ギャンブルの数学

ギャンブルの数学は、偶然のゲームで遭遇する確率の応用の集合であり、ゲーム理論に含めることができます。数学的な観点から見ると、偶然のゲームはさまざまな種類の偶然のイベントを生成する実験であり、有限の可能性の空間での確率の特性を使用して計算することができます。

ゲームの技術的なプロセスは、偶然の出来事を生み出す実験を表しています。次にいくつかの例を示します。

発生は定義できますが、確率の問題を定式化する場合は、非常に慎重に行う必要があります。数学的な観点からは、イベントは単なるサブセットであり、イベントの空間はブール代数です。基本イベントと複合イベント、排他的イベントと非排他的イベント、独立イベントと非独立イベントがあります。

サイコロを振る実験では、

• イベント {3, 5} (文字通りの定義は 3 または 5 の発生) は、{3, 5}= {3} U {5} であるため複合イベントです。
• イベント {1}、{2}、{3}、{4}、{5}、{6} は基本です。
• イベント {3, 5} と {4} は、共通部分が空であるため互換性がなく排他的です。つまり、同時に発生することはありません。
• イベント {1, 2, 5} と {2, 5} は、共通部分が空でないため、排他的ではありません。

2 つのサイコロを次々に振る実験では、最初のサイコロで「3」が出ることと、2 番目のサイコロで「5」が出ることは、最初の出来事の発生が 2 番目の出来事の発生に影響を与えないため、独立しています。逆もまた同様です。

テキサスホールデムポーカーでポケットカードを配る実験では、

• プレイヤーに (3♣, 3♦) を配るイベントは基本イベントです。
• プレイヤーに 2 枚の 3 を配るイベントは、(3♣、3♠)、(3♣、3♥)、(3♣、3♦)、(3♠、3♥)、(3♠、3♦)、(3♥、3♦) のイベントの結合であるため、複合イベントです。
• 「プレイヤー 1 にキングのペアが配られる」と「プレイヤー 2 にキングのペアが配られる」というイベントは排他的ではありません (両方とも発生する可能性があります)。
• プレイヤー 1 に J より高いハートのコネクターが 2 枚配られるイベントと、プレイヤー 2 に J より高いハートのコネクターが 2 枚配られるイベントは排他的です (いずれか 1 つしか発生しません)。
• プレイヤー 1 に配られるイベント(7、K)とプレイヤー 2 に配られるイベント (4、Q)は独立していません (同じデッキが使用されている場合、2 番目のイベントの発生は最初のイベントの発生に依存します)。

これらは、複合性、排他性、独立性の特性が容易に観察できるギャンブル イベントの例です。これらの特性は、実際の確率計算では基本的なものです。

運のゲームも、あらゆる段階で遭遇する組み合わせ、順列、配置の良い例です。プレーヤーの手札、テーブルの上にあるカード、またはカードゲームで予想されるカードの組み合わせ、一度に複数のサイコロを振ったときの数字の組み合わせ、宝くじやビンゴの数字の組み合わせ、スロットのシンボルの組み合わせ、賭けるレースの順列と配置などです。組み合わせ計算は、ギャンブルの確率の応用において不可欠な部分です。運のゲームでは、古典的な確率の定義を使用するギャンブルの確率計算のほとんどは、組み合わせを数えることに戻ります。ゲームのイベントはセットで識別でき、セットは多くの場合、組み合わせのセットです。したがって、組み合わせでイベントを識別できます。

例えば、5ドローポーカーゲームでは、少なくとも1人のプレイヤーがフォーカードを持っているというイベントは、(xxxxy)型のすべての組み合わせの集合で識別できます。ここで、xとyはカードの異なる値です。この集合には13C(4,4)(52-4)=624の組み合わせがあります。可能な組み合わせは、(3♠ 3♣ 3♥ 3♦ J♣)または(7♠ 7♣ 7♥ 7♦ 2♣)です。これらは、測定されるイベントを構成する基本イベントで識別できます。^[1]

ランダムな出来事が多数回発生すると、その確率は互いに打ち消し合うため、これらの出来事の結果の算術平均は、確率的な意味でのその数学的な用語の値に非常に近くなります。たとえば、コインを投げたとき、コインが落ちるときにどちらの面が表を向くかはランダムですが、十分な回数発生すると、コインが両面で表を向く回数はそれぞれ約半分になります。これは大数の法則として知られています。

ギャンブルの勝ち負けも、個人や短期間ではランダムなイベントとして機能しますが、長期的には、ギャンブラーの収益率がマイナスである限り、ゲームが進むにつれて遅かれ早かれ負けが発生します。カジノにとっても、アドバンテージプレイヤーにとっても、ギャンブルプレイの勝率がプラスである限り、それは確実な勝利です。^[2]

勝敗を決める鍵は、ギャンブルのルールと戦略によって決まる収益率です。収益率はギャンブルの真実と本質を反映しています。ギャンブルのルールを設計する原則は、通常、カジノの勝率を50％よりわずかに高くすることです。これは、ゼロよりわずかに大きいプラスの収益率に反映されます。ギャンブルは運ではなく、知性、戦略、収益の競争です。長期的なギャンブルの最終的な勝利は、ギャンブラーの収益率に依存します。収益率がプラスの場合、期待収益はゼロより大きく、勝つことができます。収益率がマイナスの場合、期待収益はゼロより小さく、勝つことはできません。収益率がマイナスの場合、「長いギャンブルは負ける」という大数の法則の役割がますます現れます。プロのギャンブラーは、プラスの収益率の原則を遵守し、長い間ギャンブルをせず、ギャンブルゲームに負け、確実に勝つためにギャンブルをします。彼らは非ギャンブラーです。^[2]

大数の法則とは、サンプルが全体に近い場合、その確率は全体の確率に近くなることを意味します。「小数の法則バイアス」とは、小さなサンプル内のイベントの確率分布が全体の分布であると見なされ、その結果、小さなサンプルの全体に対する代表性が誇張されるという事実を指します。別の状況は、いわゆる「ギャンブラーの誤謬」です。たとえば、コインを投げて、10 回連続で表が出た場合、次は裏が出る可能性が高いと考えます。実際には、表または裏が出る確率は毎回 0.5 であり、表が出た回数とは関係ありません。

サンプルサイズの影響を無視し、小さなサンプルと大きなサンプルの期待値は同じであると信じ、正しい確率論的大数の法則を誤った心理的小数の法則に置き換えることが、人々のギャンブル精神の大幅な増加の原因です。カジノは大数の法則を信じており、ギャンブラーは無意識のうちに小数の法則を適用しています。大数の法則によりカジノはお金を稼ぐことができ、小数の法則によりギャンブラーはカジノにお金を与えることができ、これがカジノの存在の論理です。^[2]

カジノの優位性とは、カジノ内の各タイプのギャンブル ゲームにおいて、カジノがギャンブラーに対して持つ優位性のことです。

コイントスを例にとると、表と裏が出る可能性はそれぞれ 50% で同じです。プレイヤーがコインが表になることに $10 を賭けて勝った場合、カジノは $10 を支払います。負けた場合、$10 はすべてカジノの負けとなり、この場合、カジノの利益はゼロになります (カジノはこのようなゲームを始めるほど愚かではありません)。しかし、勝った場合、カジノは $9 のみを支払い、負けた場合、$10 はすべてカジノの負けとなります。平均支払額は(+$9−$10)/2 = −$0.50です。この場合のカジノの利益は$0.50 / $10 = 5%です。

カジノのどんなゲームでも、カジノはギャンブラーに対して一定の優位性を持っており、この方法でのみカジノは長期的に営業し続けることができます。カジノの優位性はゲームごとに大きく異なり、カジノの優位性が低いゲームもあれば、カジノの優位性が高いゲームもあります。ギャンブルをする人は、カジノの優位性が高いゲームをしないようにしています。^{[2] [3]}

偶然のゲームは単に確率計算を純粋に応用したものではなく、ゲーム状況は数学的手法によって数値的確率が確立された単なる孤立したイベントではありません。進行が人間の行動によって影響を受けるゲームでもあります。ギャンブルでは、人間的要素が顕著な特徴を持っています。プレーヤーはさまざまなゲームイベントの数学的確率に興味があるだけでなく、大きな相互作用が存在する中でゲームに期待を持っています。この相互作用から好ましい結果を得るために、ギャンブラーは統計を含むあらゆる可能な情報を考慮に入れてゲーム戦略を立てます。^{[4] [1]} 次のセクションのリストを確認すると、プレーヤーとしての興味に合った戦略を簡単に選ぶことができます。ご覧のとおり、ギャンブラーがテストできる各方法の基本を説明しました。^[5]

運任せのゲームに内在するランダム性は、その公平性を保証しているように見える（少なくともテーブルを囲むプレイヤーに関しては、デッキをシャッフルしたりホイールを回したりしても、不正行為をしない限り、どのプレイヤーにも有利にはならない）が、ギャンブラーは、このランダム性の不規則性を探して、勝つことができるように待っている。数学的に証明されているように、ランダム性の理想的な条件で、期待値がマイナスの場合、運任せのゲームのプレイヤーが長期的に定期的に勝つことは不可能である。ほとんどのギャンブラーはこの前提を受け入れているが、それでも短期的または長期的に勝つための戦略を練っている。^[6]

カジノゲームは、カジノ、つまり「ハウス」に予測可能な長期的な優位性を提供すると同時に、プレイヤーに短期的な大金の配当の可能性を提供します。カジノゲームの中には、プレイヤーが決定を下すスキル要素を持つものがあり、そのようなゲームは「戦略的な要素を持つランダム」と呼ばれます。巧みなプレイによってハウスアドバンテージを最小限に抑えることは可能ですが、カジノゲームにおいて、プレイヤーが本来持つ長期的な不利 (ハウスエッジまたはハウスビゴリッシュ) を排除するのに十分なスキルを持っていることはめったにありません。一般に、そのようなスキルセットには、ルーレットのホイールクロッキングの場合のように、何年ものトレーニング、並外れた記憶力、計算力、および/または鋭い視覚または聴覚の観察力が必要であると考えられています。その他の例については、アドバンテージギャンブルを参照してください。

プレイヤーが不利になるのは、カジノがゲームの「真のオッズ」に従って勝った賭け金を支払わないためです。「真のオッズ」とは、賭け金が勝つか負けるかのオッズを考慮して予想される支払い額です。たとえば、サイコロを 1 つ振って出る数字に賭けてゲームをプレイする場合、1 つの数字が出る確率は 1/6 なので、真のオッズは賭けた金額の 5 倍になります。ただし、カジノは勝った賭け金に対して賭けた金額の 4 倍しか支払わない場合があります。

ハウスエッジ(HE) またはヴィゴリッシュは、プレイヤーの元の賭け金に対するパーセンテージで表されたカジノの利益として定義されます。ブラックジャックやスペイン 21 などのゲームでは、プレイヤーがダブルまたはスプリットすると、最終的な賭け金は元の賭け金の数倍になることがあります。

例: アメリカン ルーレットには、ゼロが 2 つと、ゼロ以外の数字が 36 個あります (赤が 18 個、黒が 18 個)。プレーヤーが赤に 1 ドルを賭けた場合、1 ドルを獲得する確率は 18/38 で、1 ドルを失う (または -1 ドルを獲得する) 確率は 20/38 です。

プレイヤーの期待値、EV = (18/38 x 1) + (20/38 x -1) = 18/38 - 20/38 = -2/38 = -5.26%。したがって、ハウスエッジは 5.26% です。10 ラウンド後、1 ラウンドあたり $1 でプレイすると、平均ハウス利益は 10 x $1 x 5.26% = $0.53 になります。もちろん、カジノはちょうど 53 セント勝つことはできません。この数字は、数百万人のプレイヤーがそれぞれ 1 ラウンドあたり $1 で 10 ラウンドを賭けた場合の各プレイヤーからの平均カジノ利益です。

カジノ ゲームのハウス エッジはゲームによって大きく異なります。キノのハウス エッジは最大 25%、スロット マシンのハウス エッジは最大 15% ですが、オーストラリアのポントゥーンゲームのほとんどはハウス エッジが 0.3% から 0.4% です。

ルーレットのハウスエッジの計算は簡単な作業ですが、他のゲームではそうではありません。タスクを完了するには、組み合わせ分析やコンピューター シミュレーションが必要です。

ブラックジャックやスペイン 21などのスキル要素のあるゲームでは、ハウス エッジは、シュー (カードを入れる容器) の最初のハンドでの最適なプレイ (カード カウンティングやシャッフル トラッキングなどの高度なテクニックを使用せずに) によるハウス アドバンテージとして定義されます。すべての可能なハンドに対する最適なプレイのセットは「基本戦略」と呼ばれ、特定のルール、さらには使用するデッキの数に大きく依存します。優れたブラックジャックやスペイン 21 ゲームでは、ハウス エッジは 0.5% 未満である必要があります。

オンラインスロットゲームでは、理論上のハウスエッジを決定するプレイヤーへのリターン率（RTP）が公開されていることがよくあります。ソフトウェア開発者の中には、スロットゲームのRTPを公開しているところもあれば、公開していないところもあります。RTPは理論上は決まっていますが、短期的にはほぼあらゆる結果が考えられます。^[2]

カジノゲームにおける運の要素は、標準偏差(SD) を使用して定量化されます。ルーレットのような単純なゲームの標準偏差は、成功の二項分布(勝ちの場合は 1 ユニット、負けの場合は 0 ユニットと想定) により簡単に計算できます。二項分布の場合、SD は に等しく、ここで はプレイするラウンドの数、は勝つ確率、 は負ける確率です。さらに、1 ラウンドあたり 1 ユニットではなく 10 ユニットでフラットベットすると、可能な結果の範囲は 10 倍に増えます。したがって、ルーレットのイーブンマネーベットの SD は に等しく、ここではラウンドあたりのフラットベット、はラウンドの数、、です。 ${\displaystyle {\sqrt {npq}}}$${\displaystyle n}$${\displaystyle p}$${\displaystyle q}$${\displaystyle 2b{\sqrt {npq}}}$${\displaystyle b}$${\displaystyle n}$${\displaystyle p=18/38}$${\displaystyle q=20/38}$

十分な数のラウンドを経ると、理論上の総勝利額の分布は正規分布に収束し、起こり得る勝利または敗北を予測する可能性が高くなります。たとえば、1 ラウンドあたり $1 で 100 ラウンドを経ると、勝利額の標準偏差 (敗北額も同様) は になります。100 ラウンドを経ると、予想される敗北額は になります。 ${\displaystyle 2\cdot \$1\cdot {\sqrt {100\cdot 18/38\cdot 20/38}}\approx \$9.99}$${\displaystyle 100\cdot \$1\cdot 2/38\approx \$5.26}$

3 シグマ範囲は標準偏差の 6 倍で、平均値より 3 倍上、平均値より 3 倍下です。したがって、1 ラウンドにつき $1 を賭けて 100 ラウンドをプレイすると、結果はおそらく ～ の間、つまり -$34 ～ $24 の間になります。それでも、結果がこの範囲外になる可能性、つまり勝ちが $24 を超えるか負けが $34 を超える可能性が 1 対 400 ほどあります。 ${\displaystyle -\$5.26-3\cdot \$9.99}$${\displaystyle -\$5.26+3\cdot \$9.99}$

イーブンマネー ルーレット ベットの標準偏差は、すべてのカジノ ゲームの中で最も低いものの 1 つです。ほとんどのゲーム、特にスロットの標準偏差は非常に高くなります。潜在的な配当額が大きくなるにつれて、標準偏差も大きくなります。

残念ながら、少数のラウンドに関する上記の考察は、分布が正規分布からかけ離れているため、正しくありません。さらに、より不安定なゲームの結果は、通常、正規分布に収束するのにはるかに時間がかかるため、それにははるかに膨大な数のラウンドが必要になります。

ラウンド数が増えると、最終的には予想損失が標準偏差を何倍も超えることになります。この式から、標準偏差はプレイしたラウンド数の平方根に比例し、予想損失はプレイしたラウンド数に比例することがわかります。ラウンド数が増えると、予想損失ははるかに速い割合で増加します。これが、ギャンブラーが長期的に勝つことが事実上不可能である理由です (優位性がない限り)。ギャンブラーが勝てると勘違いするのは、短期的な標準偏差と予想損失の比率が高いためです。

ボラティリティ指数 (VI) は、1 ラウンドで 1 ユニットを賭けた場合の標準偏差として定義されます。したがって、イーブンマネー アメリカン ルーレットの賭けの VI は です。 ${\displaystyle 2{\sqrt {18/38\cdot 20/38}}\approx 0.9986}$

分散は VI の 2 乗として定義されます。したがって、イーブンマネー アメリカン ルーレットの賭け金の分散は約 0.9972 で、カジノ ゲームとしては低い値です。ブラックジャックの分散は約 1.2 で、電子ゲーム機(EGM) の分散と比較するとまだ低い値です。 ${\displaystyle v}$

さらに、いくつかの信頼区間に基づくボラティリティ インデックスという用語が使用されます。通常、これは 90% 信頼区間に基づきます。90% 信頼区間のボラティリティ インデックスは、約 68.27% 信頼区間に関連する「通常の」ボラティリティ インデックスの約 1.645 倍です。

カジノにとって、すべてのゲームについてハウスエッジとボラティリティ指数の両方を知ることは重要です。ハウスエッジは、売上高の割合としてどのくらいの利益が得られるかを示し、ボラティリティ指数は、現金準備としてどのくらいの金額が必要かを示します。このような作業を行う数学者とコンピュータープログラマーは、ゲーム数学者とゲームアナリストと呼ばれます。カジノにはこの分野の専門知識がないため、ゲーム分析分野の専門家に要件をアウトソースします。^[6]

ビンゴゲームに勝つ確率（同時勝者を無視し、勝ちを相互に排他的にする）は次のように計算でき ます。

${\displaystyle P(Win)=1-P(Loss)}$

勝つことと負けることは相互に排他的であるためです。負ける確率は、他のプレイヤーが勝つ確率と同じです (今のところ、各プレイヤーはビンゴカードを 1 枚しか持っていないと仮定します)。プレイヤーが参加している場合: プレイヤー と、プレイヤーが指定されます。これは (相互に排他的なイベントの場合) とも表されます 。 ${\displaystyle n}$${\displaystyle P(Loss)=P(P_{2}{\mbox{ or }}P_{3}{\mbox{ or }}...P_{n-1}{\mbox{ or }}P_{n})}$${\displaystyle n}$${\displaystyle P_{1}}$${\displaystyle P(Loss)=P(P_{2})+P(P_{3})+...+P(P_{n})}$

各プレイヤーの勝利確率が等しい場合（公平なゲームでは当然のことながら）、 となり 、したがって となります。簡略化すると、 ${\displaystyle P(P_{1})=P(P_{2})=...=P(P_{n})}$${\displaystyle P(Loss)=(n-1)P(P_{1})}$${\displaystyle P(Win)=P(P_{1})=1-(n-1)P(P_{1})}$

${\displaystyle P(P_{1})=1/n}$

複数のカードが購入された場合、各カードは上記のプレイヤーと同等とみなされ、勝つチャンスが等しくなります。 はゲーム内のカードの数で、 は対象となるカードです。 ${\displaystyle P(C_{1})=1/n_{C}}$${\displaystyle n_{C}}$${\displaystyle C_{1}}$

したがって、カードを持っているプレイヤー ( )は、これらのカードのいずれかが勝った場合に勝者になります (同時勝利は無視します)。 ${\displaystyle P_{1}}$${\displaystyle m}$

${\displaystyle P(P_{1})=P(C_{1})+P(C_{2})+...+P(C_{m})=m/n_{C}}$

したがって、プレイヤーが勝つ確率を上げる簡単な方法は、ゲームでより多くのカードを購入することです (増加)。 ${\displaystyle m}$

特定のゲーム タイプ (オンライン ビンゴなど、たとえば「ビンゴ」と叫ぶのではなく、勝者が自動的に決定されるゲーム) では、同時勝利が発生することがあります。この場合、賞金はすべての同時勝利者間で分割されます。1人以上の同時勝利者がいる場合に、カード が勝つ確率は次のように表されます。 ${\displaystyle C_{1}}$

${\displaystyle P(C_{1})=P(w){\frac {w}{n_{C}}}}$

ここで、は同時勝者が出る確率（ゲームの種類とプレイヤーの数の関数）であり、は勝利カードの 1 つである（公平な）確率です。したがって、配当の全体的な期待値（1 は完全な勝利ポットを表します）は次のようになります。 ${\displaystyle P(w)}$${\displaystyle w}$${\displaystyle {\frac {w}{n_{C}}}}$${\displaystyle C_{1}}$

${\displaystyle E={\frac {1}{1}}{\frac {1}{n_{C}}}P(1)+{\frac {1}{2}}{\frac {2}{n_{C}}}P(2)+...+{\frac {1}{n_{C}}}{\frac {n_{C}}{n_{C}}}P(n_{C})}$

${\displaystyle E={\frac {1}{n_{C}}}(P(1)+P(2)+...+P(n_{C}))}$

勝者が出るまでプレイされる通常のビンゴゲームでは、勝者が出る確率は、またはまたは...またはであり、これらは互いに排他的であるため、次のように述べることができます。 ${\displaystyle P(1)}$${\displaystyle P(2)}$${\displaystyle P(n_{C})}$

${\displaystyle P(1)+P(2)+...+P(n_{C})=1}$

そしてそれゆえ

${\displaystyle E={\frac {1}{n_{C}}}}$

したがって、賞金がすべての同時勝者の間で均等に分割される限り、ゲームの予想される結果は同時勝者によって変化しません。これは数値的に確認されています。^[7]

1 回のゲームで複数のカードをプレイする方がよいのか、それとも複数のゲームをプレイする方がよいのかを調べるために、カードを購入する シナリオごとに勝利の確率を計算します。${\displaystyle m}$

${\displaystyle P(win)_{multiplecards}={\frac {m}{m+n-1}}}$

ここで、n はプレイヤーの数です (対戦相手のプレイヤーはそれぞれ 1 枚のカードしか出さないと仮定)。1 枚のカードしか出さないゲームで負ける確率は次のように表されます。

${\displaystyle P(loss)_{game}=1-P(win)=1-{\frac {1}{n}}}$

ゲームに負ける確率は次のように表されます。 ${\displaystyle m}$

${\displaystyle P(loss)_{multiplegames}=(1-{\frac {1}{n}})^{m}}$

ゲームのうち少なくとも 1 つに勝つ確率は、すべてのゲームに負けない確率と同じです。 ${\displaystyle m}$${\displaystyle m}$

${\displaystyle P(win)_{multiplegames}=1-(1-{\frac {1}{n}})^{m}}$

のとき、これらの値は等しくなります。 ${\displaystyle m=1}$

${\displaystyle P(win)_{multiplecards}=P(win)_{multiplegames}}$

^{しかし、 [7]}では の場合 であることが示されています。 の利点はが増加または減少するにつれて大きくなります。したがって、1 回のゲームで複数のカードを使用するよりも、複数のゲームをプレイする方が常に有利ですが、ゲームに参加するプレイヤーが増えると利点は減少します。^{[7] [8]}${\displaystyle P(win)_{multiplegames}>P(win)_{multiplecards}}$${\displaystyle m>1}$${\displaystyle P(win)_{multiplegames}}$${\displaystyle m}$${\displaystyle n}$

• ブックメーカーの数学
• ポーカーの確率
• 統計的サッカー予測
• オンラインギャンブル
• オンラインビンゴ

• ギャンブルの数学、エドワード・ソープ著、ISBN 0-89746-019-7 
• ギャンブルと統計論理の理論、改訂版、リチャード・エプスタイン著、ISBN 0-12-240761-X 
• ゲームとギャンブルの数学、第 2 版、エドワード パッケル著、 ISBN 0-88385-646-8 
• ギャンブルの確率ガイド：サイコロ、スロット、ルーレット、バカラ、ブラックジャック、ポーカー、宝くじ、スポーツ賭博の数学、著者：Catalin Barboianu、ISBN 973-87520-3-5、  
  • ホフマン、レックス（2021）。「知っておくべきカジノの数学の6つの簡単な事実」。スポーツオタク。doi ：10.4324 / 9780429459504。ISBN 9780429459504. S2CID  197989420。抜粋
• 運、論理、そして白い嘘：ゲームの数学、 Jörg Bewersdorff著、2005年、第2版2021年、ISBN 978-1-00309-287-2、doi：10.1201 / 9781003092872、第1版の紹介 
• ゲームを理解する: 合理的で安全なギャンブルのための数学者のアドバイス、著者: Catalin Barboianu、ISBN 978-606-9735-00-8 

• オッズの魔法使いによる確率とギャンブルの数学の議論
• 偶然のゲームにおける確率論の応用