直交軌道

数学において、直交軌道とは、与えられた（平面）曲線束の任意の曲線と直交して交差する曲線のことです。

たとえば、同心円の鉛筆の直交軌道は、それらの共通の中心を通る線です (図を参照)。

直交軌道を決定するための適切な方法は、微分方程式を解くことによって提供されます。標準的な方法では、1 次常微分方程式を確立し、変数の分離によってそれを解きます。両方の手順は困難または不可能である可能性があります。そのような場合は、数値手法を適用する必要があります。

直交軌道は、例えば数学では曲線座標系（楕円座標）として使用され、物理学では電場とその等電位曲線として現れます。

軌道が任意の（ただし固定の）角度で与えられた曲線と交差する場合、等角軌道が得られます。

一般的に、曲線束は方程式によって 暗黙的に与えられると仮定する。

(0) 1. 例2. 例${\displaystyle :\ F(x,y,c)=0,\qquad }$${\displaystyle :\x^{2}+y^{2}-c=0\ ,\qquad }$${\displaystyle y=cx^{2}\ \leftrightarrow \ y-cx^{2}=0\ ,}$

ここで、 はペンシルのパラメータです。ペンシルが方程式 によって明示的に与えられている場合は、表現を暗黙的なものに変更できます。以下の考察では、必要な導関数はすべて存在するものと仮定します。 ${\displaystyle c}$${\displaystyle y=f(x,c)}$${\displaystyle yf(x,c)=0}$

ステップ1。

利回り を暗黙的に微分する${\displaystyle x}$

(1) 1.例 2.例${\displaystyle :\ F_{x}(x,y,c)+F_{y}(x,y,c)\;y'=0,\qquad }$${\displaystyle :\2x+2yy'=0\,\qquad}$${\displaystyle :\y'-2cx=0\ .}$

ステップ2。

ここで、式(0)はパラメータ について解くことができ、それによって式(1)からパラメータ が消去されると仮定する。すると、1階微分方程式が得られる。 ${\displaystyle c}$

（２）１．例２．例${\displaystyle :\y'=f(x,y),\qquad }$${\displaystyle :\ y'=-{\frac {x}{y}}\ ,\qquad }$${\displaystyle :\ y'=2{\frac {y}{x}}\ ,}$

これは与えられた曲線の束によって満たされます。

ステップ3。

ある点における直交軌道の傾きは、その点における与えられた曲線の傾きの負の逆数であるため、直交軌道は一次微分方程式を満たす。 ${\displaystyle (x,y)}$

（３） １．例２．例${\displaystyle :\y'=-{\frac {1}{f(x,y)}}\ ,\qquad }$${\displaystyle :\ y'=y/x\ ,\qquad }$${\displaystyle :\y'=-{\frac {x}{2y}}\ .}$

ステップ4。

この微分方程式は（うまくいけば）適切な方法で解くことができます。
どちらの例でも変数の分離が適切です。解は次のようになります。
例1では直線、 例2では楕円です。${\displaystyle y=mx,\ m\in \mathbb {R} }$
${\displaystyle x^{2}+2y^{2}=d,\ d>0\ .}$

曲線束が極座標で 暗黙的に表現されるとすると、

(0p)${\displaystyle :\ F(r,\varphi ,c)=0}$

直交座標の場合と同様に、パラメータフリーの微分方程式を決定する。

(1ページ)${\displaystyle :\ F_{r}(r,\varphi ,c)+F_{\varphi }(r,\varphi ,c)\;\varphi '=0,\qquad }$

(2ページ)${\displaystyle :\ \varphi '=f(r,\varphi )}$

鉛筆の直交軌道の微分方程式は次のようになる（Redheffer & Port p. 65、Heuser p. 120を参照）。

（3ページ）${\displaystyle :\\varphi '=-{\frac {1}{{\color {red}r^{2}}f(r,\varphi )}}\ .}$

例:カーディオイド:

(0p) (図中: 青)${\displaystyle :\ F(r,\varphi ,c)=rc(1+\cos \varphi )=0,\ c>0\ .\ }$

(1ページ)${\displaystyle :\ F_{r}(r,\varphi ,c)+F_{\varphi }(r,\varphi ,c)\;\varphi '=1+c\sin \varphi \;\varphi '= 0,\qquad }$

を消去すると、与えられた鉛筆の微分方程式が得られます。 ${\displaystyle c}$

(2ページ)${\displaystyle :\ \varphi '=-{\frac {1+\cos \varphi }{r\sin \varphi }}}$

したがって、直交軌道の微分方程式は次のようになります。

（3ページ）${\displaystyle :\ \varphi '={\frac {\sin \varphi }{r(1+\cos \varphi )}}}$

この微分方程式を変数分離法で解くと、

${\displaystyle r=d(1-\cos \varphi )\ ,\ d>0\ ,}$

これは、与えられた線分と対称なカーディオイド線分（図では赤）を表します。

与えられた（平面）曲線束の任意の曲線と一定の角度で交差する曲線は、等角軌道と呼ばれます。 ${\displaystyle \alpha}$

等角軌道の傾きと、ある点における鉛筆の曲線の傾きの間には、次の関係が成り立ちます。 ${\displaystyle \eta '}$${\displaystyle y'}$${\displaystyle (x,y)}$

${\displaystyle \eta '={\frac {y'+\tan(\alpha )}{1-y'\tan(\alpha )}}\ .}$

この関係は の式によるものです。 の場合、直交軌道の条件が得られます。 ${\displaystyle \tan(\alpha +\beta )}$${\displaystyle \alpha \rightarrow 90^{\circ}}$

等角軌道を決定するには、上記の手順の 3 番目の手順を調整する必要があります。

3. ステップ（等軌跡）

等角軌道の微分方程式は次のようになります。

• （３ｉ）${\displaystyle :\ y'={\frac {f(x,y)+\tan(\alpha )}{1-f(x,y)\;\tan(\alpha )}}\ .}$

1. 例（同心円）と角度${\displaystyle \alpha =45^{\circ}}$

（３ｉ）${\displaystyle :\ y'={\frac {-x/y+1}{1+x/y}}\ .}$

これは特殊な種類の微分方程式で、代入によって微分方程式に変換でき、変数分離によって解くことができます。 代入を逆にすると、解の方程式が得られます。 ${\displaystyle z=y/x}$

${\displaystyle \arctan {\frac {y}{x}}+{\frac {1}{2}}\ln(x^{2}+y^{2})=C\ .}$

極座標を導入すると、簡単な方程式が得られる。

${\displaystyle C-\varphi =\ln(r)\ ,}$

これは対数螺旋を表します(図を参照)。

軌道の微分方程式を理論的手法で解くことができない場合は、例えばルンゲ・クッタ法などによって数値的に解く必要があります。

• カッシーニオーバル
• 共焦点円錐断面
• 軌道
• アポロニウス円、互いに直交する円の族のペア

• A. Jeffrey: Advanced Engineering Mathematics、Hartcourt/Academic Press、2002年、ISBN  0-12-382592-X、p. 233。
• SB ラオ：微分方程式、大学出版局、1996年、ISBN 81-7371-023-6、p. 95。 
• RM Redheffer、D. Port: Differential Equations: Theory and Applications、Jones & Bartlett、1991年、ISBN 0-86720-200-9、p. 63。 
• H. Heuser: Gewöhnliche Differentialgleichungen、Vieweg+Teubner、2009、ISBN 978-3-8348-0705-2、p. 120. 
• テネンバウム、モリス、ポラード、ハリー（2012）、常微分方程式、ドーバー数学の本、クーリエドーバー、p. 115、ISBN 9780486134642。

• 直交軌道の探索 - ユーザーが曲線のファミリーとその直交軌道を描画できるようにするアプレット。
• mathcurve: フィールド ライン、直交線、二重直交システム