ブックメーカーの数学

ギャンブル用語では、ブックメイキングとは、単一のイベントのさまざまな結果に賭ける行為を指します。このフレーズは、そのような賭けをハードカバーの元帳（「ブック」）に記録する行為に由来しており、賭けをする人、つまり「ブックメイキング」する人を英語でブックメーカーと呼ぶようになりました。 ^{[1] : 6  [2] : 13, 36}

ブックメーカーは、どの結果が優勢であっても利益を上げるために、イベントの結果に対する賭けを適切な割合で受け入れるよう努めます。^[3]オランダのブックと一貫性（哲学的ギャンブル戦略）を参照してください。これは主に、イベントのさまざまな結果の真のオッズを下方修正することによって達成されます（つまり、ブックメーカーは実際のオッズを使用して、真のオッズで支払われる金額よりも少ない金額を支払うため、利益が確保されます）。^[4]

特定のイベントに対して提示されるオッズは固定されている場合もありますが、実際のイベント (競馬など) に向けて賭け手が賭ける金額を考慮して変動する可能性が高くなります。この記事では、前者のイベント (より単純な) の場合に賭け金を組むための数学的な方法を説明します。2 番目の方法については、パリミュチュエル方式の賭けを参照してください。

分数オッズと小数オッズの関係を理解することが重要です。分数オッズはa  −  b ( a / bまたはa対b ) と表記され、つまり、勝ったベッターは賭けたb単位ごとに、賭け金に加えてa単位を受け取ります。小数オッズは 1 より大きい単一の値で、単位賭けごとに支払われる金額を表します。たとえば、6 − 4 (分数オッズ) で £40 を賭けると、£40 + £60 = £100 が支払われます。同等の小数オッズは 2.5 で、£40 × 2.5 = £100 です。分数オッズを小数オッズに変換するには、式D  =  ( b + a ) ⁄ b を使用します。したがって、分数オッズa  − 1 (つまりb = 1) は、小数オッズa  =  D − 1 で取得できます  。

オッズと暗黙の確率の関係を理解することも重要です。a  −  bの分数オッズ（対応する小数オッズD ）は、 b ⁄ ( a + b ) =  1 ⁄ Dの暗黙の確率を表します。たとえば、 6-4 は4 ⁄ (6 + 4) =  4 ⁄ 10 = 0.4 (40%) に対応します。 x の暗黙の確率は、分数オッズ (1 −  x )/ xで表されます。たとえば、 0.2 は (1 − 0.2)/0.2 = 0.8/0.2 = 4/1 (4-1, 4 対 1)（つまり、1 ⁄ x  − 1 対 1）であり、小数オッズD  =  1 ⁄ xです。

「ホーム勝利」、「引き分け」、「アウェイ勝利」（結果）のいずれかになる可能性があるサッカーの試合（イベント）を考えると、 3 つの結果のそれぞれの実際の確率を表す次のオッズに遭遇する可能性があります。

ホーム:エヴンズ

引き分け: 2-1

アウェイ：5-1

これらのオッズは、次のように暗黙の確率（または 100 を掛けたパーセンテージ）として表すことができます。

偶数（または1-1）は、 1 ⁄ 2（50％）の確率に相当します。

2-1は1 ⁄ 3（33 1 ⁄ 3 %）の暗黙の確率に相当する。

5-1は1 ⁄ 6（16 2 ⁄ 3 %）の確率に相当する。

パーセンテージを合計すると、合計 100% の「ブック」が達成されます (公正なブックを表します)。ブックメーカーは利益を確保するためにこれらのオッズを下げます。オッズの比例的な減少を使用する、最も単純な削減モデルを検討してください。上記の例では、次のオッズは、暗黙の確率に関して同じ比率 (3:2:1) です。

ホーム：4-6

引き分け: 6-4

アウェイ：4-1

4-6は、 3 ⁄ 5（60％）の確率に相当する。

6-4は2 ⁄ 5（40%）の確率に相当する。

4-1は1 ⁄ 5（20%）の確率に相当する。

これらのパーセンテージを合計すると、120% の「帳簿」が達成されます。

実際の「ブック」が 100% を超える金額は「オーバーラウンド」^{[1] : 96–104  [2] : 126–130}「ブックメーカー マージン」^[4]または「ビゴリッシュ」または「ビグ」^[4]と呼ばれ、ブックメーカーの予想利益を表します。したがって、「理想的な」状況では、ブックメーカーが自分の提示したオッズで正しい割合で 120 ポンドの賭けを受け入れた場合、サッカーの試合の実際の結果に関係なく、ブックメーカーは 100 ポンド (返還された賭け金を含む) のみを支払うことになります。彼がこれを潜在的にどのように達成するかを検討します。

4-6 で £60.00 を賭けた場合、ホームチームの勝利で £100.00 (ちょうど) が返ってきます。

6-4で40ポンドを賭けた場合、引き分けの試合では100ポンド（ちょうど）が返ってきます。

4-1で20ポンドを賭けた場合、アウェーチームの勝利で100ポンド（ちょうど）が返ってきます。

受け取った賭け金の合計は 120.00 ポンドで、結果に関係なく最大 100.00 ポンドが支払われます。この 20.00 ポンドの利益は、 売上高 (20.00/120.00) の 16 2 ⁄ 3 % の利益を表します。

実際には、ブックメーカーは、この「理想的な」状況のモデルよりも複雑な削減モデルを使用します。

近年、イングランドのサッカーリーグにおけるブックメーカーのマージンは減少している。^[5] 2005/06シーズンから2017/2018シーズンまでの6つの大手ブックメーカーを対象とした調査では、プレミアリーグの平均マージンは9%から4%に、イングランド・フットボールリーグ・チャンピオンシップ、イングランド・フットボールリーグ1、イングランド・フットボールリーグ2では11%から6%に、ナショナルリーグでは11%から8%に減少したことが示された。

パンター（賭ける人）が、例えばダブル、トレブル、アキュムレーターベットなどで複数の選択肢を組み合わせると、各選択肢のブックのオーバーラウンドの影響が複合されます。これは、すべての選択肢が勝って賭けが成功するという 真のオッズと比較すると、金銭的リターンの点でパンターに不利です。

たとえば、2 つのテニスの試合の勝者を選択してダブルを作成する場合を考えてみましょう。

プレイヤーAとBの間のマッチ 1 では、両方のプレイヤーが同等の勝利のチャンスがあると評価されています。プレイヤーCとDの間のマッチ 2 でも状況は同じです。各試合の公平なブック、つまりそれぞれが 100% のブックである場合、すべてのプレイヤーに Evens (1-1) のオッズが提供されます。ただし、ブックメーカーはおそらく、各イベント (各テニスの試合) の 2 つの可能な結果のそれぞれに対して 5-6 (たとえば) のオッズを提供します。これにより、各テニスの試合のブックは 109.09...% となり、100 × ( 6 ⁄ 11 + 6 ⁄ 11 ) で計算され、オーバーラウンドは 9.09% になります。

両方の試合の結果を組み合わせると、4 つの結果が考えられます。勝利するプレイヤーのペアは、AC、AD、BC 、またはBD のいずれかです。この例の各結果は、可能性が等しくなるように意図的に選択されているため、各結果が発生する確率は1 ⁄ 4または 0.25 で、各結果が発生する確率の分数オッズは 3-1 です。4 つの組み合わせのいずれかに 100 ユニットを賭けた場合、成功した場合は 100 × (3/1 + 1) = 400 ユニットのリターンが得られ、小数オッズは 4.0 になります。

マルチベットのデシマルオッズは、多くの場合、個々のベットのデシマルオッズを掛け合わせて計算されます。これは、イベントが独立している場合、暗示される確率は個々のベットの暗示される確率の積になるはずだという考え方に基づいています。上記のケースでは、フラクショナルオッズが 5 − 6 なので、デシマルオッズは11 ⁄ 6です。したがって、ダブルベットのデシマルオッズは11 ⁄ 6 × 11 ⁄ 6  = 1.833...×1.833... = 3.3611...、つまりフラクショナルオッズは 2.3611 − 1 です。これは、暗示される確率が 29.752% (1/3.3611) であることを表し、4 倍すると (結果の 4 つの同等に起こり得る組み合わせのそれぞれについて)、合計ブックは 119.01% になります。したがって、2 つのシングルベットをダブルベットに組み合わせることで、オーバーラウンドは 2 倍をわずかに超えることになります。

一般に、ダブルの総合オーバーラウンド ( O _D ) は、パーセンテージで表され、小数で表された個々のブックB ₁およびB ₂から、O _D =  B ₁  ×  B ₂  × 100 - 100 として計算されます。この例では、O _D = 1.0909 × 1.0909 × 100 - 100 = 19.01% となります。

ブックメーカーの潜在的利益のこの大幅な増加（イベントで9％ではなく19％、この場合はダブル）は、ブックメーカーが複数のベットで勝者を正しく選んだ場合にボーナスを支払う主な理由です。たとえば、ヤンキーで4つの選択から4つの勝者を正しく選んだ場合に25％のボーナスを提供するのに対し、個々のブックが120％の単純な4倍のレースの潜在的なオーバーラウンドは107％を超えます（ブックが207％）。これが、ブックメーカーがラッキー15、ラッキー31、ラッキー63などのベットを提供し、勝者が1人の場合にオッズを2倍にし、勝者が2人、3人、さらにそれ以上の場合はパーセンテージボーナスを増やす理由です。

一般に、2 からiの選択肢からなるアキュムレーター ベットの場合、小数で表されたB ₁、B ₂、...、B _iのブックの合計パーセンテージ オーバーラウンドは、 B ₁ × B ₂ × ... × B _i × 100 - 100 で計算されます。たとえば、前述の 120% (1.20) の個々のブックで構成される 4 倍の場合、オーバーラウンドは 1.20 × 1.20 × 1.20 × 100 - 100 = 107.36% になります。

勝ちの賭け金を精算する際、小数オッズを使用するか、分数オッズに 1 を加算します。これは、賭け金を払い戻しに含めるためです。各ウェイ ベットの着順部分は、勝ち部分とは別に計算されます。計算方法は同じですが、オッズは特定のイベントの着順係数によって減額されます (詳細な例については、以下のアキュムレーターを参照してください)。「各ウェイ」が明示的に指定されていない限り、すべてのベットは「勝ち」ベットとして扱われます。すべて分数オッズの使用を示しています。小数オッズがわかっている場合は、(分数オッズ + 1) を小数オッズに置き換えます。出走しない馬は、分数オッズが 0 (小数オッズ 1) の勝者として扱われます。合計賞金のペンスの端数は、常にブックメーカーによって最も近いペニーに切り捨てられます。以下のマルチベットの計算では、合計額が別々のカテゴリー（ダブル、トレブルなど）ごとに表示されるため、ブックメーカーが総賞金を計算するために利用できるコンピュータソフトウェアを使用して受け取った金額と、全体のリターンが正確に同じにならない場合があります。^{[1] : 138–147  [2] : 163–177}

シングル勝利

例: 9 − 2で £100を単価で賭ける; 合計賭け金 = £100

リターン = £100 × (9/2 + 1) = £100 × 5.5 = £550

両方向シングル

例えば、11 − 4（ 1 ⁄ 5のオッズ） で各100ポンドの単勝賭けの場合、賭け金の合計は200ポンド

リターン（勝ち）＝£100 × (11/4 + 1) = £100 × 3.75 = £375

リターン（着順）= £100 × (11/20 + 1) = £100 × 1.55 = £155

当選した場合の合計払い戻し額 = £530、入賞のみの場合 = £155

イーチウェイマルチベットは通常、デフォルトの「ウィン・トゥ・ウィン、プレイス・トゥ・プレイス」方式を使用して決済されます。つまり、ベットはウィンアキュムレーターと別のプレイスアキュムレーターで構成されます（注：ダブルまたはトレブルは、それぞれ2つまたは3つの選択を含むアキュムレーターです）。ただし、このタイプのベットを決済するより珍しい方法は、「イーチウェイ・オール・イーチウェイ」（「均等分割」とも呼ばれ、通常はベッティングスリップでそのようにリクエストする必要があります）で、アキュムレーターの1つの選択からのリターンが分割され、次の選択に対する均等賭けのイーチウェイベットが形成され、すべての選択が使用されるまでこれが続けられます。^{[1] ：155–156  [2] ：170–171}以下の最初の例は、これらのタイプのベットを決済するための2つの異なるアプローチを示しています。

ダブル^{[1] : 153–168  [2] : 169–177}

例えば、 2-1（1 ⁄ 5 のオッズ）と 5-4（1 ⁄ 4 のオッズ） で勝った 100 ポンドのダブルベットの場合、賭け金の合計は 200 ポンドです。

注: 「Win to Win、Place to Place」では、すべての選択が勝った場合に常に大きなリターンが得られますが、「Each-Way all Each-Way」では、1 つの選択が負けた場合でも、他の勝者が後続の選択に対してより大きな金額のプレース マネーを提供するため、より大きな補償が得られます。

トレブル^{[1] : 153-168  [2] : 169-177}

例えば、3-1、4-6、11-4で勝った £100のトリプルの場合、賭け金の合計は£100になります。

リターン = £100 × (3/1 + 1) × (4/6 + 1) × (11/4 + 1) = £2500

アキュムレーター^{[1] : 153-168  [2] : 169-177}

例えば、£100 の各ウェイ 5 倍アキュムレーターで、勝者が Evens ( 1 ⁄ 4オッズ)、11-8 ( 1 ⁄ 5オッズ)、5-4 ( 1 ⁄ 4オッズ)、1-2 (すべて勝利まで)、および 3-1 ( 1 ⁄ 5オッズ) の場合、賭け金の合計 = £200

注: 「All up to win」は、イベントの参加者が不足しており、順位オッズが与えられないことを意味します (例: 競馬の出走馬が 4 頭以下)。したがって、唯一の「順位」は 1 位であり、その順位に対して勝利オッズが与えられます。

リターン（5倍の勝利）= £100 × (1/1 + 1) × (11/8 + 1) × (5/4 + 1) × (1/2 + 1) × (3/1 + 1) = £6412.50

リターン（5倍）＝100ポンド×（1/4 + 1）×（11/40 + 1）×（5/16 + 1）×（1/2 + 1）×（3/5 + 1）＝502.03ポンド

合計収益 = £6914.53

トリクシー

ヤンキー

トリクシー、ヤンキー、カナディアン、ハインツ、スーパーハインツ、ゴリアテは、すべての可能な倍数が存在するフルカバーベットと呼ばれるベットファミリーを形成します。トリクシーとヤンキーの勝利例が上に示されています。他の名前付きベットは、倍数の選択のすべての可能な組み合わせを見て、同様の方法で計算されます。注:ダブルは、 2 つの選択のみのフルカバーベットと考えることができます。

これらの賭けの 1 つで選択した馬が勝てなかった場合、残りの馬の勝者は、次の「ファミリー メンバー」に対する完全に成功した賭けとして扱われます。たとえば、トリクシーで 3 頭中 2 頭だけが勝った場合、賭けはダブルとして決済されます。カナディアンで 5 頭中 4 頭だけが勝った場合、賭けはヤンキーとして決済されます。ゴリアテで 8 頭中 5 頭だけが勝った場合、賭けはカナディアンとして決済されます。各ウェイ ベットの着順部分は、減らされた着順オッズを使用して別途計算されます。したがって、7 頭の馬で 3 頭が勝ち、さらに 2 頭が着順になった各ウェイ スーパー ハインツは、勝ちのトリクシーと着順のカナディアンとして決済されます。事実上すべてのブックメーカーは、マルチプル ベットの決済に、計算の容易さ、速度、精度のためにコンピューター ソフトウェアを使用しています。

特許

パテント、ラッキー 15、ラッキー 31、ラッキー 63およびそれ以上のラッキーベットは、すべての選択肢に対するシングル ベットとともに、すべての可能なマルチプルが存在するシングルを含むフル カバー ベットと呼ばれるベットのファミリーを形成します。 勝利したパテントベットの例が上記に示されています。 他の名前の付いたベットは、マルチプルとシングルの選択のすべての可能な組み合わせを見て、同様の方法で計算されます。

これらの賭けの 1 つで選択した馬が勝てなかった場合、残りの馬は、次の「ファミリー メンバー」に対する完全に成功した賭けとして扱われます。たとえば、パテントで 3 頭中 2 頭のみが勝った場合、賭けはダブルと 2 頭のシングルとして決済されます。ラッキー 15で 4 頭中 3 頭のみが勝った場合、パテントとして決済されます。ラッキー 63で 6 頭中 4 頭のみが勝った場合、ラッキー 15として決済されます。各ウェイ ベットの着順部分は、減らされた着順オッズを使用して個別に計算されます。したがって、6 頭の馬で 3 頭が勝ち、さらに 2 頭が着順になった馬に対する各ウェイラッキー 63 は、パテントの勝ちとラッキー 31の着順として決済されます。

あらゆる賭けのリターンは、「賭け金単位」×「オッズ乗数」として計算されると考えられます。全体の「オッズ乗数」は、小数オッズ値を組み合わせたもので、必要に応じてシングルベットも含め、フルカバーベットを構成するすべての個別のベットの結果です。たとえば、10 ポンドのヤンキーが勝って 461.35 ポンドが返された場合、全体の「オッズ乗数」( OM ) は 46.135 になります。

a、b、c、d ...が小数オッズ、つまり（分数オッズ+1）を表す場合、 OMは式（a +1）、（b +1）、（c +1）...などを必要な方法で掛け合わせて1を引くことで代数的に計算できます。必要に応じて、（小数オッズ+1）を（分数オッズ+2）に置き換えることができます。^{[1] ：166  [2] ：169、176}

小数オッズがa、b、cの 3 つの選択肢があります。 ( a + 1)( b + 1)( c + 1) を代数的に展開すると、 abc + ab + ac + bc + a + b + c + 1 になります。これは、特許のOM (3 連勝: abc、2 連勝: ab、ac、bc、1 連勝: a、b、c )に 1 を加えた値に相当します。したがって、勝った特許のリターンを計算するには、 ( a + 1)、( b + 1)、( c + 1) を掛けて 1 を引くだけで、勝った賭けのOMが得られます。つまり、 OM = ( a + 1)( b + 1)( c + 1) − 1です。次に、単位の賭け金を掛けて、賭けの合計リターンを取得します。^{[1] : 161  [2] : 176}

たとえば、前述の受賞特許は、次のようにしてより迅速かつ簡単に評価できます。

総収益 = £2 × [(4/6 + 2) × (2/1 + 2) × (11/4 + 2) − 1] = £99.33

ボーナスを無視して、4 頭の勝馬 [2-1、5-2、7-2 (すべて1 ⁄ 5 のオッズ)、6-4 ( 1 ⁄ 4 のオッズ)] とさらに 1 頭の馬 [9-2 ( 1 ⁄ 5のオッズ)] による 50 ペンスの各ウェイ ラッキー63 (合計賭け金 £ 63 ) は、次のように比較的簡単に計算できます。

リターン（勝利部分） = 0.50 × [(2/1 + 2) × (5/2 + 2) × (7/2 + 2) × (6/4 + 2) − 1] = £172.75

またはもっと簡単に言えば0.50 × (4 × 4.5 × 5.5 × 3.5 − 1)

リターン（場所部分） = 0.50 × [(2/5 + 2) × (5/10 + 2) × (7/10 + 2) × (6/16 + 2) × (9/10 + 2) − 1] = £11.79

またはもっと簡単に言えば0.50 × (2.4 × 2.5 × 2.7 × 2.375 × 2.9 − 1)

合計収益 = £184.54

シングルを含まないフルカバーベットのファミリーでは、ダブル、トレブル、アキュムレーターのみを残すように計算が調整されます。したがって、前述の 1-3、5-2、6-4、イーブンで勝った £10 ヤンキーの勝利のリターンは次のように計算されます。

£10 × [(1/3 + 2) × (5/2 + 2) × (6/4 + 2) × (1/1 + 2) − 1 − [(1/3 + 1) + (5/ 2 + 1) + (6/4 + 1) + (1/1 + 1)]] = £999.16

実際には、賭け金はラッキー 15 からシングルを引いたものとして計算されています。合計リターン値 £999.16 は、前の計算値より 1 セント高いことに注意してください。これは、このより速い方法では最終的な答えを四捨五入するだけで、個々のステップで四捨五入しないためです。

代数的に言えば、ヤンキー賭けの OM は次の式で表されます。

OM = ( a + 1)( b + 1)( c + 1)( d + 1) − 1 − ( a + b + c + d )

ブックメーカーやライセンス賭博事務所 (LBO) で賭け金を決済する人がソフトウェアを利用できるようになる以前は、この方法は、フルカバータイプの賭け金を決済する際に必要な時間の節約と複数の繰り返し計算を回避するために、事実 上必須でした。

上下

ラウンドロビン

3 人の勝者がいるラウンドロビンは、トリクシーと、それぞれ 2 人の勝者がある 3 つのアップ アンド ダウン ベットとして計算されます。

勝者が 2 人いるラウンドロビンは、勝者が 2 人いるダブル プラス 1 つのアップ アンド ダウン ベットと、それぞれ勝者が 1 人いるアップ アンド ダウン ベット 2 つとして計算されます。

勝者が 1 人いるラウンドロビンは、それぞれ 1 人の勝者がいる 2 つのアップ ベットとダウン ベットとして計算されます。

フラッグ ベットとスーパー フラッグベットは、適切なフル カバー ベット (十分な数の勝者がある場合) と必要な数の 2 つの勝者と 1 つの勝者のアップ アンド ダウン ベットを使用して、上記と同様の方法で計算できます。

注: 賭け金決済ソフトウェアが導入される前は、専門的な賭け金決済者は、必ず代数型の方法と簡単な計算機を使用して賭け金のリターンを算出していました (以下を参照)。

a、b、c、d ... が小数オッズ、つまり (分数オッズ + 1)を表す場合、式 ( a + 1)、 ( b + 1)、 ( c + 1)、 ... などを必要な方法で掛け合わせ、追加の要素を加算または減算することで、「オッズ乗数」 OM を代数的に計算できます。必要に応じて、(小数オッズ + 1) を (分数オッズ + 2) に置き換えることができます。^{[1] : 166  [2] : 169-176}

• 統計的サッカー予測
• 英国のブックメーカーが提供する賭けの用語集

• 「Finding an Edge」、ロン・ロフタス、US-SC-North Charleston: Create Space.、2011年、144ページ。
• 「本の作り方」フィル・ブル、ロンドン：モリソン＆ギブ社、1948年、160ページ。
• 「ブックメイキングに関する本」、フェルデ・ロンボラ、カリフォルニア州: Romford Press、1984 年、147pp。ISBN 978-0-935536-37-9。 
• 『The Art of Bookmaking』、マルコム・ボイル、High Stakes Publishing、2006 年。
• 成功する賭けの秘訣、マイケル・アダムス、Raceform、2002 年。
• ゲームとギャンブルの数学、エドワード・W・パッケル、アメリカ数学協会、2006年。
• ギャンブルの数学、エドワード・O・ソープ、L・スチュアート、1984年。
• 「マクシミン・ヘッジス」、ジャン＝クロード・デルデリアン、『数学雑誌』第 51 巻第 3 号 (1978 年 5 月)、188 ～ 192 ページ。
• 「賭けと特異事象の確率に関するカルナップとデ・フィネッティ：オランダ書物議論の再考」クラウス・ハイリヒ『英国科学哲学ジャーナル』第29巻第4号（1978年12月）、325～346ページ。
• 「ブックメーカーのオッズを使用した競馬場賭博の効率性のテスト」、ロン・バード、マイケル・マクレー、『マネジメントサイエンス』第33巻第12号（1987年12月）、152～156ページ。
• 「なぜイギリスの競馬場の賭け市場には人気馬と大穴馬の偏りがあるか」、レイトン・ヴォーン・ウィリアムズ、デイビッド・パトン。『エコノミック・ジャーナル』第 107 巻、第 440 号 (1997 年 1 月)、150 ～ 158 ページ。
• ブックメーカーの賭けオッズの最適決定:理論とテスト、ジョン・フィングルトンとパトリック・ウォルドロン著、ト​​リニティ経済論文シリーズ、技術論文 No. 96/9、ダブリン大学トリニティ・カレッジ、1999 年。
• 「足し算できない確率！」、マイク・フレッチャー、『数学の教授とその応用』、1994 年、第 13 巻、第 4 号、145 ～ 147 ページ。
• 「固定オッズ賭博市場における情報、価格、効率性」、Peter F. Pope、David A. Peel、『Economica』新シリーズ、第 56 巻、第 223 号、(1989 年 8 月)、323 ～ 341 ページ。
• 「ギャンブルに関する数学的観点」、モリー・マクスウェル、MIT 学部生向け数学ジャーナル、第 1 巻、(1999 年)、123 ～ 132 ページ。
• 「ギャンブルの確率ガイド：サイコロ、スロット、ルーレット、バカラ、ブラックジャック、ポーカー、宝くじ、スポーツ賭博の数学」、Catalin Barboianu、Infarom、2006 年、316 ページ。ISBN 973-87520-3-5。