指数関数的に修正されたガウス分布

筋電図

確率密度関数
累積分布関数
パラメータ	μ ∈ R — ガウス成分の平均 σ 2 > 0 — ガウス成分の分散 λ > 0 — 指数成分の割合
サポート	x ∈ R
PDF	${\displaystyle {\frac {\lambda }{2}}\exp({\frac {\lambda }{2}}(2\mu +\lambda \sigma ^{2}-2x))\operatorname {erfc} \left({\frac {\mu +\lambda \sigma ^{2}-x}{{\sqrt {2}}\sigma }}\right)}$
ドイツ連邦共和国	${\displaystyle \Phi (x,\mu ,\sigma )-{\frac {1}{2}}\exp({\frac {\lambda }{2}}(2\mu +\lambda \sigma ^{2}-2x))\left(1+\operatorname {erfc} \left({\frac {\mu +\lambda \sigma ^{2}-x}{{\sqrt {2}}\sigma }}\right)\right)}$ どこ ${\displaystyle \Phi (x,\mu ,\sigma )}$ガウス分布のCDFである
平均	${\displaystyle \mu +1/\lambda }$
モード	${\displaystyle x_{m}=\mu -\operatorname {sgn} \left(\tau \right){\sqrt {2}}\sigma \operatorname {erfcxinv} \left({\frac {{|}\tau {|}}{\sigma }}{\sqrt {\frac {2}{\pi }}}\right)+{\frac {\sigma ^{2}}{\tau }}}$ ${\displaystyle f(x_{m})=h\exp \left(-{\frac {1}{2}}\left({\frac {\mu -x_{m}}{\sigma }}\right)^{2}\right)}$
分散	${\displaystyle \sigma^{2}+1/\lambda^{2}}$
歪度	${\displaystyle {\frac {2}{\sigma ^{3}\lambda ^{3}}}\left(1+{\frac {1}{\sigma ^{2}\lambda ^{2}}}\right)^{-3/2}}$
過剰尖度	${\displaystyle {\frac {3(1+{\frac {2}{\sigma ^{2}\lambda ^{2}}}+{\frac {3}{\lambda ^{4}\sigma ^{4}}})}{\left(1+{\frac {1}{\lambda ^{2}\sigma ^{2}}}\right)^{2}}}-3}$
MGF の	${\displaystyle \left(1-{\frac {t}{\lambda }}\right)^{-1}\,\exp \left(\mu t+{\frac {1}{2}}\sigma ^{2}t^{2}\right)}$
CF	${\displaystyle \left(1-{\frac {it}{\lambda }}\right)^{-1}\,\exp \left(i\mu t-{\frac {1}{2}}\sigma ^{2}t^{2}\right)}$

確率論では、指数修正ガウス分布( EMG 、 exGaussian 分布とも呼ばれる) は、独立した正規および指数ランダム変数の合計を表します。 exGaussian ランダム変数Z は、 Z = X + Yと表現できます。ここで、XとYは独立であり、Xは平均μと分散σ ²のガウス分布であり、Y は率λの指数です。 これは、指数成分からの正の特性歪みを持ちます。

これは、重みが正規分布の関数であるシフトされた指数の重み付き関数と見なすこともできます。

指数関数的に修正されたガウス分布の確率密度関数（ pdf）は^{[1]である。}

${\displaystyle f(x;\mu ,\sigma ,\lambda )={\frac {\lambda }{2}}\exp({\frac {\lambda }{2}}(2\mu +\lambda \sigma ^{2}-2x))\operatorname {erfc} \left({\frac {\mu +\lambda \sigma ^{2}-x}{{\sqrt {2}}\sigma }}\right),}$

ここでerfcは相補誤差関数であり、次のように定義される。

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {erfc} (x)&=1-\operatorname {erf} (x)\\&={\frac {2}{\sqrt {\pi }}}\int _{x}^{\infty }e^{-t^{2}}\,dt.\end{aligned}}}$

この密度関数は、正規確率密度関数と指数確率密度関数の畳み込みによって導出されます。

EMG分布の代替であるが同等の形式は、クロマトグラフィーにおけるピークの形状を記述するために使用される。^[2]これは次のとおりである。

どこ

${\displaystyle h}$ガウス分布の振幅である。

${\displaystyle \tau ={\frac {1}{\lambda }}}$指数緩和時間、指数確率密度関数の分散です。${\displaystyle \tau ^{2}}$

この関数は、算術オーバーフローのため、パラメータの値によっては計算できない（例えば、）場合がある。この関数を記述する別の同等の形式がDelleyによって提案された：^[3]${\displaystyle \tau =0}$

ここで、スケールされた相補誤差関数は${\displaystyle \operatorname {erfcx} t=\exp t^{2}\cdot \operatorname {erfc} t}$

この式の場合、算術オーバーフローも発生する可能性がありますが、非常に小さい τ を除いて、オーバーフローの領域は最初の式とは異なります。

τ が小さい場合は、2 番目の式の漸近形を使用するのが合理的です。

数式の使用に関する決定は、パラメータに基づいて行われます。 ${\displaystyle z={\frac {1}{\sqrt {2}}}\left({\frac {\sigma }{\tau }}-{\frac {x-\mu }{\sigma }}\right)}$

z < 0の計算は^[2]最初の式に従って行われる。

0 ≤ z ≤ 6.71·10 ^{7 （}倍精度浮動小数点形式の場合）の場合、2番目の式によれば、

z > 6.71·10 ⁷の場合は3番目の式に従います。

モード（頂点の位置、最も確からしい値）は、式 2 の導関数を使用して計算されます [2 ^{] 。計算には、}スケールされた相補誤差関数erfcxinv() の逆関数が使用されます。近似値は Kalambet らによっても提案されています^[2] 。モードは元のガウス分布よりも高い値にありますが、頂点は常に元の（変更されていない）ガウス分布上にあります。

パラメータは 3 つあります。正規分布の平均( μ )、正規分布の標準偏差( σ )、指数関数的減衰パラメータ ( τ = 1 / λ ) です。分布を特徴付けるために、形状K = τ / σも使用されることがあります。パラメータの値に応じて、分布の形状はほぼ正規分布からほぼ指数分布まで変化することがあります。

分布のパラメータは、サンプルデータからモーメント法を用いて次のように推定できる。^{[4] [5]}

${\displaystyle m=\mu +\tau ,}$

${\displaystyle s^{2}=\sigma ^{2}+\tau ^{2},}$

${\displaystyle \gamma _{1}={\frac {2\tau ^{3}}{(\sigma ^{2}+\tau ^{2})^{3/2}}},}$

ここで、mはサンプル平均、sはサンプル標準偏差、γ _1は歪度です。

これらをパラメータについて解くと次のようになります。

${\displaystyle {\hat {\mu }}=m-s\left({\frac {\gamma _{1}}{2}}\right)^{1/3},}$

${\displaystyle {\hat {\sigma ^{2}}}=s^{2}\left[1-\left({\frac {\gamma _{1}}{2}}\right)^{2/3}\right],}$

${\displaystyle {\hat {\tau }}=s\left({\frac {\gamma _{1}}{2}}\right)^{1/3}.}$

ラトクリフは、パラメータ推定値が信頼できると見なされるためには、サンプルに少なくとも 100 個のデータ ポイントが必要であると示唆しています。^[6] ヴィンセント平均化は、分布の形状をわずかに歪めるだけなので、サンプル数が少ない場合に使用できます。^[7]これらのポイント推定値は、最小二乗最適化などのより強力な方法で改良できる初期値として使用できます。最小二乗最適化は、マルチモーダル指数修正ガウス分布 (MEMG) の場合に機能することが示されています。^[8]解析的な MEMG 導関数と、サウンド処理用のオプションの振動項を含むコード実装が、オープン ソース プロジェクトの一部としてリリースされています。^[9]

現在、この分布の有意性検定に使用できる公開された表はありません。分布は、正規分布から抽出された 1 つのランダム変数と指数分布から抽出された 1 つのランダム変数の合計を作成することによってシミュレートできます。

ノンパラメトリック歪度の値

${\displaystyle {\frac {{\text{mean}}-{\text{median}}}{\text{standard deviation}}}}$

この分布の下限は0から0.31の間です。^{[10] [11]}正規分布が優勢な場合は下限に近づき、指数分布が優勢な場合は上限に近づきます。

この分布は、クロマトグラフィーのピークの形状の理論モデルとして使用されます。^{[1] [2] [12]}これは、分裂細胞の間期分裂時間の統計モデルとして提案されています。 ^{[13] [14]}また、クラスターイオンビームのモデリングにも使用されます。^[15]これは、心理学やその他の脳科学における応答時間の研究でよく使用されます。^{[16] [17] [18]}正規成分の平均がゼロに設定されるわずかなバリエーションでは、非効率性をモデル化する合成誤差項の分布仕様の1つとして、確率的フロンティア分析でも使用されます。 ^[19]信号処理では、EMGは、デジタル化された音声信号を表すためにオプションの振動項を使用してマルチモーダルケースに拡張されています。^[8]

この分布族は、正規指数ガンマ分布の特殊または極限ケースです。これは、正規分布に歪みを加えるために 3 つのパラメータを一般化したものと考えることもできます。これに似た別の分布は、裾が薄い歪み正規分布です。この分布は、正規分布の平均がシフト指数分布としてランダムに変化する複合確率分布です。^[要出典]

オプション価格のモデル化にはガウスマイナス指数分布が提案されている。^[20] このようなランダム変数Yがパラメータμ、σ、λを持つ場合、その負の-Yはパラメータ-μ、σ、λを持つ指数修正ガウス分布を持ち、したがってYは平均と分散を持つ。 ${\displaystyle \mu -{\tfrac {1}{\lambda }}}$${\displaystyle \sigma ^{2}+{\tfrac {1}{\lambda ^{2}}}}$