指数対数分布

指数対数分布 (EL)

確率密度関数
パラメータ	${\displaystyle p\in (0,1)}$ ${\displaystyle \beta >0}$
サポート	${\displaystyle x\in [0,\infty )}$
PDF	${\displaystyle {\frac {1}{-\ln p}}\times {\frac {\beta (1-p)e^{-\beta x}}{1-(1-p)e^{-\beta x}}}}$
ドイツ連邦共和国	${\displaystyle 1-{\frac {\ln(1-(1-p)e^{-\beta x})}{\ln p}}}$
平均	${\displaystyle -{\frac {{\text{polylog}}(2,1-p)}{\beta \ln p}}}$
中央値	${\displaystyle {\frac {\ln(1+{\sqrt {p}})}{\beta }}}$
モード	0
分散	${\displaystyle -{\frac {2{\text{polylog}}(3,1-p)}{\beta ^{2}\ln p}}}$ ${\displaystyle -{\frac {{\text{polylog}}^{2}(2,1-p)}{\beta ^{2}\ln ^{2}p}}}$
MGF の	${\displaystyle -{\frac {\beta (1-p)}{\ln p(\beta -t)}}{\text{hypergeom}}_{2,1}}$ ${\displaystyle ([1,{\frac {\beta -t}{\beta }}],[{\frac {2\beta -t}{\beta }}],1-p)}$

確率論と統計学において、指数対数分布（EL分布）は、故障率が減少する寿命分布の族であり、[0, ∞) の区間で定義されます。この分布は、2 つのパラメータとによってパラメータ化されます。 ${\displaystyle p\in (0,1)}$${\displaystyle \beta >0}$

生物、デバイス、材料などの寿命の長さの研究は、生物学および工学の分野で非常に重要です。一般的に、デバイスの寿命は、時間の経過に伴う動作が「加工硬化」（工学用語）または「耐性」（生物学用語）によって特徴付けられる場合、故障率（DFR）の低下を示すことが予想されます。

指数対数モデルとそのさまざまな特性は、TahmasbiとRezaei（2008）によって研究されています。^[1] このモデルは、人口の異質性の概念に基づいて（複利のプロセスを通じて）得られます。

EL分布の確率密度関数（ pdf）は、TahmasbiとRezaei（2008） ^{[1]によって与えられている。}

${\displaystyle f(x;p,\beta ):=\left({\frac {1}{-\ln p}}\right){\frac {\beta (1-p)e^{-\beta x}}{1-(1-p)e^{-\beta x}}}}$

ここで、およびである。この関数は で厳密に減少し、 のときにゼロに近づく。EL分布の密度の モード値は x=0 で次のように与えられる。${\displaystyle p\in (0,1)}$${\displaystyle \beta >0}$${\displaystyle x}$${\displaystyle x\rightarrow \infty }$

${\displaystyle {\frac {\beta (1-p)}{-p\ln p}}}$

EL は、 のように、速度パラメータ を持つ指数分布に簡約されます。 ${\displaystyle \beta }$${\displaystyle p\rightarrow 1}$

累積分布関数は次のように与えられる。

${\displaystyle F(x;p,\beta )=1-{\frac {\ln(1-(1-p)e^{-\beta x})}{\ln p}},}$

したがって、中央値は次のように与えられる。

${\displaystyle x_{\text{median}}={\frac {\ln(1+{\sqrt {p}})}{\beta }}}$。

のモーメント生成関数は、直接積分によってpdfから決定することができ、次のように表される。 ${\displaystyle X}$

${\displaystyle M_{X}(t)=E(e^{tX})=-{\frac {\beta (1-p)}{\ln p(\beta -t)}}F_{2,1}\left(\left[1,{\frac {\beta -t}{\beta }}\right],\left[{\frac {2\beta -t}{\beta }}\right],1-p\right),}$

ここで は超幾何関数です。この関数は、 Barnes の拡張超幾何関数としても知られています。 の定義は 、 ${\displaystyle F_{2,1}}$${\displaystyle F_{N,D}({n,d},z)}$

${\displaystyle F_{N,D}(n,d,z):=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {z^{k}\prod _{i=1}^{p}\Gamma (n_{i}+k)\Gamma ^{-1}(n_{i})}{\Gamma (k+1)\prod _{i=1}^{q}\Gamma (d_{i}+k)\Gamma ^{-1}(d_{i})}}}$

ここで、および。 ${\displaystyle n=[n_{1},n_{2},\dots ,n_{N}]}$${\displaystyle {d}=[d_{1},d_{2},\dots ,d_{D}]}$

のモーメントはから導出できる。 の場合 、生のモーメントは次のように与えられる。 ${\displaystyle X}$${\displaystyle M_{X}(t)}$${\displaystyle r\in \mathbb {N} }$

${\displaystyle E(X^{r};p,\beta )=-r!{\frac {\operatorname {Li} _{r+1}(1-p)}{\beta ^{r}\ln p}},}$

ここで、は次のように定義される多重対数関数である: ^[2]${\displaystyle \operatorname {Li} _{a}(z)}$

${\displaystyle \operatorname {Li} _{a}(z)=\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {z^{k}}{k^{a}}}.}$

したがって、EL分布の 平均と分散はそれぞれ次のように表される。

${\displaystyle E(X)=-{\frac {\operatorname {Li} _{2}(1-p)}{\beta \ln p}},}$

${\displaystyle \operatorname {Var} (X)=-{\frac {2\operatorname {Li} _{3}(1-p)}{\beta ^{2}\ln p}}-\left({\frac {\operatorname {Li} _{2}(1-p)}{\beta \ln p}}\right)^{2}.}$

EL分布の 生存関数（信頼性関数とも呼ばれる）とハザード関数（故障率関数とも呼ばれる）は、それぞれ次のように表される。

${\displaystyle s(x)={\frac {\ln(1-(1-p)e^{-\beta x})}{\ln p}},}$

${\displaystyle h(x)={\frac {-\beta (1-p)e^{-\beta x}}{(1-(1-p)e^{-\beta x})\ln(1-(1-p)e^{-\beta x})}}.}$

EL分布の平均残存寿命は次のように表される。

${\displaystyle m(x_{0};p,\beta )=E(X-x_{0}|X\geq x_{0};\beta ,p)=-{\frac {\operatorname {Li} _{2}(1-(1-p)e^{-\beta x_{0}})}{\beta \ln(1-(1-p)e^{-\beta x_{0}})}}}$

二重対数関数は どこにありますか${\displaystyle \operatorname {Li} _{2}}$

U を標準一様分布からのランダム変量とします。U の次の変換は、パラメータ pとβを持つEL分布を 持ちます。

${\displaystyle X={\frac {1}{\beta }}\ln \left({\frac {1-p}{1-p^{U}}}\right).}$

パラメータを推定するためにEMアルゴリズムが用いられる。この方法はTahmasbiとRezaei (2008)で議論されている。^[1] EM反復は次のように与えられる。

${\displaystyle \beta ^{(h+1)}=n\left(\sum _{i=1}^{n}{\frac {x_{i}}{1-(1-p^{(h)})e^{-\beta ^{(h)}x_{i}}}}\right)^{-1},}$

${\displaystyle p^{(h+1)}={\frac {-n(1-p^{(h+1)})}{\ln(p^{(h+1)})\sum _{i=1}^{n}\{1-(1-p^{(h)})e^{-\beta ^{(h)}x_{i}}\}^{-1}}}.}$

EL分布はワイブル対数分布を形成するように一般化されている。^[3]

Xが、速度パラメータβを持つ指数分布からのN 個の独立した実現の最小値となるランダム変数として定義され、N が対数分布からの実現である場合（通常のパラメータ化のパラメータp が(1 −  p )に置き換えられる）、X は上記で使用したパラメータ化における指数対数分布に従います。