一般化パレート分布

一般化パレート分布

確率密度関数 およびの異なる値に対するGPD分布関数${\displaystyle \mu =0}$${\displaystyle \sigma }$${\displaystyle \xi }$
累積分布関数
パラメータ	${\displaystyle \mu \in (-\infty ,\infty )\,}$ 場所（実際）規模（実際） ${\displaystyle \sigma \in (0,\infty )\,}$ ${\displaystyle \xi \in (-\infty ,\infty )\,}$ 形状（実数）
サポート	${\displaystyle x\geqslant \mu \,\;(\xi \geqslant 0)}$ ${\displaystyle \mu \leqslant x\leqslant \mu -\sigma /\xi \,\;(\xi <0)}$
PDF	${\displaystyle {\frac {1}{\sigma }}(1+\xi z)^{-(1/\xi +1)}}$ どこ${\displaystyle z={\frac {x-\mu }{\sigma }}}$
ドイツ連邦共和国	${\displaystyle 1-(1+\xi z)^{-1/\xi }\,}$
平均	${\displaystyle \mu +{\frac {\sigma }{1-\xi }}\,\;(\xi <1)}$
中央値	${\displaystyle \mu +{\frac {\sigma (2^{\xi }-1)}{\xi }}}$
モード	${\displaystyle \mu }$
分散	${\displaystyle {\frac {\sigma ^{2}}{(1-\xi )^{2}(1-2\xi )}}\,\;(\xi <1/2)}$
歪度	${\displaystyle {\frac {2(1+\xi ){\sqrt {1-2\xi }}}{(1-3\xi )}}\,\;(\xi <1/3)}$
過剰尖度	${\displaystyle {\frac {3(1-2\xi )(2\xi ^{2}+\xi +3)}{(1-3\xi )(1-4\xi )}}-3\,\;(\xi <1/4)}$
エントロピ	${\displaystyle \log(\sigma )+\xi +1}$
MGF の	${\displaystyle e^{\theta \mu }\,\sum _{j=0}^{\infty }\left[{\frac {(\theta \sigma )^{j}}{\prod _{k=0}^{j}(1-k\xi )}}\right],\;(k\xi <1)}$
CF	${\displaystyle e^{it\mu }\,\sum _{j=0}^{\infty }\left[{\frac {(it\sigma )^{j}}{\prod _{k=0}^{j}(1-k\xi )}}\right],\;(k\xi <1)}$
モーメント法	${\displaystyle \xi ={\frac {1}{2}}\left(1-{\frac {(E[X]-\mu )^{2}}{V[X]}}\right)}$ ${\displaystyle \sigma =(E[X]-\mu )(1-\xi )}$
予想される不足額	${\displaystyle {\begin{cases}\mu +\sigma \left[{\frac {(1-p)^{-\xi }}{1-\xi }}+{\frac {(1-p)^{-\xi }-1}{\xi }}\right]&,\xi \neq 0\\\mu +\sigma [1-\ln(1-p)]&,\xi =0\end{cases}}}$[1]

統計学において、一般化パレート分布（GPD）は連続確率分布の一種である。他の分布の裾をモデル化するためによく使われる。位置、スケール、形状の3つのパラメータで指定される。^{[2] [3]}スケールと形状のみで指定される場合もあり^[4]、形状パラメータのみで指定される場合もある。参考文献によっては形状パラメータを としている。^[5]${\displaystyle \mu }$${\displaystyle \sigma }$${\displaystyle \xi }$${\displaystyle \kappa =-\xi \,}$

GPDの標準累積分布関数（cdf）は^{[6]で定義される。}

${\displaystyle F_{\xi }(z)={\begin{cases}1-\left(1+\xi z\right)^{-1/\xi }&{\text{for }}\xi \neq 0,\\1-e^{-z}&{\text{for }}\xi =0.\end{cases}}}$

ここで、サポートはに対して、に対してである。対応する確率密度関数（pdf）は ${\displaystyle z\geq 0}$${\displaystyle \xi \geq 0}$${\displaystyle 0\leq z\leq -1/\xi }$${\displaystyle \xi <0}$

${\displaystyle f_{\xi }(z)={\begin{cases}(1+\xi z)^{-{\frac {\xi +1}{\xi }}}&{\text{for }}\xi \neq 0,\\e^{-z}&{\text{for }}\xi =0.\end{cases}}}$

関連する位置スケール分布族は、引数zを に置き換え、それに応じてサポートを調整することによって得られます。 ${\displaystyle {\frac {x-\mu }{\sigma }}}$

（、、）の累積分布関数は ${\displaystyle X\sim GPD(\mu ,\sigma ,\xi )}$${\displaystyle \mu \in \mathbb {R} }$${\displaystyle \sigma >0}$${\displaystyle \xi \in \mathbb {R} }$

${\displaystyle F_{(\mu ,\sigma ,\xi )}(x)={\begin{cases}1-\left(1+{\frac {\xi (x-\mu )}{\sigma }}\right)^{-1/\xi }&{\text{for }}\xi \neq 0,\\1-\exp \left(-{\frac {x-\mu }{\sigma }}\right)&{\text{for }}\xi =0,\end{cases}}}$

ここで、 のサポートはのときであり、 のときです。 ${\displaystyle X}$${\displaystyle x\geqslant \mu }$${\displaystyle \xi \geqslant 0\,}$${\displaystyle \mu \leqslant x\leqslant \mu -\sigma /\xi }$${\displaystyle \xi <0}$

の確率密度関数（pdf）は ${\displaystyle X\sim GPD(\mu ,\sigma ,\xi )}$

${\displaystyle f_{(\mu ,\sigma ,\xi )}(x)={\frac {1}{\sigma }}\left(1+{\frac {\xi (x-\mu )}{\sigma }}\right)^{\left(-{\frac {1}{\xi }}-1\right)}}$、

再び、のとき、および のとき。 ${\displaystyle x\geqslant \mu }$${\displaystyle \xi \geqslant 0}$${\displaystyle \mu \leqslant x\leqslant \mu -\sigma /\xi }$${\displaystyle \xi <0}$

このpdfは次の微分方程式の解である: ^[要出典]

${\displaystyle \left\{{\begin{array}{l}f'(x)(-\mu \xi +\sigma +\xi x)+(\xi +1)f(x)=0,\\f(0)={\frac {\left(1-{\frac {\mu \xi }{\sigma }}\right)^{-{\frac {1}{\xi }}-1}}{\sigma }}\end{array}}\right\}}$

• 形状と位置が両方ともゼロの場合、GPD は指数分布と同等になります。${\displaystyle \xi }$${\displaystyle \mu }$
• 形状が の場合、GPDは連続一様分布と同等である。^[7]${\displaystyle \xi =-1}$ ${\displaystyle U(0,\sigma )}$
• 形状と位置 の場合、GPD はスケールと形状 のパレート分布と同等になります。${\displaystyle \xi >0}$${\displaystyle \mu =\sigma }$${\displaystyle x_{m}=\sigma /\xi }$${\displaystyle \alpha =1/\xi }$
• 、、の場合、[ 1 ]。（exGPDは指数一般化パレート分布を表します。）${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \sim }$ ${\displaystyle GPD}$ ${\displaystyle (}$${\displaystyle \mu =0}$${\displaystyle \sigma }$${\displaystyle \xi }$ ${\displaystyle )}$${\displaystyle Y=\log(X)\sim exGPD(\sigma ,\xi )}$
• GPD はBurr 分布に似ています。

Uが(0, 1]上に一様分布している場合、

${\displaystyle X=\mu +{\frac {\sigma (U^{-\xi }-1)}{\xi }}\sim GPD(\mu ,\sigma ,\xi \neq 0)}$

そして

${\displaystyle X=\mu -\sigma \ln(U)\sim GPD(\mu ,\sigma ,\xi =0).}$

どちらの式も cdf の逆関数によって得られます。

Matlab Statistics Toolbox では、「gprnd」コマンドを使用して一般化パレート乱数を簡単に生成できます。

GPD ランダム変数は、ガンマ分布レート パラメーターを持つ指数ランダム変数として表現することもできます。

${\displaystyle X|\Lambda \sim \operatorname {Exp} (\Lambda )}$

そして

${\displaystyle \Lambda \sim \operatorname {Gamma} (\alpha ,\beta )}$

それから

${\displaystyle X\sim \operatorname {GPD} (\xi =1/\alpha ,\ \sigma =\beta /\alpha )}$

ただし、ガンマ分布のパラメータは 0 より大きくなければならないため、次の追加の制約が課されることに注意してください:は正でなければなりません。 ${\displaystyle \xi }$

この混合（または複合）式に加えて、一般化パレート分布は単純な比率として表すこともできます。具体的には、およびについては、となります。これは、指数分布とガンマ分布の速度パラメータが単純に逆乗法定数であることを考慮に入れて、 設定した後の混合の結果です。${\displaystyle Y\sim {\text{Exponential}}(1)}$${\displaystyle Z\sim {\text{Gamma}}(1/\xi ,1)}$${\displaystyle \mu +\sigma {\frac {Y}{\xi Z}}\sim {\text{GPD}}(\mu ,\sigma ,\xi )}$${\displaystyle \beta =\alpha }$

、、 の場合、は、、で表される指数一般化パレート分布に従って分布します。${\displaystyle X\sim GPD}$ ${\displaystyle (}$${\displaystyle \mu =0}$${\displaystyle \sigma }$${\displaystyle \xi }$ ${\displaystyle )}$${\displaystyle Y=\log(X)}$${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle \sim }$ ${\displaystyle exGPD}$ ${\displaystyle (}$${\displaystyle \sigma }$${\displaystyle \xi }$ ${\displaystyle )}$

の確率密度関数（pdf）は 、${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle \sim }$ ${\displaystyle exGPD}$ ${\displaystyle (}$${\displaystyle \sigma }$${\displaystyle \xi }$ ${\displaystyle )\,\,(\sigma >0)}$

${\displaystyle g_{(\sigma ,\xi )}(y)={\begin{cases}{\frac {e^{y}}{\sigma }}{\bigg (}1+{\frac {\xi e^{y}}{\sigma }}{\bigg )}^{-1/\xi -1}\,\,\,\,{\text{for }}\xi \neq 0,\\{\frac {1}{\sigma }}e^{y-e^{y}/\sigma }\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,{\text{for }}\xi =0,\end{cases}}}$

ここで、 のサポートは、 のサポートはです。 ${\displaystyle -\infty <y<\infty }$${\displaystyle \xi \geq 0}$${\displaystyle -\infty <y\leq \log(-\sigma /\xi )}$${\displaystyle \xi <0}$

すべての に対して、 は位置パラメータになります。形状が正の場合の pdf については、右のパネルを参照してください。 ${\displaystyle \xi }$${\displaystyle \log \sigma }$${\displaystyle \xi }$

exGPDは、すべてのおよびに対して、すべての順序の有限モーメントを持ちます。 ${\displaystyle \sigma >0}$${\displaystyle -\infty <\xi <\infty }$

のモーメント生成関数は ${\displaystyle Y\sim exGPD(\sigma ,\xi )}$

${\displaystyle M_{Y}(s)=E[e^{sY}]={\begin{cases}-{\frac {1}{\xi }}{\bigg (}-{\frac {\sigma }{\xi }}{\bigg )}^{s}B(s+1,-1/\xi )\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,{\text{for }}s\in (-1,\infty ),\xi <0,\\{\frac {1}{\xi }}{\bigg (}{\frac {\sigma }{\xi }}{\bigg )}^{s}B(s+1,1/\xi -s)\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,{\text{for }}s\in (-1,1/\xi ),\xi >0,\\\sigma ^{s}\Gamma (1+s)\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,{\text{for }}s\in (-1,\infty ),\xi =0,\end{cases}}}$

ここで、およびはそれぞれベータ関数とガンマ関数を表します。 ${\displaystyle B(a,b)}$${\displaystyle \Gamma (a)}$

の期待値はスケールパラメータと形状パラメータに依存し、 はディガンマ関数を通じて関与します。 ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle \sim }$ ${\displaystyle exGPD}$ ${\displaystyle (}$${\displaystyle \sigma }$${\displaystyle \xi }$ ${\displaystyle )}$${\displaystyle \sigma }$${\displaystyle \xi }$${\displaystyle \xi }$

${\displaystyle E[Y]={\begin{cases}\log \ {\bigg (}-{\frac {\sigma }{\xi }}{\bigg )}+\psi (1)-\psi (-1/\xi +1)\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,{\text{for }}\xi <0,\\\log \ {\bigg (}{\frac {\sigma }{\xi }}{\bigg )}+\psi (1)-\psi (1/\xi )\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,{\text{for }}\xi >0,\\\log \sigma +\psi (1)\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,{\text{for }}\xi =0.\end{cases}}}$

の値が固定されている場合、 は指数化された一般化パレート分布における位置パラメータとして機能することに注意してください。 ${\displaystyle \xi \in (-\infty ,\infty )}$${\displaystyle \log \ \sigma }$

の分散は、1次のポリガンマ関数（トリガンマ関数とも呼ばれる）を通じてのみ形状パラメータに依存します。 ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle \sim }$ ${\displaystyle exGPD}$ ${\displaystyle (}$${\displaystyle \sigma }$${\displaystyle \xi }$ ${\displaystyle )}$${\displaystyle \xi }$

${\displaystyle Var[Y]={\begin{cases}\psi '(1)-\psi '(-1/\xi +1)\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,{\text{for }}\xi <0,\\\psi '(1)+\psi '(1/\xi )\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,{\text{for }}\xi >0,\\\psi '(1)\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,{\text{for }}\xi =0.\end{cases}}}$

の関数としての分散については右のパネルを参照してください。 に注意してください。 ${\displaystyle \xi }$${\displaystyle \psi '(1)=\pi ^{2}/6\approx 1.644934}$

スケールパラメータと形状パラメータの役割は、分離して解釈できるため、[2]を使用するよりも堅牢で効率的な推定につながる可能性があることに注意してください。2つのパラメータの役割は、（少なくとも2番目の中心モーメントまで）の下で互いに関連しています。両方のパラメータが関与する分散の式を参照してください。 ${\displaystyle \sigma }$${\displaystyle \xi }$${\displaystyle Y\sim exGPD(\sigma ,\xi )}$${\displaystyle \xi }$${\displaystyle X\sim GPD(\sigma ,\xi )}$${\displaystyle X\sim GPD(\mu =0,\sigma ,\xi )}$${\displaystyle Var(X)}$

が未知の重裾分布からの観測値（iidである必要はない）であると仮定し、その裾分布は裾指数とともに規則的に変化する（したがって、対応する形状パラメータは である）。具体的には、裾分布は次のように記述される。 ${\displaystyle X_{1:n}=(X_{1},\cdots ,X_{n})}$${\displaystyle n}$ ${\displaystyle F}$${\displaystyle 1/\xi }$${\displaystyle \xi }$

${\displaystyle {\bar {F}}(x)=1-F(x)=L(x)\cdot x^{-1/\xi },\,\,\,\,\,{\text{for some }}\xi >0,\,\,{\text{where }}L{\text{ is a slowly varying function.}}}$

極値理論では、特にが正の場合（いわゆる裾の重い分布） に、形状パラメータ を推定することが特に重要です。${\displaystyle \xi }$${\displaystyle \xi }$

をその条件付き超過分布関数とします。Pickands –Balkema–de Haan の定理(Pickands、1975 年、Balkema と de Haan、1974 年) は、大規模な基礎分布関数のクラスに対して、大きな は一般化パレート分布 (GPD) によって十分に近似されることを述べています。これが、ピーク超過閾値 (POT) 法を使用して を推定する動機となりました。GPDは POT アプローチで重要な役割を果たします。${\displaystyle F_{u}}$${\displaystyle F}$${\displaystyle u}$${\displaystyle F_{u}}$${\displaystyle \xi }$

POT法を用いた有名な推定量はヒル推定量である。ヒル推定量の技術的な定式化は以下の通りである。 について、 の -番目に大きい値を と書く。そして、この表記法を用いると、上位統計量に基づくヒル推定量（Embrechtsら[3]の文献5の190ページを参照）は以下のように定義される。 ${\displaystyle 1\leq i\leq n}$${\displaystyle X_{(i)}}$${\displaystyle i}$${\displaystyle X_{1},\cdots ,X_{n}}$${\displaystyle k}$

${\displaystyle {\widehat {\xi }}_{k}^{\text{Hill}}={\widehat {\xi }}_{k}^{\text{Hill}}(X_{1:n})={\frac {1}{k-1}}\sum _{j=1}^{k-1}\log {\bigg (}{\frac {X_{(j)}}{X_{(k)}}}{\bigg )},\,\,\,\,\,\,\,\,{\text{for }}2\leq k\leq n.}$

実際には、ヒル推定量は次のように使用されます。まず、各整数 における推定量を計算し、次に順序付きペア をプロットします。次に、に関してほぼ一定であるヒル推定量のセットから選択します。これらの安定した値は、形状パラメータ の適切な推定値と見なされます。 がiid である場合、ヒル推定量は形状パラメータの一貫した推定量です[4]。 ${\displaystyle {\widehat {\xi }}_{k}^{\text{Hill}}}$${\displaystyle k\in \{2,\cdots ,n\}}$${\displaystyle \{(k,{\widehat {\xi }}_{k}^{\text{Hill}})\}_{k=2}^{n}}$${\displaystyle \{{\widehat {\xi }}_{k}^{\text{Hill}}\}_{k=2}^{n}}$${\displaystyle k}$${\displaystyle \xi }$${\displaystyle X_{1},\cdots ,X_{n}}$${\displaystyle \xi }$

ヒル推定量は 観測値に対して対数変換を使用していることに注意してください。（ピックアンド推定量も対数変換を使用していますが、方法は若干異なります[5]。） ${\displaystyle {\widehat {\xi }}_{k}^{\text{Hill}}}$${\displaystyle X_{1:n}=(X_{1},\cdots ,X_{n})}$ ${\displaystyle {\widehat {\xi }}_{k}^{\text{Pickand}}}$

• バー分布
• パレート分布
• 一般化極値分布
• 指数一般化パレート分布
• ピッカンズ – バルケマ – デ ハーンの定理

• Pickands, James (1975). 「極度順序統計を用いた統計的推論」(PDF) . Annals of Statistics . 3 s : 119–131. doi : 10.1214/aos/1176343003 .
• Balkema, A.; De Haan, Laurens (1974). 「高齢期における残存寿命」Annals of Probability . 2 (5): 792–804. doi : 10.1214/aop/1176996548 .
• Lee, Seyoon; Kim, JHK (2018). 「指数化された一般化パレート分布:極値理論に向けた特性と応用」. Communications in Statistics - Theory and Methods . 48 (8): 1–25. arXiv : 1708.01686 . doi :10.1080/03610926.2018.1441418. S2CID  88514574.
• NL Johnson、S. Kotz、N. Balakrishnan (1994)。連続一変量分布第1巻、第2版。ニューヨーク：Wiley。ISBN 978-0-471-58495-7。第 20 章、セクション 12: 一般化パレート分布。
• Barry C. Arnold (2011)。「第 7 章: パレート分布と一般化パレート分布」。Duangkamon Chotikapanich (編)。分布とローレンツ曲線のモデリング。ニューヨーク: Springer。ISBN 9780387727967。
• Arnold, BC; Laguna, L. (1977).一般化パレート分布と所得データへの応用. アイオワ州エイムズ: アイオワ州立大学経済学部.

• Mathworks: 一般化パレート分布