極円（幾何学）

幾何学において、三角形の極円は、その中心が三角形の垂心であり、その半径の二乗が

${\displaystyle \displaystyle {\begin{aligned}r^{2}&={\overline {HA}}\times {\overline {HD}}={\overline {HB}}\times {\overline {HE}}={\overline {HC}}\times {\overline {HF}}\\[4pt]&=-4R^{2}\cos A\cos B\cos C\\[4pt]&=4R^{2}-{\frac {a^{2}+b^{2}+c^{2}}{2}}\end{aligned}}}$

ここで、A、B、Cは三角形の頂点とそれらの頂点における角度の測定値の両方を表します。Hは垂心（三角形の標高の交点）です。D 、E、Fはそれぞれ頂点A、B、Cからの標高のフィートです。Rは三角形の外接半径（三角形に外接する円の半径）です。a 、b、cはそれぞれ頂点A、B、Cの反対側にある三角形の辺の長さです。^{[1] ：p. 176}

半径の公式の最初の部分は、垂心が高度を等しい積の線分のペアに分割するという事実を反映しています。半径の三角関数の公式は、三角形が鈍角である場合にのみ極円が実際に存在することを示しています。つまり、その角度の 1 つは鈍角であり、したがって負の余弦を持ちます。

直交中心系における2つの三角形の任意の2つの極円は直交する。^{[1] ：p.177}

完全な四辺形の三角形の極円は共軸系を形成する。^{[1] : p. 179}

極円の最も重要な特性は、三角形が自己極性を持っていることです。つまり、各辺/点の極性は、反対側の辺/点になります。

三角形の外接円、その9点円、その極円、およびその接線三角形の外接円は共軸である。^{[2] : p. 241}

• Weisstein、Eric W.「極円」。MathWorld。