のままとなる。 ${\overline {\mathbb {R} }}.$ これは関数の場合です $x\mapsto {\frac {1}{x}}.$ 一方、連続的な関数の中には、 $\mathbb {R}$ そして不連続な $\infty \in {\widehat {\mathbb {R} }}$ 領域を拡張すると連続になる ${\overline {\mathbb {R} }}.$ これは逆正接の場合に当てはまります。

射影範囲として

実射影直線を実射影平面の文脈で考えると、デザルグの定理の結果は暗黙のうちに導かれる。特に、点間の射影調和共役関係の構成は、実射影直線の構造の一部である。例えば、任意の2点が与えられた場合、無限遠点はそれらの点の中点の射影調和共役点となる。

射影性は調和関係を保存するため、実射影直線の自己同型写像を形成します。射影性は、環上の射影直線の一般的な構成に従って、実数が環を形成するため、代数的にはホモグラフィーとして記述されます。これらはまとめて群PGL(2, R )を形成します。

自身の逆元となる射影変換を対合と呼びます。双曲型対合には2つの固定点があります。これらのうち2つは、実射影直線上の基本的な算術演算である否定と逆数に対応します。実際、0と∞は否定に対して固定され、1と−1は逆数に対して固定されます。

注記

↑ただし、定義済みの演算に限定した場合、すべての代数的性質が拡張され、 ${\widehat {\mathbb {R} }}$ 標準ルールに従って解決します。ホイール理論を参照してください。
↑補完関係の一貫性が求められる場合、 $[a,b]^{\complement }=(b,a)$ そして $(a,b]^{\complement }=(b,a]$ すべての人々のために $a,b\in {\widehat {\mathbb {R} }}$ （両側の区間が定義されている場合）、すべての区間を除く $\varnothing$ そして ${\widehat {\mathbb {R} }}$ は、この表記法を用いて自然に表現することができ、 $(a,a)$ と解釈される ${\widehat {\mathbb {R} }}\setminus \{a\}$ 、および等しい端点を持つ半開区間、例 $(a,a]$ 未定義のまま。
↑例えば、間隔の比率 $[0,1]/[0,1]$ $両方の区間に0$ が含まれており、 $0 / 0$ は定義されていないため、これらの区間の除算結果は定義されていません。

参考文献

1 2 3 4 5 NBU、DDE (2019-11-05)。PG MTM 201 B1。北ベンガル大学遠隔教育局。
1 2 3 4 5 6 Weisstein, Eric W. 「射影的に拡張された実数」 . mathworld.wolfram.com . 2025-07-13に取得。
↑ Lee, Nam-Hoon (2020-04-28). Geometry: from Isometries to Special Relativity . Springer Nature. ISBN 978-3-030-42101-4。

[4] ただし、定義済みの演算に限定した場合、すべての代数的性質が拡張され、 ${\widehat {\mathbb {R} }}$ 標準ルールに従って解決します。ホイール理論を参照してください。

[5] 補完関係の一貫性が求められる場合、 $[a,b]^{\complement }=(b,a)$ そして $(a,b]^{\complement }=(b,a]$ すべての人々のために $a,b\in {\widehat {\mathbb {R} }}$ （両側の区間が定義されている場合）、すべての区間を除く $\varnothing$ そして ${\widehat {\mathbb {R} }}$ は、この表記法を用いて自然に表現することができ、 $(a,a)$ と解釈される ${\widehat {\mathbb {R} }}\setminus \{a\}$ 、および等しい端点を持つ半開区間、例 $(a,a]$ 未定義のまま。

[6] 例えば、間隔の比率 $[0,1]/[0,1]$ $両方の区間に0$ が含まれており、 $0 / 0$ は定義されていないため、これらの区間の除算結果は定義されていません。

[:0-1] 1 2 3 4 5 NBU、DDE (2019-11-05)。PG MTM 201 B1。北ベンガル大学遠隔教育局。

[:1-2] 1 2 3 4 5 6 Weisstein, Eric W. 「射影的に拡張された実数」 . mathworld.wolfram.com . 2025-07-13に取得。

[3] Lee, Nam-Hoon (2020-04-28). Geometry: from Isometries to Special Relativity . Springer Nature. ISBN 978-3-030-42101-4。

[ 3 ]

[ a ]

[ b ]

[ c ]

射影的に拡張された実数直線

ゼロで割る

実数直線の拡張

注文

幾何学