ブックメイキングの数学

分数オッズと小数オッズの関係は、ブックメーカーの算術における基本的な要素です。分数オッズは次のように表されます。${\displaystyle ab}$（または${\displaystyle a/b}$）、勝ったベッターは賭け金に加えて${\displaystyle a}$単位ごとに${\displaystyle b}$賭けられた単位。小数オッズ（${\displaystyle D}$）は、1より大きい単一の値を表し、単位ベットあたりの合計配当額を示します。

分数オッズを小数オッズに変換する式は次のとおりです。

${\displaystyle D={\frac {a+b}{b}}}$

例えば、6 − 4 (小数) に 40 ポンドを賭けた場合の配当は次のようになります。$\displaystyle \text{£}}40+\text{£}}60=\text{£}}100}$同等の小数オッズは 2.5 ($40×2.5=100$) 逆に、${\displaystyle a-1}$（どこ${\displaystyle b=1}$）は、小数オッズから取得されます。${\displaystyle a=D-1}$。

暗示確率は、提示されたオッズが示唆する結果の理論的な可能性を表します。${\displaystyle ab}$暗示的な確率に対応する（${\displaystyle P}$） の：

${\displaystyle P={\frac {b}{a+b}}={\frac {1}{D}}}$

例えば、6-4のオッズは${\displaystyle {\frac {4}{6+4}}=0.4}$（40％）。暗示される確率は${\displaystyle x}$分数オッズで表される${\displaystyle (1-x)/x}$したがって、確率0.2は次のように表されます。${\displaystyle (1-0.2)/0.2=4/1}$（4-1）、小数オッズ${\displaystyle D=1/x}$。

サッカーの試合（イベント）において、「ホームチームの勝利」、「引き分け」、「アウェイチームの勝利」（結果）のいずれかが起こる場合、それぞれの結果が発生する真の確率を表すために、以下のようなオッズが用いられることがあります。

ホーム:エヴァンス

引き分け：2-1

アウェイ：5-1

これらのオッズは、以下のように暗示的な確率（または100を掛けたパーセンテージ）として表すことができます。

偶数（または1-1）は、暗黙の確率が1/2（50%）であることを意味します。

2-1は、暗黙の確率1/3（33 1 / 3 %）に相当する。

5-1は、 1 / 6（16 2 / 3％）の確率に相当する。

これらのパーセンテージを合計すると、合計「ブック」が100%になります（これは公正なブックを表します）。ブックメーカーは利益を確保するためにこれらのオッズを下げます。オッズを比例的に減少させる最も単純なモデルを考えてみましょう。上記の例では、次のオッズは、暗示される確率に関して同じ比率（3:2:1）になっています。

ホーム：4-6

引き分け：6-4

アウェイ：4-1

4-6は、暗黙の確率が3/5（60％）であることを示しています。

6-4は、暗黙の確率2/5 （ 40％）に相当する。

4-1は、暗黙の確率1/5 （ 20％）に相当する。

これらの割合を合計すると、120%という「数字」が達成されます。

実際の「ブック」が100%を超える金額は「オーバーラウンド」^{[ 1 ] : 96–104 [ 2 ] : 126–130} 、 「ブックメーカーマージン」^{[ 4 ]}、または「ビゴリッシュ」もしくは「ビグ」^{[ 4 ]}として知られており、ブックメーカーの期待利益を表します。したがって、「理想的な」状況では、ブックメーカーが適切な割合で、自ら提示したオッズで120ポンドの賭け金を受け入れた場合、サッカーの試合の実際の結果に関係なく、100ポンド（払い戻しされた賭け金を含む）しか支払いません。ブックメーカーがこれをどのように実現できるかを検討します。

60.00ポンドを4対6のオッズで賭けた場合、ホームチームが勝利すれば100.00ポンド（ちょうど）の払い戻しとなります。

40.00ポンドを6対4のオッズで賭けた場合、引き分けなら100.00ポンド（ちょうど）の払い戻しとなります。

20.00ポンドを4対1のオッズで賭けた場合、アウェイチームの勝利で100.00ポンド（ちょうど）の払い戻しとなります。

受け取った賭け金の総額は120.00ポンドで、結果に関わらず最大払い戻し額は100.00ポンドです。この20.00ポンドの利益は、売上高に対する16 2 / 3 %の利益率（20.00/120.00）に相当します。 

実際には、ブックメーカーは、この「理想的な」状況のモデルよりも複雑なオッズ削減モデルを使用している。

近年、イングランドのサッカーリーグにおけるブックメーカーのマージンは減少している。^{[ 5 ]} 2005/06シーズンから2017/2018シーズンにかけて6つの大手ブックメーカーを調査したところ、プレミアリーグの平均マージンは9%から4%に、イングリッシュ・フットボールリーグ・チャンピオンシップ、イングリッシュ・フットボールリーグ・ワン、イングリッシュ・フットボールリーグ・ツーでは11%から6%に、ナショナルリーグでは11%から8%に減少したことがわかった。

勝ち馬券の精算では、小数オッズを使用するか、分数オッズに1を加算します。これは、賭け金を払い戻しに含めるためです。各ウェイベットのプレイス部分は、勝ち部分とは別に計算されます。計算方法は同じですが、オッズは特定のイベントのプレイス係数に応じて減算されます（詳細な例については、下記のアキュムレーターを参照）。「各ウェイ」と明記されていない限り、すべてのベットは「勝ち」ベットとして扱われます。すべて分数オッズの使用を示しています。小数オッズがわかっている場合は、（分数オッズ + 1）を小数オッズに置き換えてください。出走しない馬は、分数オッズがゼロ（小数オッズが1）の勝ち馬として扱われます。合計賞金の端数ペンスは、ブックメーカーによって必ず最も近いペニーに切り捨てられます。以下の計算では、複数の賭け金の組み合わせごとに合計金額が表示されるため（例：ダブル、トリプルなど）、全体の払い戻し額は、ブックメーカーが使用するコンピュータソフトウェアで計算した合計賞金と完全に一致しない場合があります。^{[ 1 ]： 138～147 [ 2 ]： 163～177}

賭け手（ベッター）が、例えばダブル、トリプル、アキュムレーターベットのように複数の選択肢を組み合わせる場合、ブックメーカーにおける各選択肢のオーバーラウンド効果が累積されます。これは、すべての選択肢が的中し、賭けが成功する真のオッズと比較した場合、賭け手にとって金銭的な利益が不利になることを意味します。

例えば、2つのテニス試合の勝者を選んで作られるダブルスを考えてみましょう。

プレイヤーAとBの間の第1試合では、両プレイヤーの勝率は等しいと評価されます。プレイヤーCとDの間の第2試合でも状況は同じです。各試合のブックが公平である場合、つまり各ブックが100%である場合、すべてのプレイヤーにイーブン（1対1）のオッズが提示されます。しかし、ブックメーカーは各イベント（各テニス試合）の2つの可能な結果それぞれに5対6（例えば）のオッズを提示するでしょう。その結果、各テニス試合のブックは109.09...%となり、これは100 × ( 6/11 + 6/11 ) 、つまり9.09%のオーバーラウンドで計算されます。

両試合の結果を組み合わせると、4つの結果が考えられます。勝利するプレイヤーのペアは、 AC、AD、BC、BDのいずれかです。この例の各結果は、それぞれ等しく発生するように意図的に選択されているため、各結果が発生する確率は1/4または0.25であり、各結果が発生しない確率は3対1です。4つの組み合わせのいずれかに100ユニットを賭けた場合、成功すれば100 × (3/1 + 1) = 400ユニットの払い戻しが得られ、これは小数オッズ4.0に相当します。

マルチベットの小数オッズは、多くの場合、個々のベットの小数オッズを掛け合わせて計算されます。これは、事象が独立している場合、暗示確率は個々のベットの暗示確率の積になるという考えに基づいています。上記の例では、分数オッズが 5 − 6 なので、小数オッズは11 ⁄ 6です。したがって、ダブルベットの小数オッズは11 ⁄ 6 × 11 ⁄ 6 = 1.833...×1.833... = 3.3611... となり、分数オッズは 2.3611 − 1 です。これは、29.752% (1/3.3611) の暗示確率を表し、4 倍 (結果の 4 つの等確率の組み合わせそれぞれについて) すると、合計のブックは 119.01% になります。したがって、2 つのシングルベットをダブルベットに組み合わせることで、オーバーラウンドはわずかに 2 倍を超えています。        

一般的に、ダブルの合計オーバーラウンド ( OD )_は、パーセンテージで表され、小数で表される個々の帳簿B ₁とB ₂から、OD = B 1 × B 2 × 100 - 100 によって計算され_ます。この_例では、_OD = _1.0909 × 1.0909 × 100 - 100 = 19.01 %となります。               

ブックメーカーにとって潜在的な利益が大幅に増加する（イベントごとに9%ではなく19%。この場合はダブル）ことが、ブックメーカーがマルチベットで勝者を正しく選んだ場合にボーナスを支払う主な理由です。たとえば、ヤンキーで4つの選択肢から4つの勝者を正しく選んだ場合に25%のボーナスを提供するのと、個々のブックが120%の単純な4連勝の場合の潜在的なオーバーラウンドが107%を超える（ブックが207%になる）場合を比較してみてください。これが、ブックメーカーがラッキー15、ラッキー31、ラッキー63などのベットを提供し、 1つの勝者に対してオッズを2倍にし、2つ、3つ、それ以上の勝者に対してパーセンテージボーナスを増やす理由です。

一般的に、2～i個の選択肢からなる任意のアキュムレーターベットの場合、小数で表されるB ₁、B ₂、...、B _iのブックの合計パーセンテージオーバーラウンドは、 B ₁ × B ₂ × ... × B _i × 100 - 100で計算されます。たとえば、前述の個々のブックが120%（1.20）である4つ組の場合、オーバーラウンドは1.20 × 1.20 × 1.20 × 1.20 × 100 - 100 = 107.36%となります。

トリクシー、ヤンキー、カナディアン、ハインツ、スーパーハインツ、ゴライアスは、すべての可能な組み合わせを含むフルカバーベットと呼ばれる賭け方の一種です。トリクシーとヤンキーの勝ち例は上記に示されています。その他の名前付きベットも同様に、マルチプルに含まれるすべての可能な組み合わせを考慮して計算されます。注：ダブルは、2つの選択肢のみを含むフルカバーベットと考えることができます。

これらの賭けのいずれかの選択が外れた場合、残りの勝者は、次の「ファミリーメンバー」への完全な成功した賭けとして扱われます。たとえば、Trixieで 3 頭中 2 頭しか勝てなかった場合、賭けはダブルとして決済されます。Canadian で 5 頭中 4 頭しか勝てなかった場合、 Yankeeとして決済されます。Goliath で8頭中 5 頭しか勝てなかった場合、 Canadianとして決済されます。各ウェイ賭けのプレイス部分は、プレイスオッズを下げて別途計算されます。したがって、7 頭の馬に対する各ウェイSuper Heinzで 3 頭が勝ち、さらに 2 頭が入着した場合、勝利TrixieとプレイスCanadianとして決済されます。事実上すべてのブックメーカーは、マルチプル賭けの決済の計算の容易さ、スピード、正確性のためにコンピュータ ソフトウェアを使用しています。

パテント、ラッキー15、ラッキー31、ラッキー63 、およびそれ以上のラッキーベットは、すべての選択肢に対するシングルベットと、すべての可能なマルチプルベットを組み合わせた、シングルベットを含むフルカバーベットと呼ばれるベット群を形成します。パテントベットの当選例は上記に示されています。その他の名前付きベットも同様に、マルチプルとシングルベットにおけるすべての可能な選択肢の組み合わせを考慮して計算されます。

これらの賭けのいずれかの選択が外れた場合、残りの勝者は、次の「ファミリーメンバー」に対する完全な成功した賭けとして扱われます。たとえば、特許で 3 頭中 2 頭しか勝てなかった場合、賭けはダブルと 2 つのシングルとして決済されます。ラッキー 15で 4 頭中 3 頭しか勝てなかった場合、特許として決済されます。ラッキー 63で 6 頭中 4 頭しか勝てなかった場合、ラッキー15として決済されます。各ウェイ賭けのプレイス部分は、プレイスオッズを下げて別途計算されます。したがって、6 頭の馬に対する各ウェイ ラッキー 63で 3 頭が勝ち、さらに 2 頭が入着した場合、勝利特許とプレイス ラッキー 31として決済されます。

特許（シングル、ダブル、トリプルを含む3つの選択）の場合、OMは展開から導き出されます。${\displaystyle (a+1)(b+1)(c+1)}$これは、${\displaystyle abc+ab+ac+bc+a+b+c+1}$。 したがって：

${\displaystyle OM_{Patent}=(a+1)(b+1)(c+1)-1}$

ヤンキー（シングルを除く4つの選択肢）の場合、計算式は個々の選択肢を差し引くように調整されます。

${\displaystyle OM_{Yankee}=(a+1)(b+1)(c+1)(d+1)-1-(a+b+c+d)}$

「Any-To-Come」（ATC）または「Up and Down」条件を含む特殊な賭けの場合、OMは選択肢全体にわたる再賭け金の賞金を考慮します。

上下（2つの選択肢）：

• ${\displaystyle OM_{2winners}=2(a+b-1)}$
• ${\displaystyle OM_{1 勝者}=a-1}$

総当たり戦（3チーム選出）：

• ${\displaystyle OM_{3winners}=(a+1)(b+1)(c+1)+3(a+b+c)-7}$
• ${\displaystyle OM_{2winners}=ab+3(a+b)-4}$
• ${\displaystyle OM_{1 勝者}=2(a-1)}$

フラグ（4つの選択肢）：

• ${\displaystyle OM_{4winners}=(a+1)(b+1)(c+1)(d+1)+5(a+b+c+d)-13}$
• ${\displaystyle OM_{3winners}=(a+1)(b+1)(c+1)+4(a+b+c)-10}$
• ${\displaystyle OM_{2winners}=ab+4(a+b)-6}$
• ${\displaystyle OM_{1 勝者}=3(a-1)}$

従来の賭博店からbet365、Betfair、Pinnacle Sportsといったオンラインプラットフォームへの移行は、ブックメーカーの役割をアクティブなマーケットメーカーとして再定義しました。オンライン環境では、オッズはもはや静的なものではなく、入ってくる賭け金や変化する市場情報に応じて継続的に更新されます。このような動的な環境は、オンライン学習や逐次意思決定のフレームワークを用いてモデル化されることが多く、ブックメーカーは利益の最大化とリアルタイムのリスク管理の必要性とのバランスを取らなければなりません。

近年の数学研究では、オンラインブックメーカーに対する様々なアルゴリズム的手法が検討されている。

• 敵対的ミニマックスモデリング：このフレームワークは、ブックメーカーを、ハウスと市場全体を代表する敵対的なギャンブラーとの間の繰り返しゲームとしてモデル化します。この設定は通常、イベントを含み、${\displaystyle K}$起こりうる結果と時間軸${\displaystyle T}$賭けラウンド。各ラウンドで${\displaystyle t\in \{1,\dots ,T\}}$ブックメーカーは一連の配当を提示し、市場は賭けを行うことでこれに反応する。胴元の目的は、最終結果やギャンブラーの戦略に関係なく、最悪の場合の損失、つまり後悔を最小限に抑えることである。 ^{[ 6 ]}
• 確率的制御：一部のモデルでは、賭け金の到着をポアソン過程として扱います。ブックメーカーは、確率的制御とハミルトン・ヤコビ・ベルマン方程式を用いて、現在の在庫と入ってくる賭け金の強度に基づいてオッズを調整することにより、時間の経過とともに資産の期待効用を最大化しようとします。^{[ 7 ]}
• 利益対予測：他の研究では、予測市場のように、ブックメーカーの利益を最大化することと正確な情報を引き出すことのトレードオフを分析しています。予測市場は価格効率を目指していますが、営利目的のブックメーカーは、イベントの真の確率と賭け手の信念の分布との間の乖離を利用することで、収益を最大化することがよくあります。^{[ 8 ]}

アルゴリズムによるブックメーカーでは、後悔とは、ハウスの実際の支払いと${\displaystyle T}$ラウンド数と、後から総賭け金の分布を知っていた場合に達成できたであろう配当金。

• 後悔の境界: イベントの場合${\displaystyle K}$結果と${\displaystyle T}$賭けラウンドでは、最適な価格設定アルゴリズムにより、ハウスの後悔が一定の割合で増加することが保証されます。${\displaystyle O({\sqrt {T}})}$。
• エルミート多項式との関連: 最適なブックメーカー後悔のスケーリング係数は、根本的にエルミート多項式と関連しています。具体的には、任意のイベントで、${\displaystyle K}$可能な結果、ブックメーカーの後悔の漸近スケーリング係数は、最大のルートによって決定されます。${\displaystyle K}$n 番目の確率的エルミート多項式。^{[ 9 ]}

ミニマックス戦略は、賭け金のすべてを単一の結果に賭ける（決定的な賭け）「最悪のケース」のギャンブラーから身を守るものですが、現実の市場では賭け金は複数の結果に分散されることがよくあります。現代のアルゴリズムは、こうした最適とは言えない、決定的な賭けではないパターンを利用するために、機会主義的な戦略を採用しています。

• ベルマン・パレートフロンティア：このアルゴリズムは、確定した配当の状態ベクトルを追跡します。ベルマン・パレートフロンティア（ある結果を改善しようとすると別の結果が悪化するすべての将来の配当ベクトルの集合）を特定することで、賭け金の配分が偏っている場合に、カジノ側はオッズを動的に調整して追加の利益を獲得することができます。
• 水充填メカニズム：このアプローチは水充填アルゴリズムと同様に機能します。ギャンブラーが決定的な賭けをしない場合、アルゴリズムは「水位」（すべての結果における最大保証配当）を下げ、ハウスが理論上の最悪のケースの上限を超えることを可能にします。^{[ 9 ]}