ピーター・ワイルの定理

数学において、ピーター・ワイルの定理は調和解析の理論における基本的な結果であり、コンパクトではあるが必ずしもアーベル群ではない位相群に適用される。この定理は、ヘルマン・ワイルが弟子のフリッツ・ピーターと共に、コンパクト位相群Gの設定で最初に証明した（ピーター＆ワイル 1927 ） 。この定理は、フェルディナント・ゲオルク・フロベニウスとイッサイ・シュールによって発見された、任意の有限群の正則表現の分解に関する重要な事実を一般化した一連の結果である。

G をコンパクト群とする。この定理は 3 つの部分からなる。第一の部分は、G の既約表現の行列係数が、G上の連続複素数値関数の空間C ( G )において稠密であり、したがって二乗可積分関数の空間L ² ( G )においても稠密であることを述べている。第二の部分は、Gのユニタリ表現の完全な可約性を主張している。第三の部分は、 L ² ( G )上のGの正則表現が、すべての既約ユニタリ表現の直和として分解されることを主張している。さらに、既約ユニタリ表現の行列係数は、L ² ( G )の正規直交基底を形成する。Gが単位複素数の群である場合、この最後の結果は単にフーリエ級数からの標準的な結果である。

群Gの行列係数は複素数値関数である。${\displaystyle \varphi }$Gは構成として与えられている

${\displaystyle \varphi =L\circ \pi }$

ここで、π  : G → GL( V ) はGの有限次元（連続）群表現であり、LはVの自己準同型のベクトル空間（例えばトレース）上の線形汎関数であり、GL( V ) を開集合として含む。表現は定義上連続であるため、行列係数は連続であり、有限次元空間上の線形汎関数も連続である。   

ピーター・ワイル定理の最初の部分は次のように主張している（バンプ 2004 、§4.1；ナップ 1986 、定理 1.12）：

ピーター・ワイルの定理（パートI）。Gの行列係数の集合は、一様ノルムを備えたG上の連続複素関数C( G )の空間で稠密である。

この最初の結果は、代数的特徴付けのみを条件として、すべての連続関数の空間における関数の集合の密度を示すという点で、ストーン・ワイエルシュトラスの定理に似ています。実際、行列係数は複素共役の下で不変な単位代数を形成します。なぜなら、2 つの行列係数の積はテンソル積表現の行列係数であり、複素共役は双対表現の行列係数だからです。したがって、行列係数が点を分離する場合、この定理はストーン・ワイエルシュトラスの定理から直接導かれます。これは、 G が行列群である場合は明らかです( Knapp 1986 、p. 17) 。逆に、任意のコンパクトリー群が行列群と同型であることは、この定理の結果です( Knapp 1986 、定理 1.15)。 

この結果の帰結として、Gの行列係数はL ² ( G )において稠密である。

定理の第２部は、 Gのユニタリ表現を有限次元表現に分解できることを示す。さて、群は幾何学的対象に対する回転として直感的に考えられてきたので、本質的にヒルベルト空間上の連続作用から生じる表現を研究するのはごく自然なことである。（円群への連続準同型である指標からなる双対群を初めて学んだ人にとっては、このアプローチは円群が（最終的には）与えられたヒルベルト空間上のユニタリ作用素の群に一般化される点を除けば、類似している。）

Gを位相群、Hを複素ヒルベルト空間とする。

連続線形作用 ∗  : G × H → H は、次の式で定義される連続写像 ρ _∗  : G → H ^H (強い位相を持つHからHへの関数) を生み出します。ρ _∗ ( g )( v ) = ∗(g,v)。この写像は明らかにGからGL( H ) への準同型写像であり、 H上の有界線形作用素です。逆に、このような写像が与えられた場合、自明な方法で作用を一意に復元できます。

したがって、ヒルベルト空間H上のGの表現を、 GのHへの連続作用から生じる群準同型ρと定義します。表現 ρ がユニタリであるとは、ρ( g ) がすべてのg ∈ Gに対してユニタリ演算子である場合、すなわち、  ${\displaystyle \langle \rho (g)v,\rho (g)w\rangle =\langle v,w\rangle }$すべてのv , w  ∈ Hに対して。（つまり、ρ : G → U( H ) であればユニタリである。これは、U( C ) が円群である一次元ヒルベルト空間の特殊な場合を一般化していることに注意されたい。）  

これらの定義を踏まえると、ピーター・ワイル定理の第二部を述べることができる（Knapp 1986 、定理1.12）：

ピーター・ワイルの定理（パートII）。ρを複素ヒルベルト空間H上のコンパクト群Gのユニタリ表現とする。このとき、HはGの既約有限次元ユニタリ表現の直交直和に分解される。

定理の3番目で最後の部分を述べると、G上には二乗可積分関数からなる自然なヒルベルト空間が存在する。${\displaystyle L^{2}(G)}$これは、ハール測度がG上に存在するため理にかなっています。群Gはユニタリ表現ρ を持ちます。${\displaystyle L^{2}(G)}$左側から作用することで、

${\displaystyle \rho (h)f(g)=f(h^{-1}g).}$

ピーター・ワイル定理の最終記述（Knapp 1986 、定理1.12）は、明示的な正規直交基底を与える。${\displaystyle L^{2}(G)}$概して言えば、適切に正規化されたGの行列係数は、L ² ( G )の正規直交基底であると主張している。特に、${\displaystyle L^{2}(G)}$は、すべての既約ユニタリ表現の直交直和に分解され、各既約表現の重複度はその次数（つまり、表現の基礎となる空間の次元）に等しくなります。したがって、

${\displaystyle L^{2}(G)={\underset {\pi \in \Sigma }{\widehat {\bigoplus }}}E_{\pi }^{\oplus \dim E_{\pi }}}$

ここで、ΣはGの既約ユニタリ表現（の同型類）の集合を表し、総和は表現πの_全空間Eπの直和の閉包を表す。

また、${\displaystyle L^{2}(G)}$直接製品グループの代表として${\displaystyle G\times G}$2つの因子はそれぞれ左側と右側に平行移動によって作用する。表現を固定する${\displaystyle (\pi ,E_{\pi })}$の${\displaystyle G}$表現の行列係数の空間は、${\displaystyle \operatorname {End} (E_{\pi })}$線形マップの空間${\displaystyle E_{\pi }}$それ自体に。自然な左右の動き${\displaystyle G\times G}$行列係数に対する作用は、${\displaystyle \operatorname {End} (E_{\pi })}$によって与えられた

${\displaystyle (g,h)\cdot A=\pi (g)A\pi (h)^{-1}.}$

すると分解する${\displaystyle L^{2}(G)}$統一表現として${\displaystyle G\times G}$形式で

${\displaystyle L^{2}(G)={\underset {\pi \in \Sigma }{\widehat {\bigoplus }}}E_{\pi }\otimes E_{\pi }^{*}.}$

最後に、正規直交基底を形成することができます。${\displaystyle L^{2}(G)}$以下のようにする。各既約ユニタリ表現の同型類に対して代表πが選択され、そのようなすべてのπの集合をΣと表す。${\displaystyle \scriptstyle {u_{ij}^{(\pi )}}}$πの正規直交基底における行列係数、言い換えれば

${\displaystyle u_{ij}^{(\pi )}(g)=\langle \pi (g)e_{j},e_{i}\rangle .}$

各g  ∈ Gに対して。最後に、d ^(π)を表現 π の次数とする。定理は、関数の集合が 

${\displaystyle \left\{{\sqrt {d^{(\pi )}}}u_{ij}^{(\pi )}\mid \,\pi \in \Sigma ,\,\,1\leq i,j\leq d^{(\pi )}\right\}}$

は正規直交基底である${\displaystyle L^{2}(G).}$

• ポントリャーギンの二重性

• ピーター、F. Weyl, H. (1927)、「Die Vollständigkeit der primitiven Darstellungen einer geschlossenen kontinuierlichen Gruppe」、Math。アン。、97 : 737– 755、土井: 10.1007/BF01447892。
• バンプ、ダニエル（2004）、『リー群』、シュプリンガー、ISBN 0-387-21154-3。
• Hall, Brian C. (2015), Lie Groups, Lie Algebras, and Representations: An Elementary Introduction , Graduate Texts in Mathematics, vol.  222 (2nd  ed.), Springer, ISBN 978-3319134666。
• 「ピーター＝ワイルの定理」、数学百科事典、EMS Press、2001年 [1994年]
• ナップ、アンソニー（1986）、『半単純群の表現論』、プリンストン大学出版局、ISBN 0-691-09089-0。
• Knapp, Anthony W. (2002), Lie Groups Beyond an Introduction , Progress in Mathematics, vol.  140 (2nd  ed.), Boston: Birkhäuser, ISBN 0-8176-4259-5。
• Mostow, George D. (1961)、「位相群と可解多様体のコホモロジー」、Annals of Mathematics、73 (1)、Princeton University Press: 20–48、doi : 10.2307/1970281、JSTOR 1970281 
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