クアクアバーサルタイル

クアクアバーサルタイリングは、ジョン・コンウェイとチャールズ・ラディンによって導入されたユークリッド3次元空間の非周期的タイリングである。これは、SO(3)で密なタイルの向きを持つ2次元の風車タイリングに類似している。基本的なソリッドタイルは、30-60-90の三角柱で、いくつかのコピーはπ/3回転し、いくつかは垂直方向にπ/2回転するパターンで配置されている。^[1]

彼らは、2π/ pの回転と 2π/ qの垂直回転によって与えられる群 G( p , q ) を構成する。quaquaversal タイル張りの向きは G(6,4) によって与えられる。G( p ,1) は巡回群、G( p ,2) は二面体群、G(4,4) は八面体群であり、他のすべての G( p , q )は無限かつ SO(3) において稠密である。pとqが奇数かつ≥3 の場合、G( p , q ) は自由群である。^[1]

ラディンとロレンゾ・サドゥンは、ペンローズタイリングと風車タイリングに関連したタイリングに基づいて同様のハニカムを構築した。前者はG(10,4)に配向を持ち、後者は無理回転2π/ p = arctan(1/2)でG( p ,4)に配向を持つ。彼らは、G( p ,4)が前述のpの値に対してSO(3)に稠密であり、cos(2π/ p )が超越的である場合は常に稠密であることを示した。^[2]

参考文献

^ ジョン・H・コンウェイ; Radin, Charles (1998)、「Quaquaversal tilings and Rotations」、Inventiones Mathematicae、132 (1): 179–188、Bibcode :1998InMat.132..179C、doi :10.1007/s002220050221、MR 1618635、S2CID 14194250。
^ ラディン、チャールズ; サドゥン、ロレンゾ (1998)、「タイル張りに関連する SO(3) のサブグループ」、代数ジャーナル、202 (2): 611–633、doi : 10.1006/jabr.1997.7320、MR 1617675。

外部リンク

クアクアバーサルタイルの写真
テキサス大学のチャールズ・ラディンのページ

[cr-1] ジョン・H・コンウェイ; Radin, Charles (1998)、「Quaquaversal tilings and Rotations」、Inventiones Mathematicae、132 (1): 179–188、Bibcode :1998InMat.132..179C、doi :10.1007/s002220050221、MR 1618635、S2CID 14194250。

[r-2] ラディン、チャールズ; サドゥン、ロレンゾ (1998)、「タイル張りに関連する SO(3) のサブグループ」、代数ジャーナル、202 (2): 611–633、doi : 10.1006/jabr.1997.7320、MR 1617675。