ペンローズタイル

平面（「平面」）を、重なりや隙間のない幾何学的形状（「タイル」）のパターンで覆うことをタイリングと呼びます。床を正方形で端と端を合わせて覆うなど、最もよく知られているタイリングは周期的なタイリングの例です。正方形のタイリングをタイルの幅分だけ、タイルの辺に平行にずらすと、ずらす前と同じタイルのパターンになります。このようにタイリングを維持するずらし（正式には平行移動）をタイリングの周期と呼びます。タイリングが2つの異なる方向にずらす周期を持つ場合、そのタイリングは周期的であると呼ばれます。^{[ 5 ]}

正方形タイリングのタイルは1つの形状しか持たず、他のタイリングでも有限個の形状しか持たないことが一般的です。これらの形状はプロトタイルと呼ばれ、プロトタイルの集合は、これらの形状のみを使用して平面をタイリングできる場合、タイリングを許容する、または平面をタイリングできると言われます。つまり、タイリング内の各タイルは、これらのプロトタイルのいずれかと合同​​でなければなりません。 ^{[ 6 ]}

周期を持たないタイリングは非周期的である。プロトタイルの集合は、そのすべてのタイリングが非周期的である場合、非周期的であると言われ、この場合、そのタイリングは非周期的タイリングとも呼ばれる。^{[ 7 ]}ペンローズタイリングは、有限個のプロトタイルによる平面の非周期的タイリングの最も単純な既知の例の1つである。^{[ 5 ]}

非周期的なタイリングというテーマは、論理学者の王浩が決定問題とタイリングの関連性に気づいた1960年代に新たな関心を集めた。 ^{[ 9 ]}特に、彼は色付きの縁を持つ正方形の板によるタイリング（現在では王ドミノまたはタイルとして知られている）を導入し、「ドミノ問題」を提起した。これは、与えられた王ドミノのセットが、隣接するドミノの縁に同じ色を付けて平面をタイル張りできるかどうかを判断する問題である。彼は、この問題が決定不能であれば、非周期的な王ドミノのセットが存在しなければならないことに気づいた。当時、これはありそうもないことのように思われたため、王はそのようなセットは存在しないと推測した。

王の教え子であるロバート・バーガーは^、 1964年の論文でドミノ問題が決定不能であることを証明し（したがって王の予想は誤りであった）、20,426個の王ドミノからなる非周期的な集合を得た。^{[ 11 ]また、彼はそのようなプロトタイルを}104個に削減する方法も説明した。後者は彼の出版されたモノグラフには掲載されなかったが、^{[ 12 ] 1968}年にドナルド・クヌースは、わずか92個のドミノで済むバーガーの集合の修正を詳細に説明した。^{[ 13 ]}

ワン・ドミノによるタイリングに必要な色のマッチングは、タイルの端をジグソーパズルのピースのように変更して、端の色付けで規定された方法でのみ組み合わせられるようにすることで簡単に実現できます。^{[ 14 ]}ラファエル・ロビンソンは、ベルガーの手法と決定不能性の証明を簡略化した1971年の論文^{[ 15 ]}で、この手法を使用してわずか6つのプロトタイルからなる非周期的なセットを取得しました。^{[ 16 ]}

最初のペンローズ・タイリング（下のタイリングP1）は、ロジャー・ペンローズが1974年の論文^{[ 18 ]}で紹介した、正方形ではなく五角形に基づく6つのプロトタイルの非周期的なセットです。平面を正五角形でタイル張りしようとすると必ず隙間が残りますが、ヨハネス・ケプラーは1619年の著作『Harmonices Mundi』で、これらの隙間は五芒星（星形多角形）、十角形、および関連する形状を使用して埋めることができることを示しました。 ^{[ 19 ]}ケプラーはこのタイリングを5つの多角形に拡張しましたが、周期的なパターンは見つからず、拡張するたびに新しい特徴が導入されるとすでに推測していました^{[ 20 ]} 。こうして非周期的なタイリングが作られました。これらのアイデアの痕跡は、アルブレヒト・デューラーの作品にも見られます。^{[ 21 ]}ケプラーからインスピレーションを得たことを認めつつ、ペンローズはこれらの形状のマッチング規則を見つけ、非周期的なセットを得ました。これらのマッチングルールは、ワンタイルと同様に、エッジの装飾によって課されることがあります。ペンローズのタイリングは、ケプラーの有限Aaパターンの完成形と見なすことができます。^{[ 22 ]}

ペンローズはその後、プロトタイルの数を2つに減らし、カイトとダートのタイリング（下記のタイリングP2）と菱形のタイリング（下記のタイリングP3）を発見した。^{[ 23 ]}菱形のタイリングは、 1976年にロバート・アマンによって独立に発見された。 ^{[ 24 ]}ペンローズとジョン・H・コンウェイはペンローズ・タイリングの特性を調査し、置換特性がそれらの階層的な性質を説明することを発見した。彼らの発見は、マーティン・ガードナーが1977年1月のサイエンティフィック・アメリカンの「数学ゲーム」コラムで公表した。^{[ 25 ]}

1981年、NG de Bruijnはペンローズタイリングを構成する2つの異なる方法を提供した。De Bruijnの「マルチグリッド法」では、ペンローズタイリングは5つの平行線の族の配置の双対グラフとして得られる。彼の「カットアンドプロジェクション法」では、ペンローズタイリングは5次元立方構造からの2次元投影として得られる。これらのアプローチでは、ペンローズタイリングは点の集合、つまり頂点とみなされ、タイルは頂点を辺で接続することによって得られる幾何学的形状である。^{[ 26 ]} 1990年にBaake、Kramer、Schlottmann、およびZeidlerによって、4次元5セルハニカムから同様の方法でペンローズタイリングと関連するテュービンゲン三角形タイリングが導出された。^{[ 27 ]}

ペンローズが作成したオリジナルの6枚のプロトタイプタイルを使用したP1タイルの配置

ペンローズP1タイルに、タイリングルールを適用するための円弧とノードを重ね合わせたタイル

ペンローズの最初のタイリングは、五角形と他の3つの形状、すなわち5つの頂点を持つ「星」（五芒星）、「舟」（「正義の帽子」とも呼ばれる^{[ 30 ]} 、星の約3/5）、そして「ダイヤモンド」（細長い菱形）^{[ 31 ]}を使用しています。すべてのタイリングが非周期的であることを保証するために、タイル同士がどのように接するかを規定するマッチングルールがあり、五角形タイルには3種類のマッチングルールがあります。これら3種類を異なるプロトタイルとして扱うと、全体で6種類のプロトタイルが得られます。上の図の右側のように、3種類の五角形タイルを3つの異なる色で示すのが一般的です。 ^{[ 32 ]}

ペンローズの2番目のタイリングは、「カイト」と「ダート」と呼ばれる四角形を使用しており、これらを組み合わせて菱形を作ることができます。ただし、マッチングルールではそのような組み合わせは禁止されています。^{[ 33 ]}カイトとダートはどちらも、ロビンソンによる1975年のメモにちなんでロビンソン三角形と呼ばれる2つの三角形で構成されています。 ^{[ 34 ]}

凧とダーツのタイル（上）と、P2タイリングで可能な7つの頂点図形。それぞれに次のようなニックネームが付けられています 。1列目：星、エース、太陽。2列目：キング、ジャック、クイーン、デュース。

• 凧形は、4つの内角がそれぞれ72度、72度、72度、144度の四角形です。凧形は対称軸に沿って二等分することで、2つの鋭角なロビンソン三角形（角度は36度、72度、72度）を形成できます。
• ダーツは、4つの内角がそれぞれ36度、72度、36度、216度である非凸四角形です。ダーツは対称軸に沿って二等分すると、鋭角三角形よりも小さい鈍角ロビンソン三角形（角度はそれぞれ36度、36度、108度）のペアが形成されます。

マッチングルールはいくつかの方法で記述できます。1つのアプローチは、頂点を色付け（たとえば、黒と白の2色を使用）、隣接するタイルが一致する頂点を持つように要求することです。^{[ 35 ]}もう1つの方法は、円弧のパターン（上の左に緑と赤で示されているように）を使用してタイルの配置を制約することです。2つのタイルがタイリングでエッジを共有する場合、これらのエッジでパターンが一致する必要があります。^{[ 23 ]}

これらのルールは、特定のタイルの配置を強制することがよくあります。たとえば、ダーツの凹面の頂点は、必ず 2 つの凧で埋められます。対応する図形 (左下の画像の最上段の中央) は、コンウェイによって「エース」と呼ばれています。これは拡大された凧のように見えますが、同じようにタイルを並べることはできません。^{[ 36 ]}同様に、2 つの凧が短い辺に沿って出会うときに形成される凹面の頂点は、必ず 2 つのダーツで埋められます (右下)。実際には、タイルが頂点で出会う方法は 7 つしかありません。これらの図形のうち、2 つ(「星」(左上) と「太陽」(右上)は5 回対称(回転と反射による) を持ち、残りは単一の反射軸 (画像の垂直) を持ちます。^{[ 37 ]}エース (中央上) と太陽を除いて、これらの頂点図形はすべて追加のタイルの配置を強制します。^{[ 38 ]}

円弧または辺の変更を使用してタイリング規則を強制するペンローズ菱形のマッチング規則

放物線状の辺を用いてタイリング規則を強制するペンローズ菱形のマッチング規則

放物線状の縁を持つペンローズ菱形を用いたP3型のペンローズタイリング

3番目のタイル張りでは、辺の長さは等しいが角度が異なる一対の菱形（この文脈ではしばしば「菱形」と呼ばれる）を使用します。 ^{[ 11 ]}通常の菱形タイルを使用して平面を周期的にタイル張りできるため、タイルの組み立て方に制約を設ける必要があります。2つのタイルで平行四辺形を形成することはできません。これは周期的なタイル張りを可能にするためですが、この制約だけでは非周期性を強制するには不十分です。これは、上の図1に示されています。

タイルには2種類あり、どちらもロビンソン三角形に分解できます。^{[ 34 ]}

• 細長い菱形tは、36度、144度、36度、144度の4つの角を持つ。この菱形tは、短い対角線に沿って二等分することで、一対の鋭角なロビンソン三角形を形成することができる。
• 厚みのある菱形Tは、72度、108度、72度、108度の角度を持つ。菱形Tは、長い対角線に沿って二等分することで、一対の鈍角ロビンソン三角形を形成することができる。P2タイリングとは対照的に、これらの三角形は鋭角三角形よりも大きい。

マッチングルールはタイルの面を区別し、タイルは特定の方法では並置できるが、他の方法では並置できないことを意味します。これらのマッチングルールを説明する2つの方法が右側の画像に示されています。1つの形式では、タイルは、面の曲線が辺を横切って色と位置が一致するように組み立てる必要があります。もう1つの形式では、タイルは、辺の突起が互いにぴったり合うように組み立てる必要があります。^{[ 11 ]}

頂点における角度の合計が360度になるような角度の組み合わせは、54通りの周期的な順序で存在しますが、タイリングのルールでは、これらの組み合わせのうち7通りしか出現できません（ただし、そのうちの1つは2通りの方法で出現します）。^{[ 39 ]}

角度と面の曲率のさまざまな組み合わせにより、ペンローズチキンなどの任意の複雑なタイルを構築できます。^{[ 40 ]}

ペンローズ・タイリングのいくつかの特性と共通の特徴には、黄金比が関係している。${\displaystyle \varphi ={\tfrac {1+{\sqrt {5}}}{2}}}$（約1.618）。^{[ 34 ] [ 35 ]}これは正五角形の弦の長さと辺の長さの比であり、φ = 1 + 1/ φ を満たします。

したがって、（二等辺）ロビンソン三角形の長辺と短辺の比はφ :1です。このことから、凧形タイルとダート形タイルの両方において、長辺と短辺の比もφ :1であり、細い菱形tにおける辺と短い対角線の長さの比、および太い菱形Tにおける長い対角線と辺の長さの比も同様です。P2 と P3 の両方のタイリングにおいて、大きいロビンソン三角形の面積と小さいロビンソン三角形の面積の比はφ :1であり、したがって、凧形とダート形、および太い菱形と細い菱形の面積の比も同様です。 （左側の五角形には、大小両方の鈍角ロビンソン三角形が見られます。上部の大きな三角形（太い菱形の半分）は、底辺の小さな影付き三角形と比較して、線形寸法がφ倍に拡大されているため、面積比はφ ² :1となります。）

ペンローズタイリングは、タイリング内の点が対称的なタイル配置に囲まれているという意味で、局所的な五角形対称性を持つ。このような配置は、中心点を中心として五回回転対称性を持ち、さらにその点を通る五つの鏡面対称線、つまり二面体対称群を持つ。^{[ 11 ]}この対称性は一般に中心点の周りのタイルのパッチのみを保持するが、そのパッチは非常に大きくなる可能性がある。コンウェイとペンローズは、P2またはP3タイリング上の色付き曲線がループで閉じるときはいつでも、ループ内の領域が五角形対称性を持ち、さらに、どのタイリングでも、閉じない各色の曲線は最大で2つしかないことを証明した。^{[ 41 ]}

全体的な五重対称性の中心点は最大で１つしか存在できません。もし複数存在すると、それぞれを互いに回転させると、より近い２つの五重対称性の中心点が生じ、数学的な矛盾が生じます。^{[ 42 ]}全体的な五角形対称性を持つペンローズタイリングは（各タイプにつき）２つしかありません。凧形とダーツ形のP2タイリングの場合、中心点は「太陽」または「星」の頂点のいずれかです。^{[ 43 ]}

ペンローズタイリングの共通する特徴の多くは、置換規則によって与えられる階層的な五角形構造に由来します。これは、タイリングまたは（タイルの集合）の膨張と収縮、または構成と分解と呼ばれることがよくあります。 ^{[ 11 ] [ 25 ] [ 44 ]}置換規則は、各タイルをタイリングで使用されるものと同じ形状のより小さなタイルに分解します（したがって、より大きなタイルをより小さなタイルから「構成」することができます）。これは、ペンローズタイリングがスケーリング自己相似性を持っていることを示しており、ペンタフレークと同じプロセスを使用してフラクタルとして考えることができます。^{[ 45 ]}

ペンローズは、五角形を 6 つの小さな五角形 (正十二面体のネットの半分) と 5 つの半菱形に分解することによって、P1 タイリングを最初に発見しました。そして、このプロセスを繰り返すと、五角形の間の隙間はすべて星、菱形、船 (または彼が言うところの「正義の帽子」 ^{[ 30 ] )、および他の五角形で埋めることができることに気づきました。 [ 31 ]}このプロセスを無限に繰り返すことにより、彼は五角形の対称性を持つ 2 つの P1 タイリングの 1 つを得ました。^{[ 11 ] [ 22 ]}

ロビンソン三角形分解

P2 タイリングと P3 タイリングの両方の置換方法は、異なるサイズのロビンソン三角形を使用して説明できます。P2 タイリングで発生するロビンソン三角形 (凧形とダーツを二等分することによって) は A タイルと呼ばれ、P3 タイリングで発生するロビンソン三角形 (菱形を二等分することによって) は B タイルと呼ばれます。^{[ 34 ]}小さい A タイル ( A _Sと表記) は鈍角のロビンソン三角形であり、大きい A タイル ( _ALと表記) は鋭角です。対照的に、小さい B タイル ( B _Sと表記) は鋭角のロビンソン三角形であり、大きい B タイル ( BL と_表記) は鈍角です。

具体的には、AS の辺の長さが (1, 1, φ) である場合、_ALの辺の長さは₍ φ, φ, 1) となります。Bタイルは、このような A タイルと次の 2 つの方法で関連付けることができます。

• B _SがA _Lと同じサイズである場合、B _LはA _Sの拡大版φ A _Sであり、辺の長さは( φ、φ、φ ² = 1 + φ )です。これは、長さ 1 の共通の辺に沿って結合されたA _LタイルとA _Sタイルに分解されます。
• 代わりにB _LがA _Sと同一視される場合、B _SはA _Lの縮小版(1/ φ )A _Lであり、辺の長さは(1/ φ、1/ φ、1)です。長さ 1 の共通の辺に沿ってB _SタイルとB _Lタイルを結合すると、 A _Lタイル(の分解) が得られます。

これらの分解には曖昧さがあるように見える。ロビンソン三角形は、三角形の（二等辺）対称軸に関して互いに鏡像となる 2 つの方法で分解できる。ペンローズ タイリングでは、この選択はマッチング ルールによって固定される。さらに、マッチング ルールは、タイリング内のより小さな三角形がどのように組み合わさってより大きな三角形になるかも決定する。^{[ 34 ]}

星を部分的に膨らませると菱形になり、菱形の集合を膨らませるとエースになる。

したがって、P2 タイリングと P3 タイリングは相互に局所的に導出可能である。つまり、あるタイルセットによるタイリングを使用して、別のタイルセットによるタイリングを生成できる。たとえば、凧形と矢形によるタイリングは A タイルに細分化でき、これらを標準的な方法で組み合わせることで B タイル、ひいては菱形を形成できる。^{[ 17 ]} P2 タイリングと P3 タイリングはどちらも P1 タイリングと相互に局所的に導出可能である（上記の図 2 を参照）。^{[ 46 ]}

BタイルをAタイルに分解すると、次のように表すことができます。 $${\displaystyle {\rm {B_{S}=A_{L},\quad B_{L}=A_{L}+A_{S}}}}$$ （Bタイルにはより大きなサイズの慣例を仮定すると）これは置換行列方程式にまとめることができます。^{[ 47 ]}$${\displaystyle {\begin{pmatrix}B_{L}\\B_{S}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1&1\\1&0\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}A_{L}\\A_{S}\end{pmatrix}}\,.}$$これを拡大されたφ Aタイル をBタイルに分解することと組み合わせると、置換が得られる。$${\displaystyle {\begin{pmatrix}\varphi A_{L}\\\varphi A_{S}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1&1\\1&0\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}B_{L}\\B_{S}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}2&1\\1&1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}A_{L}\\A_{S}\end{pmatrix}}\,,}$$ 拡大されたタイルφ A _Lは、 2 つのA _Lタイルと 1 つのA _Sタイルに分解されます。マッチング規則により、特定の置換が強制されます。φ A L タイル内の 2 つのA Lタイルは凧_形を形成しなければならず、したがって凧形は 2 つの凧形と 2 つのハーフダーツに分解され、ダーツは凧形と 2 つのハーフダーツに分解されます。^{[ 48 ] [ 49 ]}拡大されたφ B タイルは、同様の方法で B タイルに分解されます ( φ A タイルを介して)。

合成と分解は反復できるので、例えば $${\displaystyle \varphi ^{n}{\begin{pmatrix}A_{L}\\A_{S}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}2&1\\1&1\end{pmatrix}}^{n}{\begin{pmatrix}A_{L}\\A_{S}\end{pmatrix}}\,.}$$構築のn回目の反復 における凧とダーツの数は、置換行列の n乗によって決定される。$${\displaystyle {\begin{pmatrix}2&1\\1&1\end{pmatrix}}^{n}={\begin{pmatrix}F_{2n+1}&F_{2n}\\F_{2n}&F_{2n-1}\end{pmatrix}}\,,}$$ ここでF _nはn番目のフィボナッチ数である。したがって、十分に大きな P2 ペンローズ タイリング パターンにおける凧の数とダーツの数の比は、黄金比φに近似する。^{[ 50 ]}同様の結果は、P3 ペンローズ タイリングにおける太い菱形と細い菱形の数の比にも当てはまる。^{[ 48 ]}

P2およびP3タイル張りのデフレ

P2型ペンローズタイリングにおける「太陽」頂点の連続的な収縮

P3型ペンローズタイリングにおけるタイルセットの連続的な収縮

P2型ペンローズタイリングにおける「太陽」頂点の8回目の収縮

与えられたタイルの集合（単一のタイル、平面のタイル、またはその他の集合など）から始めて、デフレーションは世代と呼ばれる一連のステップで進行します。デフレーションの 1 世代では、各タイルが、元のタイルで使用されているタイルの縮小版である 2 つ以上の新しいタイルに置き換えられます。置換ルールにより、新しいタイルはマッチングルールに従って配置されることが保証されます。^{[ 48 ]}デフレーションの世代を繰り返すと、元の公理の形状のタイルがどんどん小さくなっていきます。

このタイルを分割するルールは、細分化ルールです。

カイト・アンド・ダート・ペンローズタイルの置換ルールの手順の1つ。

凧とダーツの置換を4回繰り返す。

上記の表は慎重に使用してください。半凧形と半ダーツ形の収縮は、太陽形や星形の収縮で示されているような、より大きなパターンを収縮させる場合にのみ有効です。単一の凧形やダーツ形に適用すると、誤った結果になります。

さらに、単純な分割ルールでは、タイルの端付近に穴が生じ、右側の上下の図でかろうじて確認できます。追加の強制ルールが有効です。

1996年、ドイツの数学者ペトラ・グンメルトは、2種類の重なり合う領域が許される場合、1つの十角形タイルを使用してペンローズタイリングと同等の被覆（重なり合わないタイリングと区別するためにこのように呼ばれる）を構築できることを示した。^{[ 53 ]}十角形タイルは色付きのパッチで装飾されており、被覆ルールは色付けと互換性のある重なりのみを許容する。十角形タイルを凧形と矢形に適切に分解すると、このような被覆はペンローズ（P2）タイリングに変換される。同様に、各十角形に太い菱形を内接させ、残りの空間を細い菱形で埋めることで、P3タイリングが得られる。

これらの被覆は準結晶の成長の現実的なモデルとして考えられてきた。重なり合う十角形は結晶を構成する単位セルに類似した「準単位セル」であり、マッチング規則は特定の原子クラスターの密度を最大化する。 ^{[ 52 ] [ 54 ]}被覆の非周期性により、ブロッホの定理が存在しないため、電子構造などの物理的特性の理論的研究が困難になる可能性がある。しかし、準結晶のスペクトルは誤差制御によって計算することができる。^{[ 55 ]}

ペンローズタイリングの 3 つのバリアントは、互いに局所的に導出可能です。P1 タイリングの頂点からいくつかのサブセットを選択することで、他の非周期的なタイリングを作成できます。P1 の 1 つの五角形の角に1、3、5、2、4の順にラベルを付ける場合、すべての五角形に明確なタグ付けが確立され、その順序は時計回りまたは反時計回りのいずれかになります。同じラベルを持つ点はロビンソン三角形によるタイリングを定義し、3 と 4 の番号を持つ点はタイアンドナベットタイリングの頂点を定義します。^{[ 56 ]}

六角形ボートスターやミクラ・ロス・タイリングなど、関連する非等価タイリングも存在する。例えば、菱形タイリングのマッチング規則を各頂点で許容される角度の特定の制限に縮小すると、バイナリタイリングが得られる。^{[ 57 ]}その基礎となる対称性も五重であるが、準結晶ではない。これは、元のタイリングの菱形をより小さな菱形で装飾するか、置換規則を適用することによって得られるが、デ・ブルインのカット・アンド・プロジェクション法では得られない。^{[ 58 ]}

• Berger, R. (1966).ドミノ問題の決定不能性. アメリカ数学会紀要. 第 66巻. ISBN 978-0-8218-1266-2。。
• デ・ブルーイン、NG (1981)。「ペンローズの平面の非周期タイリングの代数理論、I、II」(PDF)。Indagationes Mathematicae。43 (1): 39–66。土井: 10.1016/1385-7258(81)90017-2。。
• グンメルト、ペトラ (1996)。「合同な十角形のカバーとしてのペンローズタイル」。ジオメトリエ・デディカタ。62 (1): 1–17 .土井: 10.1007/BF00239998。MR 1400977。Zbl 0893.52011。  
• ペンローズ、ロジャー（1974）。「純粋数学および応用数学研究における美学の役割」。数学および応用研究所紀要。10 ：266頁以降。。
• US 4133152、ペンローズ、ロジャー、「表面を覆うためのタイルセット」、1979年1月9日公開 。
• Robinson, RM (1971). "平面のタイル張りの決定不能性と非周期性". Inventiones Mathematicae . 12 (3): 177– 190. Bibcode : 1971InMat..12..177R . doi : 10.1007/BF01418780 . S2CID 14259496 . 。
• Schechtman, D.; Blech, I.; Gratias, D.; Cahn, JW (1984). "長距離配向秩序と並進対称性のない金属相" . Physical Review Letters . 53 (20): 1951–1953 . Bibcode : 1984PhRvL..53.1951S . doi : 10.1103/PhysRevLett.53.1951 .
• Wang, H. (1961). 「パターン認識による定理の証明 II」. Bell System Technical Journal . 40 : 1–42 . doi : 10.1002/j.1538-7305.1961.tb03975.x .。

• オースティン、デイビッド（2005a）。「ペンローズタイルが何マイルも離れて語り合う」。プロビデンス：アメリカ数学会。。
• オースティン、デイビッド（2005b）。「リボンで結ばれたペンローズ・タイリング」。プロビデンス：アメリカ数学会。。
• Colbrook, Matthew; Roman, Bogdan; Hansen, Anders (2019). "How to Compute Spectra with Error Control" . Physical Review Letters . 122 (25) 250201. Bibcode : 2019PhRvL.122y0201C . doi : 10.1103/PhysRevLett.122.250201 . PMID 31347861. S2CID 198463498 .  
• Culik, Karel; Kari, Jarkko (1997). 「Wangタイルの非周期集合について」. Foundations of Computer Science . Lecture Notes in Computer Science. Vol.  1337. pp. 153–162 . doi : 10.1007/BFb0052084 . ISBN  978-3-540-63746-2。
• ガードナー、マーティン（1997）。ペンローズタイルからトラップドア暗号まで。ケンブリッジ大学出版局。ISBN 978-0-88385-521-8。（初版はニューヨークのWHフリーマン社より1989年に出版、ISBN 1000 ） 978-0-7167-1986-1）
  • 第 1 章 (  1 ～ 18 ページ) は、マーティン・ガードナー (1977 年 1 月) の論文「タイル理論を豊かにする並外れた非周期的なタイル配置」の再録です。サイエンティフィック・アメリカン、第236巻、第 1 号、 110 ～121ページ。Bibcode : 1977SciAm.236a.110G。doi : 10.1038 /scientificamerican0177-110。   。
• Godrèche, C; Lançon, F. (1992). "5重対称性を持つ非ピゾタイリングの簡単な例" . Journal de Physique I. 2 ( 2): 207–220 . Bibcode : 1992JPhy1...2..207G . doi : 10.1051/jp1:1992134 . S2CID 120168483 . 。
• グリュンバウム、ブランコ；シェパード、GC（1987）。タイルとパターン。ニューヨーク：WHフリーマン。ISBN 978-0-7167-1193-3。。
• ケンプ、マーティン（2005）。「文化における科学：タイルのトリック」。ネイチャー。436 （ 7049）：332。Bibcode ：2005Natur.436..332K。doi ： 10.1038 / 436332a。。
• Lançon, Frédéric; Billard, Luc (1988). "準結晶基底状態を持つ二次元系" (PDF) . Journal de Physique . 49 (2): 249– 256. CiteSeerX 10.1.1.700.3611 . doi : 10.1051/jphys:01988004902024900 . 2011年7月20日にオリジナル(PDF)からアーカイブ済み。 2009年11月28日取得。 。
• Lord, EA; Ranganathan, S. (2001). 「グンメルト十角形を『準単位セル』として捉える」" (PDF) . Acta Crystallographica . A57 (5): 531– 539. CiteSeerX 10.1.1.614.3786 . doi : 10.1107/S0108767301007504 . PMID 11526302 . 2011年7月21日にオリジナル(PDF)からアーカイブ済み。 2009年12月13日取得。  
• Lu, Peter J.; Steinhardt, Paul J. (2007). "中世イスラム建築における十角形および準結晶タイル」(PDF) . Science . 315 (5815): 1106– 1110. Bibcode : 2007Sci...315.1106L . doi : 10.1126/science.11 ​​35491 . PMID 17322056 . S2CID 10374218 .  。
• Luck, R. (2000). "Dürer-Kepler-Penrose: 五角形タイルの展開". Materials Science and Engineering . 294 (6): 263– 267. doi : 10.1016/S0921-5093(00)01302-2 .。
• Makovicky, E. (1992). 「イラン、マラガの800年前の五角形タイル張りと、それが着想を得た新しい非周期タイル張りのバリエーション」 . I. Hargittai (編) 『五重対称性』 . シンガポール–ロンドン: World Scientific. pp. 67–86 . ISBN  978-981-02-0600-0。。
• ペンローズ、ロジャー（1978）。「ペンタプレキシティ」（PDF）。ユーレカ。第39巻、 16～  22ページ。2022年8月9日にオリジナル（PDF）からアーカイブ。 2021年2月2日に取得。 （ここで引用されているページ番号は、Penrose, R. (1979–80). "Pentaplexity: A class of non-periodic tilings of the plane". The Mathematical Intelligencer . 2 : 32– 37. doi : 10.1007/BF03024384 . S2CID 120305260の複製からのものです。 ） ）
• ラディン、チャールズ（1996年4月）。「書評：準結晶と幾何学」（PDF）。アメリカ数学会報。43 （4）：416–421。
• セネシャル、マージョリー（1996）。準結晶と幾何学。ケンブリッジ大学出版局。ISBN 978-0-521-57541-6。。
• Steinhardt, Paul J.; Jeong, Hyeong-Chai (1996). "ペンローズタイリングへのより単純なアプローチと準結晶形成への示唆". Nature . 382 (8月1日): 431–433 . Bibcode : 1996Natur.382..431S . doi : 10.1038/382431a0 . S2CID 4354819 . 。
• Zaslavskiĭ, GM; Sagdeev, Roal'd Z.; Usikov, DA; Chernikov, AA (1988). "最小カオス、確率的ウェブ、準結晶対称性の構造". Soviet Physics Uspekhi . 31 (10): 887– 915. Bibcode : 1988SvPhU..31..887Z . doi : 10.1070/PU1988v031n10ABEH005632 .。