ガンベル分布

ガンベル

確率密度関数
累積分布関数
表記	${\displaystyle {\text{ガンベル}}(\mu ,\beta )}$
パラメータ	${\displaystyle \mu ,}$ 場所（実際）規模（実際） ${\displaystyle \beta >0,}$
サポート	${\displaystyle x\in \mathbb {R} }$
PDF	${\displaystyle {\frac {1}{\beta }}e^{-(z+e^{-z})}}$ どこ${\displaystyle z={\frac {x-\mu }{\beta }}}$
ドイツ連邦共和国	${\displaystyle e^{-e^{-(x-\mu )/\beta }}}$
クォンタイル	${\displaystyle \mu -\beta \ln(-\ln(p))}$
平均	${\displaystyle \mu +\beta \gamma }$ オイラー・マスケローニ定数はどこにありますか${\displaystyle \gamma}$
中央値	${\displaystyle \mu -\beta \ln(\ln 2)}$
モード	${\displaystyle \mu}$
分散	${\displaystyle {\frac {\pi ^{2}}{6}}\beta ^{2}}$
歪度	${\displaystyle {\frac {12{\sqrt {6}}\,\zeta (3)}{\pi ^{3}}}\approx 1.14}$
過剰尖度	${\displaystyle {\frac {12}{5}}}$
エントロピ	${\displaystyle \ln(\beta )+\gamma +1}$
MGF の	${\displaystyle \Gamma (1-\beta t)e^{\mu t}}$
CF	${\displaystyle \Gamma (1-i\beta t)e^{i\mu t}}$

確率論と統計学において、ガンベル分布（ I 型一般化極値分布とも呼ばれる）は、さまざまな分布のサンプル数の最大値（または最小値）の分布をモデル化するために使用されます。

この分布は、過去 10 年間の最大値のリストがある場合、特定の年の河川の最大水位の分布を表すために使用できます。これは、極端な地震、洪水、またはその他の自然災害が発生する可能性を予測するのに役立ちます。最大値の分布を表すためのガンベル分布の潜在的な適用性は、極値理論に関連しており、基礎となるサンプル データの分布が正規型または指数型である場合に有効である可能性が高いことを示しています。^[a]

ガンベル分布は、一般化極値分布（フィッシャー・ティペット分布とも呼ばれる）の特殊なケースです。また、対数ワイブル分布や二重指数分布（ラプラス分布を指すために使用される用語）とも呼ばれます。これはゴンペルツ分布と関連しており、密度を最初に原点を中心に反射し、次に正の半直線に制限すると、ゴンペルツ関数が得られます。

離散選択理論で一般的な多項ロジ​​ットモデルの潜在変数定式化では、潜在変数の誤差は Gumbel 分布に従います。これは、2 つの Gumbel 分布のランダム変数の差がロジスティック分布を持つため便利です。

ガンベル分布は、分布を記述した最初の論文に基づいて、エミール・ジュリアス・ガンベル（1891-1966）にちなんで名付けられました。 ^{[1] [2]}

ガンベル分布の 累積分布関数は

${\displaystyle F(x;\mu,\beta)=e^{-e^{-(x-\mu)/\beta}}\,}$

標準ガンベル分布は、累積分布関数が ${\displaystyle \mu =0}$${\displaystyle \beta =1}$

${\displaystyle F(x)=e^{-e^{(-x)}}\,}$

および確率密度関数

${\displaystyle f(x)=e^{-(x+e^{-x})}.}$

この場合、最頻値は0、中央値は、平均は（オイラー・マスケロニ定数）、標準偏差は${\displaystyle -\ln(\ln(2))\approx 0.3665}$${\displaystyle \gamma \approx 0.5772}$${\displaystyle \pi /{\sqrt {6}}\approx 1.2825.}$

n > 1のキュムラントは 次のように与えられる。

${\displaystyle \kappa _{n}=(n-1)!\zeta (n).}$

最頻値はμ、中央値はμ 、平均はμで与えられる。 ${\displaystyle \mu -\beta \ln \left(\ln 2\right),}$

${\displaystyle \operatorname {E} (X)=\mu +\gamma \beta }$、

ここで、 はオイラー・マスケローニ定数です。 ${\displaystyle \gamma }$

標準偏差は[ ^3]${\displaystyle \sigma }$${\displaystyle \beta \pi /{\sqrt {6}}}$${\displaystyle \beta =\sigma {\sqrt {6}}/\pi \approx 0.78\sigma .}$

モードでは、 の値はの値に関係なく になります。${\displaystyle x=\mu }$${\displaystyle F(x;\mu ,\beta )}$${\displaystyle e^{-1}\approx 0.37}$${\displaystyle \beta .}$

がパラメータを持つ iid Gumbel ランダム変数である場合、もパラメータを持つ Gumbel ランダム変数です。 ${\displaystyle G_{1},...,G_{k}}$${\displaystyle (\mu ,\beta )}$${\displaystyle \max\{G_{1},...,G_{k}\}}$${\displaystyle (\mu +\beta \ln k,\beta )}$

がすべての自然数と同じ分布に従うiid ランダム変数である場合、 は必ずスケールパラメータ を持つ Gumbel 分布に従います(実際には、互いに素である k>1 の 2 つの異なる値だけを考えれば十分です)。 ${\displaystyle G_{1},G_{2},...}$${\displaystyle \max\{G_{1},...,G_{k}\}-\beta \ln k}$${\displaystyle G_{1}}$${\displaystyle k}$${\displaystyle G_{1}}$${\displaystyle \beta }$

• がガンベル分布に従う場合、 Yが正であるか、または同等にXが負である場合、 Y  = − Xの条件付き分布はゴンペルツ分布に従います。 Yの累積分布関数G は、 y > 0の式によって、Xの累積分布関数Fと関連付けられます。 その結果、密度は次のように関連付けられます。ゴンペルツ密度は、正の半直線に制限された反射ガンベル密度に比例します。^[4]${\displaystyle X}$${\displaystyle G(y)=P(Y\leq y)=P(X\geq -y\mid X\leq 0)=(F(0)-F(-y))/F(0)}$${\displaystyle g(y)=f(-y)/F(0)}$
• Xが平均1の指数分布変数である場合、−log( X )は標準ガンベル分布に従います。
• と が独立である場合、(ロジスティック分布を参照)。${\displaystyle X\sim \mathrm {Gumbel} (\alpha _{X},\beta )}$${\displaystyle Y\sim \mathrm {Gumbel} (\alpha _{Y},\beta )}$${\displaystyle X-Y\sim \mathrm {Logistic} (\alpha _{X}-\alpha _{Y},\beta )\,}$
• それにもかかわらず、が独立であれば、 となる。これは、 （ここではオイラー・マスケロニ定数）に注目することで簡単にわかる。代わりに、独立したガンベル確率変数の線形結合の分布は、GNIG分布とGIG分布で近似することができる。^[5]${\displaystyle X,Y\sim \mathrm {Gumbel} (\alpha ,\beta )}$${\displaystyle X+Y\nsim \mathrm {Logistic} (2\alpha ,\beta )}$${\displaystyle E(X+Y)=2\alpha +2\beta \gamma \neq 2\alpha =E\left(\mathrm {Logistic} (2\alpha ,\beta )\right)}$${\displaystyle \gamma }$

一般化多変量対数ガンマ分布に関連する理論は、ガンベル分布の多変量バージョンを提供します。

ガンベルは、指数分布に従うランダム変数のサンプルの最大値（または最終統計量）からサンプルサイズの自然対数を引いた値は、サンプルサイズが増加するにつれてガンベル分布に近づくことを示しました^[7] 。^[8]

具体的には、の確率分布とその累積分布を仮定します。の実現値のうちの最大値が より小さくなるのは、すべての実現値が より小さい場合のみです。したがって、最大値の累積分布は次式を満たします。 ${\displaystyle \rho (x)=e^{-x}}$${\displaystyle x}$${\displaystyle Q(x)=1-e^{-x}}$${\displaystyle N}$${\displaystyle x}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$${\displaystyle {\tilde {x}}}$

${\displaystyle P({\tilde {x}}-\log(N)\leq X)=P({\tilde {x}}\leq X+\log(N))=[Q(X+\log(N))]^{N}=\left(1-{\frac {e^{-X}}{N}}\right)^{N},}$

そして、 が大きい場合、右辺は次のように収束する。${\displaystyle N}$${\displaystyle e^{-e^{(-X)}}.}$

そのため、水文学では、ガンベル分布は、日降水量や河川流量の月間および年間の最大値などの変数を分析するために使用され、^[3]また、干ばつを説明するためにも使用されます。^[9]

ガンベルは、事象の確率の推定量 r ⁄ ( n +1) ( rはデータ系列内の観測値の順位、nは観測値の総数) が、分布の最頻値の周りの累積確率の不偏推定量であることも示しました。そのため、この推定量はプロット位置としてよく使用されます。

数論において、ガンベル分布は整数のランダム分割における項の数^[10]や、最大素数ギャップと素数コンステレーション間の最大ギャップの傾向調整されたサイズを近似します。^[11]

クーポン収集の問題に出てきます。

機械学習では、ガンベル分布はカテゴリ分布からサンプルを生成するために時々使用されます。この手法は「ガンベルマックストリック」と呼ばれ、「再パラメータ化トリック」の特別な例です。^[12]

詳細には、を非負で全てがゼロではないものとし、をGumbel(0, 1)の独立サンプルとすると、通常の積分により、すなわち、${\displaystyle (\pi _{1},\ldots ,\pi _{n})}$${\displaystyle g_{1},\ldots ,g_{n}}$$${\displaystyle Pr(j=\arg \max _{i}(g_{i}+\log \pi _{i}))={\frac {\pi _{j}}{\sum _{i}\pi _{i}}}}$$${\displaystyle \arg \max _{i}(g_{i}+\log \pi _{i})\sim {\text{Categorical}}\left({\frac {\pi _{j}}{\sum _{i}\pi _{i}}}\right)_{j}}$

同様に、任意の が与えられた場合、そのボルツマン分布から次のように サンプルすることができる。${\displaystyle x_{1},...,x_{n}\in \mathbb {R} }$

$${\displaystyle Pr(j=\arg \max _{i}(g_{i}+x_{i}))={\frac {e^{x_{j}}}{\sum _{i}e^{x_{i}}}}}$$関連する方程式には以下が含まれる: ^[13]

• もしならば。${\displaystyle x\sim \operatorname {Exp} (\lambda )}$${\displaystyle (-\ln x-\gamma )\sim {\text{Gumbel}}(-\gamma +\ln \lambda ,1)}$
• ${\displaystyle \arg \max _{i}(g_{i}+\log \pi _{i})\sim {\text{Categorical}}\left({\frac {\pi _{j}}{\sum _{i}\pi _{i}}}\right)_{j}}$。
• ${\displaystyle \max _{i}(g_{i}+\log \pi _{i})\sim {\text{Gumbel}}\left(\log \left(\sum _{i}\pi _{i}\right),1\right)}$つまり、ガンベル分布は最大安定分布族です。
• ${\displaystyle \mathbb {E} [\max _{i}(g_{i}+\beta x_{i})]=\log \left(\sum _{i}e^{\beta x_{i}}\right)+\gamma .}$

ガンベル分布の 分位関数（逆累積分布関数）は次のように与えられる。${\displaystyle Q(p)}$

${\displaystyle Q(p)=\mu -\beta \ln(-\ln(p)),}$

変量はパラメータを持つガンベル分布を持ち、ランダム変量は区間上の一様分布から抽出されます。 ${\displaystyle Q(U)}$${\displaystyle \mu }$${\displaystyle \beta }$${\displaystyle U}$${\displaystyle (0,1)}$

ソフトウェアが登場する以前は、ガンベル分布を表すために確率論が使われていました (図を参照)。この確率論は累積分布関数の線形化に基づいています 。 ${\displaystyle F}$

${\displaystyle -\ln[-\ln(F)]={\frac {x-\mu }{\beta }}}$

この論文では、横軸は二重対数スケールで作成されています。縦軸は直線です。論文の横軸に を、縦軸に -変数をプロットすると、分布は傾き 1 の直線で表されます。CumFreq などの分布フィッティング ソフトウェアが利用可能になると、分布をプロットする作業が容易になりました。 ${\displaystyle F}$${\displaystyle x}$${\displaystyle /\beta }$

• タイプ2ガンベル分布
• 極値理論
• 一般化極値分布
• フィッシャー・ティペット・グネデンコ定理
• エミール・ジュリアス・ガンベル

ウィキメディア・コモンズには
、 ガンベル分布に関連するメディアがあります。