ダグム分布

ダガムディストリビューション

確率密度関数
累積分布関数
パラメータ	${\displaystyle p>0}$ 形状 形状スケール ${\displaystyle a>0}$ ${\displaystyle b>0}$
サポート	${\displaystyle x>0}$
PDF	${\displaystyle {\frac {ap}{x}}\left({\frac {({\tfrac {x}{b}})^{ap}}{\left(({\tfrac {x}{b}})^{a}+1\right)^{p+1}}}\right)}$
ドイツ連邦共和国	${\displaystyle {\left(1+{\left({\frac {x}{b}}\right)}^{-a}\right)}^{-p}}$
クォンタイル	${\displaystyle b(u^{-1/p}-1)^{-1/a}}$
平均	${\displaystyle {\begin{cases}b{\frac {\Gamma \left(1-{\tfrac {1}{a}}\right)\Gamma \left(p+{\tfrac {1}{a}}\right)}{\Gamma (p)}}&{\text{if}}\ a>1\\{\text{不定}}&{\text{それ以外の場合}}\ \end{cases}}}$ [1]
中央値	${\displaystyle b{\left(-1+2^{\tfrac {1}{p}}\right)}^{-{\tfrac {1}{a}}}}$
モード	${\displaystyle b{\left({\frac {ap-1}{a+1}}\right)}^{\tfrac {1}{a}}}$
分散	${\displaystyle {\begin{cases}{b^{2}}\left({\frac {\Gamma \left(1-{\tfrac {2}{a}}\right)\,\Gamma \left(p+{\tfrac {2}{a}}\right)}{\Gamma \left(p\right)}}-\left({\frac {\Gamma \left(1-{\tfrac {1}{a}}\right)\Gamma \left(p+{\tfrac {1}{a}}\right)}{\Gamma \left(p\right)}}\right)^{2}\right)&{\text{if}}\ a>2\\{\text{Indeterminate}}&{\text{otherwise}}\ \end{cases}}}$

ダグム分布（またはミールケ・ベータ・カッパ分布）は、正の実数に対して定義される連続確率分布です。1970年代に一連の論文でこの分布を提案したカミロ・ダグムにちなんで名付けられました。^{[2] [3]ダグム分布は、個人所得の規模分布に関する新しいモデルのいくつかのバリエーションから生まれ、主に}所得分布 の研究に関連しています。ダグム分布には、3パラメータ仕様（タイプI）と4パラメータ仕様（タイプII）の両方があります。この分布の起源の概要は、「ダグム分布ガイド」に記載されています。^[4] ダグム分布を使用する研究でよく引用される統計的サイズ分布の一般的な情報源は、「経済学と保険数理科学における統計的サイズ分布」です。^[5]

ダガム分布（タイプI）の 累積分布関数は次のように表される。

${\displaystyle F(x;a,b,p)=\left(1+\left({\frac {x}{b}}\right)^{-a}\right)^{-p}{\text{ for }}x>0{\text{ where }}a,b,p>0.}$

対応する確率密度関数は次のように与えられる。

${\displaystyle f(x;a,b,p)={\frac {ap}{x}}\left({\frac {({\tfrac {x}{b}})^{ap}}{\left(({\tfrac {x}{b}})^{a}+1\right)^{p+1}}}\right).}$

分位関数は次のように与えられる。

${\displaystyle Q(u;a,b,p)=b(u^{-1/p}-1)^{-1/a}={\frac {bu^{\frac {1}{pa}}}{\left(1-u^{\frac {1}{p}}\right)^{\frac {1}{a}}}}}$

ダガム分布は、一般化ベータII（GB2）分布（ベータプライム分布の一般化）の特殊​​なケースとして導出できます。

${\displaystyle X\sim D(a,b,p)\iff X\sim GB2(a,b,p,1)}$

Dagum 分布とSingh–Maddala / Burr 分布の間にも密接な関係があります。

${\displaystyle X\sim D(a,b,p)\iff {\frac {1}{X}}\sim SM(a,{\tfrac {1}{b}},p)}$

ダガム（タイプII）分布の累積分布関数は、原点に点質点を追加し、残りのサポート（つまり、正の半直線上）にわたってダガム（タイプI）分布に従います。

${\displaystyle F(x;a,b,p,\delta )=\delta +(1-\delta )\left(1+\left({\frac {x}{b}}\right)^{-a}\right)^{-p}.}$

ダグム分布は所得と富の分配をモデル化するためによく使われる。ダグムI型とジニ係数の関係は以下の式でまとめられる：^[6]

${\displaystyle G={\frac {\Gamma (p)\Gamma (2p+1/a)}{\Gamma (2p)\Gamma (p+1/a)}}-1,}$

ここで、はガンマ関数です。この値はスケールパラメータ とは独立していることに注意してください。${\displaystyle \Gamma (\cdot )}$${\displaystyle b}$

ダガム分布は所得分布をモデル化するために使用される唯一の3パラメータ分布ではありませんが、ある研究では、ダガム分布が他の3パラメータモデルよりも適合性が高いことがわかっています。^[7]

ダグム分布は、負の純資産とゼロの純資産の観測頻度を考慮した純資産分布をモデル化するために拡張されました。この一般化されたモデルは、ダグム純資産分布一般モデル^[8]として知られ、ゼロ（富のない経済単位を表す）の原子分布と、負の純資産と正の純資産の2つの連続分布からなる混合モデル です。

• カミロ・ダガム (1925 - 2005) 2017-08-15 にウェイバックマシンにアーカイブ : 死亡記事