オープンセット

数学において、開集合は実数直線上の開区間の一般化である。

距離空間( 2 点間の距離が定義されている集合)において、開集合とは、任意の点P を含み、距離空間内でPに十分近いすべての点(つまり、Pまでの距離がPに依存する値よりも小さいすべての点) が含まれる集合です。

より一般的には、開集合とは、与えられた集合の部分集合の与えられた集合の要素であり、その集合はその要素のすべての和集合、その要素のすべての有限積集合、空集合、および集合全体自身を含むという性質を持つ。そのような集合が与えられた集合は位相空間と呼ばれ、その集合は位相と呼ばれる。これらの条件は非常に緩く、開集合の選択に非常に大きな柔軟性を与える。例えば、すべての部分集合が開集合になる場合もあれば（離散位相）、空間自体と空集合以外の部分集合が開集合になる場合もある（非離散位相）。^[1]

しかし、実際には、距離の概念を定義せずに、距離空間に似た近さの概念を提供するために開集合が選択されることが多い。特に、位相によって、もともと距離によって定義されていた 連続性、連結性、コンパクト性などのプロパティを定義できる。

距離のない位相の最も一般的なケースは、多様体によって与えられます。多様体は、各点の近くではユークリッド空間の開集合に似ていますが、一般に距離は定義されていない位相空間です。あまり直感的ではない位相は、数学の他の分野で使用されています。たとえば、代数幾何学とスキーム理論の基礎となるザリスキ位相です。

直感的には、開集合は 2点を区別する方法を提供します。たとえば、位相空間内の 2 点のうちの 1 つについて、もう 1 つの (異なる) 点を含まない開集合が存在する場合、その 2 点は位相的に区別可能と呼ばれます。このように、距離を具体的に定義することなく、位相空間の2 点、またはより一般的には 2 つの部分集合が「近い」かどうかを言うことができます。したがって、位相空間は、距離の概念を備えた空間(距離空間と呼ばれる) の一般化と見なすことができます。

すべての実数の集合には、自然なユークリッド距離、つまり 2 つの実数間の距離を測定する関数d ( x , y ) = | x − y |が存在します。したがって、実数xが与えられたとき、その実数に近いすべての点、つまりxのε内にあるすべての点の集合について話すことができます。本質的に、xの ε 内にある点は、次数εの精度でx を近似します。ε > 0 は常にですが、εが小さくなるにつれて、x をより高い精度で近似する点が得られることに注意してください。たとえば、x = 0 でε = 1 の場合、 xのε内にある点は、正確に区間(−1, 1)内の点、つまり -1 から 1 までのすべての実数の集合です。ただし、ε = 0.5 の場合、 xのε内にある点は、正確に (−0.5, 0.5) の点です。明らかに、これらの点はε = 1 の場合よりも高い精度でx を近似します。

これまでの議論では、 x = 0の場合、 ε をどんどん小さく定義することで、 x をどんどん高い精度で近似できることが示されています。特に、 (− ε、ε ) の形式の集合は、 x = 0に近い点に関する多くの情報を提供します。したがって、具体的なユークリッド距離について話すのではなく、集合を使用してxに近い点を記述することができます。この革新的なアイデアは広範囲にわたる結果をもたらします。特に、 0 を含む集合の異なるコレクション (集合 (− ε、ε ) とは異なる) を定義することで、 0 と他の実数との間の距離に関して異なる結果が得られる可能性があります。たとえば、R を「距離を測定する」ための唯一の集合として定義すると、 0 を近似する際に達成できる精度はRのメンバーであることだけであるため、すべての点は 0 に近くなります。したがって、ある意味では、すべての実数は 0 から 0 の距離にあることがわかります。この場合、この測定値をバイナリ条件として考えると役立つ場合があります。つまり、 R内のすべてのものは 0 に等しく近く、 Rにない項目は0 に近くありません。

一般に、 0 を近似するために使用される 0 を含む集合の族を近傍基数と呼びます。この近傍基数のメンバーは開集合と呼ばれます。実際、これらの概念を実数だけでなく任意の集合 ( X ) に一般化することができます。この場合、その集合の点 ( x ) が与えられたら、 x を近似するために使用される、 xの「周囲」(つまり x を含む) の集合のコレクションを定義できます。もちろん、このコレクションは特定のプロパティ (公理と呼ばれる) を満たしている必要があります。そうでないと、距離を測定するための明確に定義された方法が得られない可能性があります。たとえば、Xのすべての点は、ある程度の精度でx を近似する必要があります。したがって、 X はこの族に属している必要があります。 xを含む「より小さな」集合を定義し始めると、 x をより正確に近似する傾向があります。これを念頭に置いて、 x の周りの集合の族が満たす必要がある残りの公理を定義できます。

ここでは、技術的な意味が増す順にいくつかの定義を示します。各定義は、次の定義の特殊なケースです。

ユークリッドn空間R ⁿの部分集合が開集合であるとは、内の任意の点xに対して、正の実数ε （ xに依存）が存在し、 xからのユークリッド距離がεより小さいR ⁿ内の任意の点が に属する場合である。^[2]同様に、 内の任意の点が に含まれる開球の中心である場合、 R ⁿの部分集合は開集合である。${\displaystyle U}$ ${\displaystyle U}$${\displaystyle U}$${\displaystyle U}$${\displaystyle U}$${\displaystyle U.}$

Rの開かない部分集合の例としては、閉区間 [0,1]が挙げられます。これは、ε > 0に対して、 0 - εも1 + εも、どんなに小さくても[0,1]に属していないためです。

距離空間( M、d )の部分集合Uが開集合であるとは、U内の任意の点xに対して、 d ( x、y ) < ε を満たす任意の点がUに属するような実数ε > 0が存在する場合である。同様に、U内のすべての点の近傍がUに含まれる場合、 U は開集合である。 ${\displaystyle y\in M}$

これはユークリッド空間の例を一般化したものです。ユークリッド距離を持つユークリッド空間は距離空間だからです。

集合X上の位相と は、以下の性質を持つXの部分集合の集合である。 の各要素は開集合と呼ばれる。^[3]${\displaystyle \tau}$${\displaystyle \tau}$

• ${\displaystyle X\in \tau }$そして${\displaystyle \varnothing \in \tau }$
• の集合の任意の和集合は、次のものに属します。${\displaystyle \tau}$${\displaystyle \tau}$${\displaystyle \left\{U_{i}:i\in I\right\}\subseteq \tau }$$${\displaystyle \bigcup _{i\in I}U_{i}\in \tau }$$
• 内の任意の有限集合の交差はに属する。${\displaystyle \tau}$${\displaystyle \tau}$${\displaystyle U_{1},\ldots ,U_{n}\in \tau }$$${\displaystyle U_{1}\cap \cdots \cap U_{n}\in \tau }$$

Xを と合わせて位相空間と呼びます。 ${\displaystyle \tau}$

開集合の無限交差は必ずしも開いている必要はありません。たとえば、が正の整数である形式のすべての区間の交差は、実数直線上で開いていない集合です。 ${\displaystyle \left(-1/n,1/n\right),}$${\displaystyle n}$${\displaystyle \{0\}}$

距離空間は位相空間であり、その位相は開球の和集合であるすべての部分集合の集合から構成されます。ただし、距離空間ではない位相空間も存在します。

任意の数の開集合、あるいは無限数の開集合の和集合は開集合である。 ^[4]有限数の開集合の積集合は開集合である。[ 4 ^]

開集合の補集合（位相が定義されている空間を基準として）は閉集合と呼ばれる。集合は開集合と閉集合の両方である場合がある（閉開集合）。空集合と完全空間は、開集合と閉集合の両方である集合の例である。^[5]

集合はそれ自体では開いているとはみなされません。この概念は、それを含む集合とその上の特定の位相に相対的です。

集合が開いているかどうかは、検討中の位相に依存する。より明瞭性よりも簡潔性を優先したため、位相が与えられた集合Xを、「位相空間 」ではなく「位相空間X 」と呼ぶ。これは、位相データがすべて に含まれているという事実にもかかわらずである。同じ集合に 2 つの位相がある場合、最初の位相で開いている集合Uが、2 番目の位相では開いていない可能性がある。たとえば、X が任意の位相空間で、YがXの任意の部分集合である場合、集合Yには、「集合 U がY上の部分空間位相で開いている場合と、U がYと、元のX上の位相からの開集合の交差である場合に限ります」と定義される独自の位相 (「部分空間位相」と呼ばれる) を与えることができる。^[6]これにより、新しい開集合が導入される可能性がある。つまり、VがX上の元の位相で開いているが、X上の元の位相では開いていない場合は、Y上の部分空間位相で開いている。 ${\displaystyle \tau}$${\displaystyle (X,\tau )}$${\displaystyle \tau .}$${\displaystyle V\cap Y}$${\displaystyle V\cap Y}$

具体的な例として、U が区間 内の有理数の集合として定義されている場合、U は有理数の開集合ですが、実数の開集合ではありません。これは、周囲の空間が有理数である場合、U内のすべての点xに対して、 xから距離a内にあるすべての有理点が U にも含まれるような正の数 a が存在するためです。一方、周囲の空間が実数である場合、 U 内のすべての点 x に対して、 x から距離 a 内にあるすべての実数点が U にも含まれるような正の数aは存在しません( Uには非有理数が含まれないため)。 ${\displaystyle (0,1),}$

開集合は位相幾何学において基本的な重要性を持っています。この概念は、距離空間や一様空間などの空間の近さと収束の概念を扱う位相空間やその他の位相構造を定義し、理解するために必要です。

位相空間Xのすべての部分集合 Aには（空集合の場合もある）開集合が含まれる。そのような開集合の最大値（包含関係で順序付けられた）はAの内部と呼ばれる。内部はAに含まれるすべての開集合の和集合をとることで構成できる。^[7]

2つの位相空間と間の関数が 連続であるとき、 その関数は、その中のすべての開集合の原像が、その中のすべての開集合の^...${\displaystyle f:X\to Y}$${\displaystyle X}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle X.}$${\displaystyle f:X\to Y}$${\displaystyle X}$${\displaystyle Y.}$

実数直線上の開集合は、互いに交わらない開区間の可算な和集合であるという特徴的な性質を持ちます。

集合は、開集合、閉集合、その両方、あるいはどちらでもない集合である。特に、開集合と閉集合は相互に排他的ではない。つまり、位相空間の部分集合が同時に開集合と閉集合の両方である可能性が一般には存在する。このような部分集合は閉集合と呼ばれる。明示的には、位相空間の部分集合は、 とその補集合の両方が の開集合である場合に閉集合と呼ばれる。または、と が${\displaystyle S}$${\displaystyle (X,\tau )}$${\displaystyle S}$${\displaystyle X\setminus S}$${\displaystyle (X,\tau )}$${\displaystyle S\in \tau }$${\displaystyle X\setminus S\in \tau .}$

どのような位相空間でも、空集合と集合自体は常に閉開集合です。これら 2 つの集合は閉開集合の最もよく知られた例であり、閉開集合があらゆる位相空間に存在することを示しています。位相の定義により、とが両方とも開集合であり、それぞれが他方の補集合であるため、閉じ集合でもあることを指摘するだけで十分です。 ${\displaystyle (X,\tau ),}$${\displaystyle \varnothing }$${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$${\displaystyle \varnothing }$

実数直線の通常のユークリッド位相の開集合は、空集合、開区間、および開区間のすべての和集合です。 ${\displaystyle \mathbb {R} }$

• 区間 はユークリッド位相の定義によりでは開区間です。 での補区間は であり、開区間ではないため、 は閉区間ではありません。実際、 に含まれる開区間は1 を含むことができず、 は開区間の和集合にはなり得ません。したがって、は開区間ではあるが閉区間ではない集合の例です。${\displaystyle I=(0,1)}$${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle I^{\complement }=(-\infty ,0]\cup [1,\infty ),}$${\displaystyle I^{\complement }}$${\displaystyle I^{\complement }}$${\displaystyle I}$
• 同様の議論によれば、区間は閉じた部分集合ではあるが、開いた部分集合ではない。${\displaystyle J=[0,1]}$
• 最後に、もその補集合も開いていません (開区間の和集合として表すことができないため)。つまり、は開いても閉じてもいないということです。${\displaystyle K=[0,1)}$${\displaystyle \mathbb {R} \setminus K=(-\infty ,0)\cup [1,\infty )}$${\displaystyle K}$

位相空間に離散位相が備わっている場合（定義により のすべての部分集合は開集合となる）、 のすべての部分集合は閉集合となる。離散位相を彷彿とさせるより高度な例として、 が空でない集合上の超フィルタであるとする。すると、和集合は上の位相となり、のすべての空でない真部分集合は開集合か閉集合のいずれかであり、両方となることはないという性質を持つ。つまり、（ただし）の場合、次の 2 つのステートメントのうち正確に 1 つが真となる。 （1）または （2）言い換えると、すべての部分集合は開集合または閉集合であるが、 両方である（つまり閉集合である）部分集合はと のみである。${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$${\displaystyle {\mathcal {U}}}$${\displaystyle X.}$${\displaystyle \tau :={\mathcal {U}}\cup \{\varnothing \}}$${\displaystyle X}$${\displaystyle S}$${\displaystyle X}$${\displaystyle \varnothing \neq S\subsetneq X}$${\displaystyle S\neq X}$${\displaystyle S\in \tau }$${\displaystyle X\setminus S\in \tau .}$${\displaystyle \varnothing }$${\displaystyle X.}$

位相空間の部分集合は、 が成り立つとき、あるいはそれと同値であるとき、正則開集合と呼ばれる。ここで、、、およびは、それぞれにおける の位相境界、内部、および閉包を表す。正則開集合からなる基底が存在する位相空間は、半正則空間と呼ばれる。 の部分集合が正則開集合となるのは、 におけるその補集合が正則閉集合である場合であり、定義によりの部分集合が が成り立つとき、あるいはそれと同値であるとき、正則閉集合と呼ばれる。 すべての正則開集合（または正則閉集合）は、開部分集合（または閉部分集合）であるが、一般には^{[注 1]} 、その逆は成り立たない。 ${\displaystyle S}$${\displaystyle X}$${\displaystyle \operatorname {Int} \left({\overline {S}}\right)=S}$${\displaystyle \operatorname {Bd} \left({\overline {S}}\right)=\operatorname {Bd} S}$${\displaystyle \operatorname {Bd} S}$${\displaystyle \operatorname {Int} S}$${\displaystyle {\overline {S}}}$${\displaystyle S}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$${\displaystyle S}$${\displaystyle X}$${\displaystyle {\overline {\operatorname {Int} S}}=S}$${\displaystyle \operatorname {Bd} \left(\operatorname {Int} S\right)=\operatorname {Bd} S.}$

全体を通して、位相空間になります。 ${\displaystyle (X,\tau )}$

位相空間のサブセットは次のように呼ばれます。 ${\displaystyle A\subseteq X}$${\displaystyle X}$

• ならばα開集合であり、そのような集合の補集合はα閉集合と呼ばれる。 ^[9]${\displaystyle A~\subseteq ~\operatorname {int} _{X}\left(\operatorname {cl} _{X}\left(\operatorname {int} _{X}A\right)\right)}$
• 次の同等の条件のいずれかを満たす場合、 preopen、 near open、またはlocally dense です。
  1. ${\displaystyle A~\subseteq ~\operatorname {int} _{X}\left(\operatorname {cl} _{X}A\right).}$^[10]
  2. が の稠密な部分集合であり、がで開いているような部分集合が存在する^[10]${\displaystyle D,U\subseteq X}$${\displaystyle U}$${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle D}$${\displaystyle X,}$${\displaystyle A=U\cap D.}$
  3. の稠密な部分集合となるような開集合（ ）が存在する^[10]${\displaystyle X}$${\displaystyle U\subseteq X}$${\displaystyle A}$${\displaystyle U.}$

  事前開集合の補集合は事前閉集合と呼ばれます。

• b開集合とは、b開集合の補集合をb閉集合という。 ^[9]${\displaystyle A~\subseteq ~\operatorname {int} _{X}\left(\operatorname {cl} _{X}A\right)~\cup ~\operatorname {cl} _{X}\left(\operatorname {int} _{X}A\right)}$
• 以下の同等の条件のいずれかを満たす場合、 β オープンまたはセミプレオープンです。
  1. ${\displaystyle A~\subseteq ~\operatorname {cl} _{X}\left(\operatorname {int} _{X}\left(\operatorname {cl} _{X}A\right)\right)}$^[9]
  2. ${\displaystyle \operatorname {cl} _{X}A}$^は[10]の正規閉集合である。${\displaystyle X.}$
  3. の開前集合が存在し、^[10]${\displaystyle U}$${\displaystyle X}$${\displaystyle U\subseteq A\subseteq \operatorname {cl} _{X}U.}$

  β-開集合の補集合はβ-閉集合と呼ばれます。

• 以下の同等の条件のいずれかを満たす場合は、 順次オープンします。
  1. 内の数列がのある点に収束するときはいつでも、その数列は最終的に に入ります。明示的には、が 内の数列であり、 に となる が存在する場合、 は最終的にに入ることを意味します (つまり、の場合となる整数が存在する)。${\displaystyle X}$${\displaystyle A,}$${\displaystyle A.}$${\displaystyle x_{\bullet }=\left(x_{i}\right)_{i=1}^{\infty }}$${\displaystyle X}$${\displaystyle a\in A}$${\displaystyle x_{\bullet }\to x}$${\displaystyle (X,\tau ),}$${\displaystyle x_{\bullet }}$${\displaystyle A}$${\displaystyle i}$${\displaystyle j\geq i,}$${\displaystyle x_{j}\in A}$
  2. ${\displaystyle A}$は、定義により集合 であるその順次内部に等しい。${\displaystyle X,}$

     ${\displaystyle {\begin{alignedat}{4}\operatorname {SeqInt} _{X}A:&=\{a\in A~:~{\text{ whenever a sequence in }}X{\text{ converges to }}a{\text{ in }}(X,\tau ),{\text{ then that sequence is eventually in }}A\}\\&=\{a\in A~:~{\text{ there does NOT exist a sequence in }}X\setminus A{\text{ that converges in }}(X,\tau ){\text{ to a point in }}A\}\\\end{alignedat}}}$

  順次開集合の補集合は順次閉集合と呼ばれる。部分集合が において順次閉集合となるのは、 がその順次閉集合と等しい場合のみである。順次閉集合とは、定義により、においてに収束する列が存在する集合である。 ${\displaystyle S\subseteq X}$${\displaystyle X}$${\displaystyle S}$${\displaystyle \operatorname {SeqCl} _{X}S}$${\displaystyle x\in X}$${\displaystyle S}$${\displaystyle x}$${\displaystyle X}$

• はほぼ開いており、対称差 を表すとき貧弱な部分集合 となるような開部分集合が存在するとき、ベールの性質を持つと言われる。^[11]${\displaystyle U\subseteq X}$${\displaystyle A\bigtriangleup U}$${\displaystyle \bigtriangleup }$
  • 部分集合が制限された意味でのベール性を持つとは、交差のすべての部分集合が に対してベール性を持つことを意味する。^[12]${\displaystyle A\subseteq X}$${\displaystyle E}$${\displaystyle X}$${\displaystyle A\cap E}$${\displaystyle E}$
• または、同値として、であるとき、半開集合となる。半開集合の補集合は半閉集合と呼ばれる。 ^[13]${\displaystyle A~\subseteq ~\operatorname {cl} _{X}\left(\operatorname {int} _{X}A\right)}$${\displaystyle \operatorname {cl} _{X}A=\operatorname {cl} _{X}\left(\operatorname {int} _{X}A\right)}$${\displaystyle X}$
  • で表される部分集合の半閉包（ ）は、を部分集合として含むのすべての半閉部分集合の共通集合である。 ^[13]${\displaystyle X}$${\displaystyle A\subseteq X,}$${\displaystyle \operatorname {sCl} _{X}A,}$${\displaystyle X}$${\displaystyle A}$
• 半θ開とは、それぞれに対しての半開部分集合が存在し、 ^[13]${\displaystyle x\in A}$${\displaystyle U}$${\displaystyle X}$${\displaystyle x\in U\subseteq \operatorname {sCl} _{X}U\subseteq A.}$
• θ 開（またはδ 開）とは、 におけるその補集合がθ 閉（またはδ 閉）集合である場合に成り立ち、定義により の部分集合は、またはδ クラスター点）すべての集合に等しい場合にθ 閉（またはδ 閉）と呼ばれる部分集合のθ クラスター点（またはδ クラスター点）と呼ばれるのにおけるのすべての開近傍に対して、交差点が空でない（またはが空でない）場合である。 ^[13]${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$${\displaystyle x\in X}$${\displaystyle B\subseteq X}$${\displaystyle U}$${\displaystyle x}$${\displaystyle X,}$${\displaystyle B\cap \operatorname {cl} _{X}U}$${\displaystyle B\cap \operatorname {int} _{X}\left(\operatorname {cl} _{X}U\right)}$

という事実を利用して

${\displaystyle A~\subseteq ~\operatorname {cl} _{X}A~\subseteq ~\operatorname {cl} _{X}B}$     そして     ${\displaystyle \operatorname {int} _{X}A~\subseteq ~\operatorname {int} _{X}B~\subseteq ~B}$

2 つの部分集合が次の条件を満たす場合は、次のことが推測されます。 ${\displaystyle A,B\subseteq X}$${\displaystyle A\subseteq B,}$

• すべての α 開集合は、半開集合、半前開集合、前開集合、および b 開集合です。
• すべての b 開集合は半前開集合（つまり β 開集合）です。
• すべてのプレオープン セットは b オープンであり、セミプレオープンです。
• すべての半開集合は b 開集合であり、半前開集合です。

さらに、部分集合が正則開集合であるためには、それが前開かつ半閉集合でなければならない。^[10] α開集合と半前開集合（それぞれ半開集合、前開集合、b開集合）の交差は、半前開集合（それぞれ半開集合、前開集合、b開集合）である。^[10] 前開集合は半開集合である必要はなく、半開集合は前開集合である必要はない。^[10]

前開集合（それぞれα開集合、b開集合、半前開集合）の任意の和集合は、再び前開集合（それぞれα開集合、b開集合、半前開集合）となる。^[10]しかし、前開集合の有限交差は前開集合である必要はない。^[13]空間のすべてのα開部分集合の集合は、^[9]よりも細かい位相を形成する。${\displaystyle (X,\tau )}$${\displaystyle X}$${\displaystyle \tau .}$

位相空間がハウスドルフであるための必要十分条件は、のすべてのコンパクト部分空間が θ 閉である場合である。^[13] 空間が完全に不連続であるための必要十分条件は、すべての正則閉部分集合が前開である場合、または同等に、すべての半開部分集合が前開である場合である。さらに、空間が完全に不連続であるための必要十分条件は、すべての前開部分集合の閉包が開である場合である。^[9]${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$

• ほぼオープンなマップ - オープンなマップと同様の条件を満たすマップ。
• ベース（トポロジー）  – トポロジーを定義するために使用される開集合の集合
• 閉集合 – 開いていて閉じている部分集合
• 閉集合 – 開集合の補集合
• ドメイン（数学的解析）  – 位相空間の連結した開集合
• 局所同相写像 – 各点の近くで可逆な数学関数
• オープンマップ – オープン（またはクローズ）サブセットをオープン（またはクローズ）サブセットに送信する関数Pages displaying short descriptions of redirect targets
• サブベース – トポロジを生成するサブセットのコレクション

• ハート、クラース (2004)。一般位相幾何学百科事典。アムステルダム ボストン: エルゼビア/ノースホランド。ISBN 0-444-50355-2. OCLC  162131277.
• ハート、クラース・ピーター。永田純一；ヴォーン、ジェリー E. (2004)。一般的なトポロジーの百科事典。エルゼビア。ISBN 978-0-444-50355-8。
• マンクレス、ジェームズ・R (2000)。トポロジー（第2版）。アッパーサドルリバー、ニュージャージー：プレンティスホール社。ISBN 978-0-13-181629-9. OCLC  42683260.

• 「開集合」、数学百科事典、EMS Press、2001 [1994]