F分布

F分布が使用される場合、例えば分散分析では、独立性は${\displaystyle U_{1}}$そして​​${\displaystyle U_{2}}$（上記で定義）は、コックランの定理を適用することで証明できるかもしれない。

同様に、カイ二乗分布は独立な標準正規確率変数の二乗和であるため、 F分布の確率変数は次のように書くこともできます。 $${\displaystyle X={\frac {s_{1}^{2}}{\sigma _{1}^{2}}}\div {\frac {s_{2}^{2}}{\sigma _{2}^{2}}},}$$

どこ${\textstyle s_{1}^{2}={\frac {S_{1}^{2}}{d_{1}}}}$そして​${\displaystyle \textstyle s_{2}^{2}={\frac {S_{2}^{2}}{d_{2}}}}$⁠、${\displaystyle S_{1}^{2}}$は、$d_1$正規分布からの確率変数${\displaystyle N(0,\sigma _{1}^{2})}$そして${\displaystyle S_{2}^{2}}$は、$d2$正規分布からの確率変数${\displaystyle N(0,\sigma _{2}^{2})}$⁠ .

頻度論的文脈では、スケーリングされたF分布は確率を与える。${\displaystyle \textstyle p(s_{1}^{2}/s_{2}^{2}\mid \sigma _{1}^{2},\sigma _{2}^{2})}$⁠、スケーリングなしのF分布自体を適用して、${\displaystyle \sigma _{1}^{2}}$と 等しいとみなされる${\displaystyle \sigma _{2}^{2}}$これは、 F検定においてF分布が最も一般的に現れる文脈です。帰無仮説は、2 つの独立した正規分散が等しいというものであり、適切に選択されたいくつかの平方和の観測値を調べて、その比率がこの帰無仮説と有意に矛盾するかどうかを確認します。

数量${\displaystyle X}$の事前確率に対して無情報な再スケーリング不変ジェフリーズ事前分布を採用した場合、ベイズ統計では同じ分布になります。${\displaystyle \sigma _{1}^{2}}$そして​${\displaystyle \sigma _{2}^{2}}$⁠ . ^{[ 8 ]}この文脈では、スケーリングされたF分布は事後確率を与える。${\displaystyle \textstyle p(\sigma _{2}^{2}/\sigma _{1}^{2}\mid s_{1}^{2},s_{2}^{2})}$⁠、ここで観測された合計は${\displaystyle s_{1}^{2}}$そして${\displaystyle s_{2}^{2}}$これらは現在では既知の事実として扱われている。

• もし${\displaystyle X\sim \chi _{d_{1}}^{2}}$そして${\displaystyle Y\sim \chi _{d_{2}}^{2}}$（カイ二乗分布）は独立であるならば、${\displaystyle \textstyle {\frac {X/d_{1}}{Y/d_{2}}}\sim \mathrm {F} (d_{1},d_{2})}$⁠ .
• もし${\displaystyle X_{k}\sim \Gamma (\alpha _{k},\beta _{k})\,}$（ガンマ分布）は独立であるならば、${\displaystyle \textstyle {\frac {\alpha _{2}\beta _{1}X_{1}}{\alpha _{1}\beta _{2}X_{2}}}\sim \mathrm {F} (2\alpha _{1},2\alpha _{2})}$⁠ .
• もし${\textstyle X\sim \operatorname {Beta} \left({d_{1} \over 2},{d_{2} \over 2}\right)}$（ベータ分布）次に${\displaystyle \textstyle {\frac {d_{2}X}{d_{1}(1-X)}}\sim \operatorname {F} (d_{1},d_{2})}$⁠ .
  • 同様に、もし⁠${\displaystyle X\sim F(d_{1},d_{2})}$⁠、それから⁠${\displaystyle \textstyle {\frac {d_{1}X/d_{2}}{1+d_{1}X/d_{2}}}\sim \operatorname {Beta} \left({d_{1} \over 2},{d_{2} \over 2}\right)}$⁠ .
• もし​${\displaystyle X\sim F(d_{1},d_{2})}$⁠、それから${\textstyle {\frac {d_{1}}{d_{2}}}X}$ベータ素数分布を持つ：${\displaystyle \textstyle {\frac {d_{1}}{d_{2}}}X\sim \operatorname {\beta ^{\prime }} \left({\tfrac {d_{1}}{2}},{\tfrac {d_{2}}{2}}\right)}$⁠ .
• もし${\displaystyle X\sim F(d_{1},d_{2})}$それから${\textstyle Y=\lim _{d_{2}\to \infty }d_{1}X}$カイ二乗分布に従う${\displaystyle \chi _{d_{1}}^{2}}$⁠ .
• ${\displaystyle F(d_{1},d_{2})}$スケーリングされたホテリングのT二乗分布 に相当する。${\displaystyle \textstyle {\frac {d_{2}}{d_{1}(d_{1}+d_{2}-1)}}\operatorname {T} ^{2}(d_{1},d_{1}+d_{2}-1)}$⁠ .
• もし${\displaystyle X\sim F(d_{1},d_{2})}$それから${\displaystyle X^{-1}\sim F(d_{2},d_{1})}$⁠ .
• もし​${\displaystyle X\sim t_{(n)}}$⁠ –スチューデントのt分布–次に：  $${\displaystyle {\begin{aligned}X^{2}&\sim \operatorname {F} (1,n),\\X^{-2}&\sim \operatorname {F} (n,1).\end{aligned}}}$$
• F分布は、タイプ6ピアソン分布の特殊なケースです。
• もし${\displaystyle X}$そして${\displaystyle Y}$独立しており、${\displaystyle X,Y\sim \operatorname {Laplace} (\mu ,b)}$（ラプラス分布）$${\displaystyle {\frac {|X-\mu |}{|Y-\mu |}}\sim \operatorname {F} (2,2).}$$
• もし${\displaystyle X\sim F(n,m)}$それから${\displaystyle {\tfrac {\log {X}}{2}}\sim \operatorname {FisherZ} (n,m)}$（フィッシャーのz分布）
• 非心F分布は、以下の条件を満たす場合、F分布に単純化されます。${\displaystyle \lambda =0}$⁠ .
• 二重非心F分布は、以下の条件を満たす場合、F分布に単純化される。${\displaystyle \lambda _{1}=\lambda _{2}=0}$⁠
• もし${\displaystyle \operatorname {Q} _{X}(p)}$分位数${\displaystyle p}$⁠のために${\displaystyle X\sim F(d_{1},d_{2})}$そして${\displaystyle \operatorname {Q} _{Y}(1-p)}$分位数は${\displaystyle 1-p}$のために⁠${\displaystyle Y\sim F(d_{2},d_{1})}$⁠、それから$${\displaystyle \operatorname {Q} _{X}(p)={\frac {1}{\operatorname {Q} _{Y}(1-p)}}.}$$
• F分布は比率分布の一例である。
• W分布は、F分布の独自のパラメータ化である。