フレドホルム核

数学において、フレドホルム核はバナッハ空間上の核の一種であり、バナッハ空間上の核作用素と関連付けられています。フレドホルム核はフレドホルム積分方程式とフレドホルム作用素の概念を抽象化したものであり、フレドホルム理論の研究対象の一つです。フレドホルム核は、エリック・イヴァル・フレドホルムにちなんで名付けられました。フレドホルム核の抽象理論の多くは、アレクサンダー・グロタンディークによって開発され、1955年に発表されました。

B を任意のバナッハ空間とし、B ^*をその双対空間、すなわちB上の有界線形汎関数の空間とする。テンソル積${\displaystyle B^{*}\otimes B}$標準以下の完成度

${\displaystyle \Vert X\Vert _{\pi }=\inf \sum _{\{i\}}\Vert e_{i}^{*}\Vert \Vert e_{i}\Vert }$

ここで、下限はすべての有限表現について取られる。

${\displaystyle X=\sum _{\{i\}}e_{i}^{*}\otimes e_{i}\in B^{*}\otimes B}$

この規範の下での完了は、しばしば次のように表される。

${\displaystyle B^{*}{\widehat {\,\otimes \,}}_{\pi }B}$

これは射影位相テンソル積と呼ばれます。この空間の要素はフレドホルム核と呼ばれます。

すべてのフレドホルム核は、次の形式で表現されます。

${\displaystyle X=\sum _{\{i\}}\lambda _{i}e_{i}^{*}\otimes e_{i}}$

と${\displaystyle e_{i}\in B}$そして${\displaystyle e_{i}^{*}\in B^{*}}$そのため${\displaystyle \Vert e_{i}\Vert =\Vert e_{i}^{*}\Vert =1}$そして

${\displaystyle \sum _{\{i\}}\vert \lambda _{i}\vert <\infty .\,}$

それぞれのカーネルには線形演算子が関連付けられている。

${\displaystyle {\mathcal {L}}_{X}:B\to B}$

正準表現を持つ

${\displaystyle {\mathcal {L}}_{X}f=\sum _{\{i\}}\lambda _{i}e_{i}^{*}(f)e_{i}.\,}$

すべてのフレドホルム核にはトレースが関連付けられており、それは次のように定義される。

${\displaystyle {\mbox{tr}}X=\sum _{\{i\}}\lambda _{i}e_{i}^{*}(e_{i}).\,}$

フレドホルム核は、以下の条件を満たす場合にp-総和可能であると言われます。

$\sum_{\{i\}}\vert \lambda_{i}\vert^{p}<\infty .}$

フレドホルム核は、q がすべての最小値である場合、次数が qであると言われます。${\displaystyle 0<p\leq 1}$pに対して、それがp総和可能である場合。

演算子L  : B → Bは、 X ∈が存在する場合に 核演算子と呼ばれる。${\displaystyle B^{*}{\widehat {\,\otimes \,}}_{\pi }B}$L = L _Xとなるような演算子。このような演算子は、X がp和可能かつ q 次である場合に p和可能かつq次であると言われる。一般に、このような核演算子には複数のX が関連付けられる可能性があり、そのためトレースは一意に定義されない。しかし、q ≤ 2/3 であれば、グロタンディークの定理によって示されるように、一意のトレースが存在する。

もし${\displaystyle {\mathcal {L}}:B\to B}$は次数を持つ演算子です${\displaystyle q\leq 2/3}$するとトレースが定義され、

${\displaystyle {\mbox{Tr}}{\mathcal {L}}=\sum _{\{i\}}\rho _{i}}$

どこ$\displaystyle \rho _{i}}$は、​$\displaystyle {\mathcal {L}}}$さらに、フレドホルム行列式

${\displaystyle \det \left(1-z{\mathcal {L}}\right)=\prod _{i}\left(1-\rho _{i}z\right)}$

これはzの整関数である。

${\displaystyle \det \left(1-z{\mathcal {L}}\right)=\exp {\mbox{Tr}}\log \left(1-z{\mathcal {L}}\right)}$

も同様に成り立つ。最後に、もし$\displaystyle {\mathcal {L}}}$は、ある複素数値パラメータwによってパラメータ化される。すなわち、 ${\displaystyle {\mathcal {L}}={\mathcal {L}}_{w}}$、そしてパラメータ化はある領域上で正則であるならば、

${\displaystyle \det \left(1-z{\mathcal {L}}_{w}\right)}$

同じ定義域上で正則である。

重要な例として、領域上の正則関数のバナッハ空間が挙げられる。$${\displaystyle D\subset \mathbb {C} ^{k}}$$この空間では、すべての核演算子は0次のものであり、したがってトレースクラスである。

核作用素の概念はフレシェ空間にも適用できる。核空間とは、任意のバナッハ空間への任意の有界写像がすべて核写像となるフレシェ空間のことである。

• グロタンディーク A (1955)。 「テンソリエルのトポロジーと空間核の生成」。メム。アメール。数学。社会。１６．
• グロタンディーク A (1956)。「フレドホルムの理論」。ブル。社会数学。フランス。84 : 319– 84.土井: 10.24033/bsmf.1476。
• BV Khvedelidze、GL Litvinov (2001) [1994]、「フレドホルム核」、数学百科事典、EMS Press
• Fréchet M (1932年11月) 「nが無限大になるときのフレドホルム核のn番目の反復の挙動について」米国科学アカデミー紀要18 ( 11): 671–3 . Bibcode : 1932PNAS...18..671F . doi : 10.1073 /pnas.18.11.671 . PMC 1076308. PMID 16577494 .