相同中心

幾何学において、相似中心（相似中心とも呼ばれる）は、少なくとも 2 つの幾何学的に相似な図形が互いの拡大または縮小として見られる点です。中心が外部にある場合、2 つの図形は互いに直接相似であり、それらの角度は同じ回転方向を持ちます。中心が内部にある場合、2 つの図形は互いの拡大鏡像であり、それらの角度は反対方向を持ちます。

2 つの幾何図形が相似中心を持つ場合、それらは互いに相似です。言い換えると、対応する点の角度が同じで、相対的なスケールのみが異なる必要があります。相似中心と 2 つの図形は同じ平面にある必要はなく、相似中心からの 投影によって関連付けることができます。

相似中心は、外部または内部にあります。中心が内部にある場合、2 つの幾何図形は互いに拡大縮小された鏡像になります。専門用語で言えば、それらは反対のキラリティーを持ちます。一方の図形の時計回りの角度は、もう一方の図形の反時計回りの角度に対応します。逆に、中心が外部にある場合、2 つの図形は互いに直接相似であり、それらの角度は同じ方向にあります。

円は幾何学的に互いに相似で、鏡映対称です。したがって、中心が等しいか半径が等しい場合を除き、一対の円には内部と外部の両方の相似中心があります。これらの例外的なケースは、一般的な位置の後で扱われます。これらの 2 つの相似中心は、2 つの与えられた円の中心を結ぶ線上にあります。この線は中心線と呼ばれます(図 3)。半径が 0 の円も含めることができ (例外的なケースを参照)、負の半径を使用して外部と内部を切り替えることもできます。

与えられた 1 組の円について、内部相似中心と外部相似中心をさまざまな方法で見つけることができます。解析幾何学では、内部相似中心は、反対側の円の半径で重み付けされた円の中心の加重平均です。円の中心から内部中心までの距離はその半径に比例するため、重みは反対側の半径に比例します。円C ₁、C ₂の中心を( x ₁、y ₁ )、 ( x ₂、y ₂ )で表し、その半径をr ₁、r ₂で表し、中心を( x ₀、y ₀ )で表すと、次のようになります。 外部中心は同じ式で計算できますが、半径の 1 つを負と見なします。どちらでも同じ方程式が得られます。 より一般的には、両方の半径を同じ符号 (両方とも正または両方とも負) にすると内側の中心が得られ、反対の符号 (一方が正でもう一方が負) にすると外側の中心が得られます。内側の中心の方程式は任意の値に対して有効ですが (両方の半径が 0 または 1 つが他方の負でない限り)、外側の中心の方程式では半径が異なる必要があり、そうでない場合はゼロ除算が必要になります。 $${\displaystyle (x_{0},y_{0})={\frac {r_{2}}{r_{1}+r_{2}}}(x_{1},y_{1})+{\frac {r_{1}}{r_{1}+r_{2}}}(x_{2},y_{2}).}$$$${\displaystyle (x_{e},y_{e})={\frac {-r_{2}}{r_{1}-r_{2}}}(x_{1},y_{1})+{\frac {r_{1}}{r_{1}-r_{2}}}(x_{2},y_{2}).}$$

総合幾何学では、各円に 1 つずつ、2 つの平行な直径が描かれます。これらは中心線と同じ角度 α をなします。_{これらの半径の対応する端点 (相同点) を通る直線 A 1 A 2 、 B 1 B 2}は、互いに_交差し_、中心_線と は外部相同中心で交差します。逆に、一方の端点とその反対側の端点を通る直線A ₁ B ₂、B ₁ A ₂は、互いに交差し、中心線とは内部相同中心で交差します。

この構成の限定的なケースとして、両方の円に接する線(複接線) は、対応する直径の両方と直角を成すため、平行であるため、相似中心の 1 つを通過します。詳細については、 2 つの円の接線を参照してください。円が線の反対側にある場合、線は内部相似中心を通過します (上の図のA ₂ B ₁を参照)。逆に、円が線の同じ側にある場合、線は外部相似中心 (図には示されていません) を通過します。

円の半径が同じ（ただし中心が異なる）場合、アフィン平面に外部相似中心はありません。解析幾何学では、これはゼロ除算になりますが、総合幾何学では、線A ₁ A ₂、B ₁ B ₂ は中心線（割線と複接線の両方）に平行であるため、交差はありません。外部中心は、射影平面で、この線の傾きに対応する無限遠点として定義できます。これは、円の中心が固定され、半径が等しくなるまで変化する場合の外部中心の限界でもあります。

円の中心は同じだが半径が異なる場合、外側と内側の両方が円の共通の中心と一致します。これは解析式からわかるように、半径を等しく保ちながら 2 つの円の中心が一致するまで変化するため、2 つの相似中心の限界でもあります。ただし、中心線は存在せず、2 つの平行線が一致するため合成構成は失敗します。

一方の半径がゼロでもう一方がゼロでない場合（点と円）、外部中心と内部中心の両方が点（半径ゼロの円の中心）と一致します。

2 つの円が同一 (中心が同じ、半径が同じ) である場合、内部中心はそれらの共通の中心になりますが、明確に定義された外部中心は存在しません。つまり、平面上の 2 つの円のパラメータ空間から外部中心への関数は、同一円の軌跡上で除去できない不連続性を持ちます。半径は同じだが中心が異なる 2 つの円が、同じ中心を持つようになるという極限では、外部中心は中心線の傾きに対応する無限遠点です。中心線の傾きは任意であるため、このような円の可能なすべてのペアに対して制限は存在しません。

逆に、両方の半径がゼロ（2 つの点）であるが、点が異なる場合、外部中心は中心線の傾きに対応する無限遠点として定義できますが、明確に定義された内部中心は存在しません。

一般に、相同中心を通る直線は、その中心の円のそれぞれと2か所で交差します。これらの4点のうち、2点は、それらの点に引いた半径が中心を結ぶ線と同じ角度をなす場合、相同であると言われます。たとえば、図4の点Q、Q'です。相同中心に対して同一線上にあるが相同ではない点は、反相同であると言われます。^[1]たとえば、図4の 点Q、P'です。

同じ相同中心からの 2 本の光線が円と交差する場合、反相同点の各セットは円上にあります。

三角形△ EQS、 △ EQ'S'を考えてみましょう(図 4)。Eは相似中心な ので、
これらは相似です 。この相似から、次の式が成り立ちます。内接角定理 により、 ∠ QSR' は∠ ESQの補角な ので、 四辺形QSR'P'では 円に内接 できます。正接定理から、次の式が成り立ちます。 同様に、PRS'Q' は円に内接でき、 $${\displaystyle \angle QES=\angle Q'\!ES',\quad {\frac {\overline {EQ}}{\overline {EQ'}}}={\frac {\overline {ES}}{\overline {ES'}}},}$$$${\displaystyle \angle ESQ=\angle ES'\!Q'=\alpha .}$$$${\displaystyle \angle EP'\!R'=\angle ES'\!Q'.}$$$${\displaystyle \angle QSR'=180^{\circ }-\alpha .}$$ $${\displaystyle \angle QSR'+\angle QP'\!R'=180^{\circ }-\alpha +\alpha =180^{\circ },}$$$${\displaystyle {\overline {EQ}}\cdot {\overline {EP'}}={\overline {ES}}\cdot {\overline {ER'}}.}$$$${\displaystyle {\overline {EP}}\cdot {\overline {EQ'}}={\overline {ER}}\cdot {\overline {ES'}}.}$$

証明は内部相似中心Iについても同様である。 線分RQ'はPとS'から同じ角度で見られるので、R、P、S'、Q'は円周上にある。交差弦定理から、 同様にQSP'R'は円周上に内接し、 $${\displaystyle {\begin{aligned}&\triangle PIR\cong \triangle P'\!IR'\\&\implies \angle RPI=\angle IP'\!R'=\alpha \\&\implies \angle RS'\!Q'=\angle PP'\!R'=\alpha \quad {\text{(inscribed angle theorem)}}\end{aligned}}}$$$${\displaystyle {\overline {IP}}\cdot {\overline {IQ'}}={\overline {IR}}\cdot {\overline {IS'}}.}$$$${\displaystyle {\overline {IQ}}\cdot {\overline {IP'}}={\overline {IS}}\cdot {\overline {IR'}}.}$$

2 つの円には根軸があり、これは両方の円への接線の長さが等しい点の直線です。より一般的には、根軸上のすべての点は、円に対するその累乗が等しいという特性を持ちます。根軸は常に中心線に対して垂直であり、2 つの円が交差する場合、それらの根軸はそれらの交点を結ぶ直線です。3 つの円の場合、円のペアごとに 1 つずつ、合計 3 つの根軸を定義できます ( C ₁ / C ₂、C ₁ / C ₃、C ₂ / C ₃ )。注目すべきことに、これら 3 つの根軸は 1 つの点、つまり根軸の中心で交差します。根軸の中心から 3 つの円に引いた接線の長さはすべて等しくなります。

任意の 2 対の反相同点を使用して、根軸上の点を見つけることができます。図 4 の外部相同中心Eから放射される 2 本の光線について考えます。これらの光線は、2 つの与えられた円 (図 4 の緑と青) と、最初の光線の場合は反相同点Q、P' 、2 番目の光線の場合はS、R'の 2 対の反相同点で交差します。これらの 4 つの点は、両方の与えられた円と交差する 1 つの円上にあります。定義により、線QS は緑の与えられた円を持つ新しい円の根軸であり、線P'R' は青の与えられた円を持つ新しい円の根軸です。これらの 2 本の線は点Gで交差します。これは、新しい円と 2 つの与えられた円の根軸中心です。したがって、点G は2 つの与えられた円の根軸上にもあります。

2 つの円の反相同点の各ペアには、与えられた円に接し、反相同点でそれらの円に接する 3 番目の円が存在します。
逆もまた真で、他の 2 つの円に接するすべての円は、反相同点のペアでそれらの円に接します。

2 つの円の中心をO ₁、O ₂とします(図 5)。Eはそれらの外部相似中心です。Eから任意の光線を描き、この光線が 2 つの円と P、 Q、 P'、 Q' で交差するようにします。O 1 Q、 O 2 P' を T 1 で交差するまで延長します。三角形 △ O 1 PQ、_△ O 2 P'Q _'は相似_性のため相似_であることが_簡単に証明できます。また、 (半径) のため二等辺三角形でもあります。 したがって、△ T ₁ P'Qも二等辺三角形であり、中心T ₁、半径 の 円を描くことができます。この円は、点Q、 P' で 2 つの与えられた円に接します。 ${\displaystyle {\overline {O_{1}P}}={\overline {O_{1}Q}}}$$${\displaystyle \angle O_{1}PQ=\angle O_{1}QP=\angle O_{2}P'\!Q'=\angle O_{2}Q'\!P'=\angle T_{1}QP'=\angle T_{1}P'\!Q.}$$$${\displaystyle {\overline {T_{1}P'}}={\overline {T_{1}Q}}.}$$

他の反相同点のペア（ P、Q' ）の証明、および内部相同中心の場合も同様です。

あらゆる可能な反相同点のペアに対して接円を作成すると、相同中心ごとに 1 つずつ、合計 2 つの円族が得られます。外部相同中心の円族では、すべての接円に両方の与円が含まれるか、まったく含まれないかのいずれかになります (図 6)。一方、もう一方の族の円には、常に与円の 1 つだけが含まれます (図 7)。

接線族のすべての円は共通の根軸中心を持ち、それは相似中心と一致します。
これを示すために、相似中心から与えられた円と交差する 2 本の光線を考えます (図 8)。与えられた円と反対相同点で接する 2 つの接円 T ₁、T _{2 が}存在します。すでに示したように、これらの点は円C上にあるため、 2 本の光線はC / T ₁、C / T ₂の根軸です。すると、 2 つの根軸の交点はT ₁ / T ₂の根軸にも属している必要があります。この交点が相似中心Eです。

図 5 のように、2 つの接円が反相同点の共線的なペアに接する場合、相似性により 、 2 つの接円に対するE のべき乗は等しくなり、 E が根軸に属することを意味します。 $${\displaystyle {\frac {\overline {EP}}{\overline {EP'}}}={\frac {\overline {EQ}}{\overline {EQ'}}};\quad {\overline {EP}}\cdot {\overline {EQ'}}={\overline {EQ}}\cdot {\overline {EP'}}.}$$

どのような円のペアにも 2 つの相似中心があるため、3 つの円には 6 つの相似中心があり、与えられた円の異なるペアごとに 2 つずつあります。注目すべきことに、これらの 6 つの点は 4 つの線上にあり、各線上に 3 つの点があります。これを示す 1 つの方法を次に示します。

3 つの円の平面を考えます(図 9)。それぞれの中心点を、対応する半径に等しい距離だけ平面に対して垂直にオフセットします。中心は、平面のどちら側にもオフセットできます。オフセットされた 3 つの点は、単一の平面を定義します。その平面で、各点のペアを通る 3 本の線を引きます。線は、点H _AB、 H _BC、 H _ACで円の平面を貫通します。2つの異なる非平行平面に共通する点の軌跡は直線であるため、必然的にこれら 3 つの点はそのような直線上にあります。三角形△ H _AB AA'、 △ H _AB BB'の相似性から、 ( r _A、r _Bは円の半径)、したがってH _ABは、実際に対応する 2 つの円の相似中心であることがわかります 。同じことがH _BCとH _ACについても行えます。$${\displaystyle {\frac {\overline {H\!_{AB}B}}{\overline {H\!_{AB}A}}}={\frac {r_{B}}{r_{A}}}}$$

相似中心のさまざまな組み合わせに対して上記の手順を繰り返すと (この方法では、これは円の中心をオフセットする側によって決まります)、合計 4 本の線 (各線に 3 つの相似中心) が生成されます (図 10)。

これを証明するもう一つの方法がここにあります。

C ₁、C _{2 を}、3 つの与えられた円すべてに接する共役な円のペアとします(図 11)。共役とは、両方の接円が、与えられた円のペアのいずれかに関して同じファミリーに属することを意味します。すでに見たように、同じファミリーの任意の 2 つの接円の根軸は、2 つの与えられた円の相似中心を通ります。接円は 3 つの与えられた円のペアすべてに共通であるため、それらの相似中心はすべてC ₁、C ₂の根軸に属し、つまり 1 本の線上にあります。

この特性は、ジョセフ・ディアス・ジェルゴンヌによるアポロニウスの問題の一般解法で利用されています。3 つの円が与えられれば、相似中心が見つかり、それによって 1 組の解円の根軸が求められます。もちろん、根軸が同じ円は無限に存在するため、どの 2 つの円が解であるかを正確に特定するために追加の作業が行われます。