ノンパラメトリック歪度

統計学と確率論において、ノンパラメトリック歪度は、実数値をとるランダム変数で時々使用される統計量です。 ^{[1] [2]}これは、ランダム変数の分布の歪度、つまり分布が平均のどちらかの側に「傾く」傾向の尺度です。その計算には、基礎となる分布の形状に関する知識は必要ありません。そのため、ノンパラメトリックと呼ばれます。ノンパラメトリック歪度には、いくつかの望ましい特性があります。対称分布の場合はゼロになります。スケールシフトの影響を受けません。左または右の歪度を同じように明らかにします。一部の統計サンプルでは、​​母集団の正規分布からの逸脱を検出する際に、通常の歪度尺度よりも有効性が低いことが示されています^[3]。^[4]

ノンパラメトリック歪度は次のように定義される。

${\displaystyle S={\frac {\mu -\nu }{\sigma }}}$

ここで、母集団の 平均（μ）、中央値（ν）、標準偏差（σ ）は通常の意味を持ちます。

ノンパラメトリック歪度はピアソン2歪度係数の3分の1であり、どの分布でも-1から+1の間にあります。^{[5] [6]}この範囲は、平均がどの中央値からも1標準偏差以内にあるという事実によって示唆されています。^[7]

変数（X ）のアフィン変換では、 Sの値は符号の変化を除いて変化しない。記号では

${\displaystyle S(aX+b)=\operatorname {sign} (a)\,S(X)}$

ここで、a  ≠0、bは定数、S ( X )は変数Xのノンパラメトリック歪度です。

この統計値の境界（±1）はMajindar ^[8]によって明確にされ、その絶対値は

${\displaystyle {\frac {2(pq)^{1/2}}{(p+q)^{1/2}}}}$

と

${\displaystyle p=\Pr(X>\operatorname {E} (X))}$

そして

${\displaystyle q=\Pr(X<\operatorname {E} (X)),}$

ここで、Xは有限分散のランダム変数、E () は期待値演算子、Pr () はイベントが発生する確率です。

p = q = 0.5の場合、この統計の絶対値は 1 に制限されます。p = 0.1 およびp = 0.01 の場合、統計の絶対値はそれぞれ 0.6 および 0.199 に制限されます 。

また、^[9]

${\displaystyle |\mu -\nu _{0}|\leq \operatorname {E} (|X-\nu _{0}|)\leq \operatorname {E} (|X-\mu |)\leq \sigma ,}$

ここでν0_は任意の中央値であり、E (.)は期待値演算子です。

次のようなことが示されています

${\displaystyle {\frac {|\mu -x_{q}|}{\sigma }}\leq \max \left({\sqrt {\frac {(1-q)}{q}}},{\sqrt {\frac {q}{(1-q)}}}\right)}$

ここで、xq_はq^番目の 分位数です。^[7]分位数は0と1の間にあります。中央値（0.5分位数）はq = 0.5です。この不等式は歪度の尺度を定義するためにも使用されています。^[10]

この後者の不平等はさらに深刻化している。^[11]

${\displaystyle \mu -\sigma {\sqrt {\frac {1-q}{q}}}\leq x_{q}\leq \mu +\sigma {\sqrt {\frac {q}{1-q}}}}$

有限平均を持つ分布に対する別の拡張が発表されている: ^[12]

${\displaystyle \mu -{\frac {1}{2q}}\operatorname {E} |X-\mu |\leq x_{q}\leq \mu +{\frac {1}{(2-2q)}}\operatorname {E} |X-\mu |}$

この最後の不等式のペアの境界は、固定された数 a < b のときに達成されます。 ${\displaystyle \Pr(X=a)=q}$${\displaystyle \Pr(X=b)=1-q}$

サンプルサイズn ≥ 2の有限サンプルの場合、x _rはr番目の^順序 統計量、mはサンプル平均、sは自由度補正されたサンプル標準偏差です。 ^[13]

${\displaystyle {\frac {|m-x_{r}|}{s}}\leq {\text{max}}\left[{\sqrt {\frac {(n-1)(r-1)}{n(n-r+1)}}},{\sqrt {\frac {(n-1)(n-r)}{nr}}}\right]}$

rをn / 2に置き換えると、サンプル中央値に適した結果が得られます。^[14]

${\displaystyle {\frac {|m-a|}{s}}\leq {\sqrt {\frac {n^{2}-n}{n^{2}}}}={\sqrt {\frac {n-1}{n}}}}$

ここで、a はサンプルの中央値です。

ホテリングとソロモンズは検定統計量の分布を考慮した^[5]

${\displaystyle D={\frac {n(m-a)}{s}}}$

ここで、nはサンプル サイズ、mはサンプル平均、aはサンプル中央値、s はサンプルの標準偏差です。

Dの統計的検定では、検定される帰無仮説は分布が対称的であるというものであると仮定しています。

ガストヴィルトはn ^−1/2 Dの漸近分散を推定した。^[15]分布が単峰性で0を中心に対称である場合、漸近分散は1/4から1の間になる。保守的な推定値（分散を1にする）を想定すると、真の有意水準は名目水準を大きく下回る可能性がある。

基礎分布が対称であると仮定すると、カビリオとマサロはSの分布が漸近的に正規分布であることを示した。^{[16]漸近分散は基礎分布に依存し、正規分布の場合、} S√nの漸近分散は0.5708...

基礎となる分布が対称的であると仮定し、中央値より上と下の値の分布を考慮すると、ZhengとGastwirthは次のように主張している^[17]。

${\displaystyle {\sqrt {2n}}\left({\frac {m-a}{s}}\right)}$

ここで、n はサンプルサイズであり、t 分布として分布します。

アントニエッタ・ミラは平均値と中央値の差の分布を研究した。^[18]

${\displaystyle \gamma _{1}=2(m-a),}$

ここで、mは標本平均、aは中央値である。基礎分布が対称的である場合、γ1_自体は漸近的に正規分布となる。この統計量は、以前にボンフェローニによって示唆されていた。^[19]

対称的な基礎分布を仮定して、 Sの修正がMiao、Gel、Gastwirthによって研究され、標準偏差を修正して統計を作成しました。^[20]

${\displaystyle J={\frac {1}{n}}{\sqrt {\frac {\pi }{2}}}\sum {|X_{i}-a|}}$

ここで、X _iはサンプル値、|| は絶対値であり、合計はn 個のサンプル値すべてに対して行われます。

検定統計量は

${\displaystyle T={\frac {m-a}{J}}.}$

尺度統計量T √ nは、対称分布の場合、平均がゼロで漸近的に正規分布となる。その漸近分散は基礎となる分布に依存する。限界値は、正規分布の場合var( T √ n ) = 0.5708...であり、自由度が3のt分布の場合var ( T √ n ) = 0.9689 ...である^[20]。

対称確率分布の場合、ノンパラメトリック歪度の値は 0 です。

右に偏った分布の場合は正、左に偏った分布の場合は負になります。絶対値が 0.2 以上の場合は、著しい偏りがあることを示します。

一部の分布ではS を決定するのが難しい場合があります。これは通常、中央値の閉じた形式が不明なためです。このような分布の例には、ガンマ分布、逆カイ二乗分布、逆ガンマ分布、スケール逆カイ二乗分布などがあります。

Sの次の値は既知です。

• ベータ分布：1 < α < βここでαとβは分布のパラメータであり、良好な近似値となる^[21]

${\displaystyle S={\frac {1}{3}}{\frac {(\alpha -2\beta )(\alpha +\beta +1)^{1/2}}{(\alpha +\beta -2/3)(\alpha \beta )^{1/2}}}}$

1 < β < αの場合、式内のαとβの位置は逆になります。Sは常に < 0 です。

• 二項分布：変化する。平均が整数の場合、 S = 0となる。平均が整数でない場合、Sは符号付きかゼロとなる。^{[22] ±min{ max{} p , 1 −  p  }, log _e 2 } /  σで制限される 。ここでσは二項分布の標準偏差である。^[23]
• バリ分布:
• バーンバウム・サンダース分布:

${\displaystyle S={\frac {2}{\beta ^{2}(4+5\alpha ^{2})}}}$

ここで、αは形状パラメータ、β は位置パラメータです。

• カンター分布:

${\displaystyle {\frac {-4}{3}}\leq S\leq {\frac {4}{3}}}$

• カイ二乗分布：S ≥ 0ですが、その値は自由度の数（k）に依存します。

${\displaystyle S\approx {\frac {1-(1-{\frac {2}{k}})^{3}}{2}}}$

• ダグム分布：
• 指数分布:

${\displaystyle S=1-\log _{e}(2)\approx 0.31}$

• 2つのパラメータを持つ指数分布: ^[24]

${\displaystyle S=1-\log _{e}(2)\approx 0.31}$

• 指数対数分布

${\displaystyle S=-{\frac {polylog(2,1-p)+\ln(1+{\sqrt {p}})\ln p}{\sqrt {-[2polylog(3,1-p)+polylog^{2}(2,1-p)]}}}}$

ここでS は常に > 0 です。

• 指数修正ガウス分布:

${\displaystyle 0\leq S\leq 1-\log _{e}(2)}$

• 自由度nとn のF分布（n >4）: ^[25]

${\displaystyle S=n^{-3/2}{\sqrt {\frac {n-4}{n-2}}}+O(n^{-5/2})}$

• フレシェ分布: この分布の分散は、α > 2 の場合にのみ定義されます。

${\displaystyle S={\frac {\Gamma \left(1-{\frac {1}{\alpha }}\right)-{\frac {1}{{\sqrt {\alpha }}\log _{e}(2)}}}{\sqrt {\Gamma \left(1-{\frac {2}{\alpha }}\right)-\left(\Gamma \left(1-{\frac {1}{\alpha }}\right)\right)^{2}}}}}$

• ガンマ分布：この分布では中央値は近似的にしか決定できない。^[26]形状パラメータαが1以上の場合、

${\displaystyle S\approx {\frac {\beta }{3\alpha +0.2}}}$

ここで、β > 0 は速度パラメータです。ここでS は常に > 0 です。

• 一般化正規分布バージョン 2

${\displaystyle S=-{\frac {\exp({\frac {-k^{2}}{2}})-1}{\sqrt {\exp({\frac {k^{2}}{2}})-1}}}}$

Sは常に<0です。

• 一般化パレート分布：Sは形状パラメータ（k）が1/2未満の場合にのみ定義されます。この分布ではSは0未満です。

${\displaystyle S=\left({\frac {2^{k}-1}{k}}-2^{k}\right)(1-2k)^{0.5}}$

• ガンベル分布：

${\displaystyle {\frac {{\sqrt {6}}[\gamma +\log _{e}(\log _{e}(2))]}{\pi }}\approx 0.1643}$

ここでγはオイラー定数である。^[27]

• 半正規分布：^[24]

${\displaystyle S\approx {\frac {{\sqrt {2}}-0.6745{\sqrt {\pi }}}{\sqrt {\pi -2}}}\approx 0.36279}$

• クマラスワミ分布
• 対数ロジスティック分布（フィスク分布）：β を形状パラメータとします。この分布の分散と平均は、β > 2 の場合にのみ定義されます。表記を簡略化するために、b = β / πとします。

${\displaystyle S={\frac {b-\sin(b)}{\sqrt {b\tan(b)-b^{2}}}}}$

b > 4.932 (近似値)の値には標準偏差は存在しません。標準偏差が定義されている値の場合、S > 0 になります。

• 対数正規分布：平均（μ）と分散（σ2）^を持つ

${\displaystyle S={\frac {1}{(e^{\frac {\sigma ^{2}}{2}}+1)(e^{\mu +\sigma ^{2}})}}}$

• 対数ワイブル分布: ^[24]

${\displaystyle S\approx {\frac {[\log _{e}(\log _{e}(2))-0.5772]{\sqrt {6}}}{\pi }}\approx -0.1643}$

• ロマックス分布: Sはα > 2の場合にのみ定義されます

${\displaystyle S={\frac {(\alpha -1)(\alpha -2)(1-(\alpha -1)(2^{1/\alpha }-1))}{\alpha ^{1/2}}}}$

• マクスウェル・ボルツマン分布: ^[24]

${\displaystyle S\approx {\frac {{\sqrt {2}}-1.5382\Gamma ({\frac {3}{2}})}{\sqrt {2(\Gamma ({\frac {5}{2}})-\Gamma ({\frac {3}{2}}))}}}\approx 0.0854}$

• 中上分布

${\displaystyle S=-1}$

• パレート分布：α > 2の場合、 αは分布の形状パラメータであり、

${\displaystyle S=(\alpha -2^{1/\alpha }[\alpha -1])({\frac {\alpha -2}{\alpha }})^{1/2},}$

そしてSは常に0より大きい。

• ポアソン分布:

${\displaystyle {\frac {-\log _{e}(2)}{\lambda ^{\frac {1}{2}}}}\leq S\leq {\frac {1}{3\lambda ^{\frac {1}{2}}}}}$

ここでλは分布のパラメータである。^[28]

• レイリー分布:

${\displaystyle S={\sqrt {\frac {2}{4-\pi }}}[({\frac {\pi }{2}})^{0.5}-\log _{e}(4)]\approx 0.1251}$

• ワイブル分布:

${\displaystyle S={\frac {\Gamma (1+1/k)-\log _{e}(2)^{1/k}}{(\Gamma (1+2/k)-\Gamma (1+1/k))^{1/2}}},}$

ここで、k は分布の形状パラメータです。ここでS は常に 0 より大きいです。

1895年にピアソンは、平均と最頻値の差を標準化することで歪度を測定することを初めて提案し、 [ ^29]は次のように示した。

${\displaystyle {\frac {\mu -\theta }{\sigma }},}$

ここで、μ、θ、σはそれぞれ分布の平均、最頻値、標準偏差である。標本データから母集団の最頻値を推定するのは難しいかもしれないが、多くの分布の平均と最頻値の差は平均と中央値の差の約3倍である^[30]ことから、ピアソンは2番目の歪度係数を提案した。

${\displaystyle {\frac {3(\mu -\nu )}{\sigma }},}$

ここで、ν は分布の中央値です。Bowleyは1901 年にこの式から係数 3 を削除し、ノンパラメトリック歪度統計を生み出しました。

中央値、平均値、最頻値の関係は、ピアソンがタイプ III 分布を調査していたときに初めて注目されました。

任意の分布では、モード、中央値、平均は任意の順序で現れる可能性がある。^{[31] [32] [33]}

平均値、中央値、最頻値、標準偏差の関係について分析が行われてきました。^[34]そしてこれらの関係は、ノンパラメトリック歪度の符号と大きさにいくつかの制限を課します。

これらの関係を示す簡単な例として、n = 10、p = 0.09の二項分布が挙げられます。 ^[35]この分布は、プロットすると右側に長い裾を持ちます。平均値（0.9）は中央値（1）の左側にありますが、3次標準化モーメントで定義される歪度（0.906）は正です。対照的に、ノンパラメトリック歪度は-0.110です。

一部の分布では、平均値と最頻値の差が平均値と中央値の差の 3 倍になるという規則は、タイプ 3 分布を調査しているときにピアソンが発見したものです。この規則は、正規分布に似たわずかに非対称な分布によく適用されますが、常に当てはまるとは限りません。

1895年にピアソンは、現在ガンマ分布として知られている分布について、次の関係があることを指摘した^[29]

${\displaystyle \nu -\theta =2(\mu -\nu )}$

ここで、θ、ν、μはそれぞれ分布の最頻値、中央値、平均であり、形状パラメータが大きい分布の場合、ほぼ当てはまります。

ドゥードソンは1917年に、有限の4次モーメントを持つ中程度に歪んだ分布の中央値は、モードと平均値の間にあることを証明しました。^{[36]この関係はすべての}ピアソン分布に当てはまり、これらすべての分布は正のノンパラメトリック歪を持っています。

ドゥードソンはまた、この分布族が良好な近似値を示すと指摘した。

${\displaystyle \theta =3\nu -2\mu ,}$

ここで、θ、ν、μはそれぞれ分布の最頻値、中央値、平均である。ドゥードソンの近似はハルデインによってさらに調査され、確認された。^{[37]ハルデーンは、第3の}キュムラントを持つ同一かつ独立した変量を持つ標本は、標本サイズが大きい場合、標本平均がピアソンの関係に従うことを指摘した。ハルデーンは、この関係が成り立つために、エッジワース展開の存在や中央値と最頻値の一意性など、いくつかの条件を要求した。これらの条件下で、彼は最頻値と中央値がそれぞれ第3モーメントの1/2と1/6に収束することを発見した。この結果は、特性関数を使用したより弱い条件下でホールによって確認された。^[38]

ドゥードソンの関係はケンドールとスチュアートによって対数正規分布で研究され、彼らはそれに近い関係を発見した。^[39]

ホールはまた、分布の裾が規則的に変化し、指数αが^{[明確化が必要] [38]}

${\displaystyle \mu -\theta =\alpha (\mu -\nu )}$

ガウスは1823年に単峰分布^[40]に対して

${\displaystyle \sigma \leq \omega \leq 2\sigma }$

そして

${\displaystyle |\nu -\mu |\leq {\sqrt {\frac {3}{4}}}\omega ,}$

ここで、ω はモードからの二乗平均平方根偏差です。

正に歪んだ単峰性分布の大きなクラスでは、最頻値、中央値、平均の順になります。^[41]逆に、負に歪んだ単峰性分布の大きなクラスでは、平均は中央値よりも小さく、中央値は最頻値よりも小さくなります。これらの正に歪んだ単峰性分布の記号では、

${\displaystyle \theta \leq \nu \leq \mu }$

そして、これらの負に偏った単峰性分布については

${\displaystyle \mu \leq \nu \leq \theta }$

このクラスには、重要な F 分布、ベータ分布、ガンマ分布が含まれます。

この規則は単峰性ワイブル分布には当てはまらない。^[42]

単峰分布の場合、以下の境界が明確であることが知られている：^[43]

${\displaystyle {\frac {|\theta -\mu |}{\sigma }}\leq {\sqrt {3}},}$

${\displaystyle {\frac {|\nu -\mu |}{\sigma }}\leq {\sqrt {0.6}},}$

${\displaystyle {\frac {|\theta -\nu |}{\sigma }}\leq {\sqrt {3}},}$

ここで、μ、ν、θはそれぞれ平均、中央値、最頻値です。

中間境界は、単峰分布のノンパラメトリック歪度をおよそ ±0.775 に制限します。

次の不等式、

${\displaystyle \theta \leq \nu \leq \mu ,}$

ここで、θ、ν、μはそれぞれ分布の最頻値、中央値、平均であり、

${\displaystyle F(\nu -x)+F(\nu +x)\geq 1{\text{ for all }}x,}$

ここでFは分布の累積分布関数である。 ^[44]これらの条件はその後一般化され^[33]、離散分布に拡張された。^[45]これが成り立つ分布は、ゼロまたは正のノンパラメトリック歪度を持つ。

1964年にヴァン・ツヴェットは歪度の尺度を順序付けるための一連の公理を提案した。^[46]ノンパラメトリック歪度はこれらの公理を満たさない。

ベンフォードの法則は、数字のリストにおける数字の分布に関する経験法則です。正のノンパラメトリック歪度を持つ分布からのランダム変量はこの法則に従うと示唆されています。^[47]

この統計はボウリーの歪度係数^{[48]と非常によく似ている。}

${\displaystyle SK_{2}={\frac {Q_{3}+Q_{1}-2Q_{2}}{Q_{3}-Q_{1}}}}$

ここで、Q _{i は}分布の i 番目の四分位数です。

ヒンクリーはこれを一般化した^[49]

${\displaystyle SK={\frac {F^{-1}(1-\alpha )+F^{-1}(\alpha )-2Q_{2}}{Q_{3}-Q_{1}}}}$

ここで、は 0 から 0.5 の間です。ボウリーの係数は 0.25 に等しい特殊なケースです。 ${\displaystyle \alpha }$${\displaystyle \alpha }$

GroeneveldとMeeden ^[50]は、積分することで 依存性を除去した。${\displaystyle \alpha }$

${\displaystyle SK_{3}={\frac {\mu -Q_{2}}{E|y-Q_{2}|}}}$

分母は分散の尺度です。分母を標準偏差に置き換えると、ノンパラメトリック歪度が得られます。