中上分布

中上

確率密度関数
累積分布関数
パラメータ	${\displaystyle m{\text{ or }}\mu \geq 0.5}$ 形状（実数）スケール（実数） ${\displaystyle \Omega {\text{ or }}\omega >0}$
サポート	${\displaystyle x>0\!}$
PDF	${\displaystyle {\frac {2m^{m}}{\Gamma (m)\Omega ^{m}}}x^{2m-1}\exp \left(-{\frac {m}{\Omega }}x^{2}\right)}$
ドイツ連邦共和国	${\displaystyle {\frac {\gamma \left(m,{\frac {m}{\Omega }}x^{2}\right)}{\Gamma (m)}}}$
平均	${\displaystyle {\frac {\Gamma (m+{\frac {1}{2}})}{\Gamma (m)}}\left({\frac {\Omega }{m}}\right)^{1/2}}$
中央値	単純な閉じた形式ではない
モード	${\displaystyle \left({\frac {(2m-1)\Omega }{2m}}\right)^{1/2}}$
分散	${\displaystyle \Omega \left(1-{\frac {1}{m}}\left({\frac {\Gamma (m+{\frac {1}{2}})}{\Gamma (m)}}\right)^{2}\right)}$

仲上分布または仲上m分布は、ガンマ分布に関連する確率分布です。仲上分布のファミリーには、形状パラメータとスケールパラメータの2 つのパラメータがあります。これは、医療用超音波画像診断、通信工学、気象学、水文学、マルチメディア、地震学などで見られる物理現象をモデル化するために使用されます。 ${\displaystyle m\geq 1/2}$ ${\displaystyle \Omega >0}$

その確率密度関数（pdf）は^[1]

${\displaystyle f(x;\,m,\Omega )={\frac {2m^{m}}{\Gamma (m)\Omega ^{m}}}x^{2m-1}\exp \left(-{\frac {m}{\Omega }}x^{2}\right){\text{ for }}x\geq 0.}$

ここで、および。 ${\displaystyle m\geq 1/2}$${\displaystyle \Omega >0}$

その累積分布関数（CDF）は^[1]

${\displaystyle F(x;\,m,\Omega )={\frac {\gamma \left(m,{\frac {m}{\Omega }}x^{2}\right)}{\Gamma (m)}}=P\left(m,{\frac {m}{\Omega }}x^{2}\right)}$

ここでPは正規化された（下側の）不完全ガンマ関数です。

パラメータとは次の通りである^[2]${\displaystyle m}$${\displaystyle \Omega }$

${\displaystyle m={\frac {\left(\operatorname {E} [X^{2}]\right)^{2}}{\operatorname {Var} [X^{2}]}},}$

そして

${\displaystyle \Omega =\operatorname {E} [X^{2}].}$

この分布の中央値には閉じた形式の解は存在しませんが、 m = 1などの特殊なケースは存在します 。実用上、中央値は観測値の 50 パーセンタイルとして計算する必要があります。 ${\displaystyle {\sqrt {\Omega \ln(2)}}}$

分布を近似する別の方法は、σ = Ω/ mとして再パラメータ化することです。^[3]${\displaystyle \Omega }$

仲上分布からの独立した観測値を考えると、尤度関数は ${\textstyle X_{1}=x_{1},\ldots ,X_{n}=x_{n}}$

${\displaystyle L(\sigma ,m)=\left({\frac {2}{\Gamma (m)\sigma ^{m}}}\right)^{n}\left(\prod _{i=1}^{n}x_{i}\right)^{2m-1}\exp \left(-{\frac {\sum _{i=1}^{n}x_{i}^{2}}{\sigma }}\right).}$

その対数は

${\displaystyle \ell (\sigma ,m)=\log L(\sigma ,m)=-n\log \Gamma (m)-nm\log \sigma +(2m-1)\sum _{i=1}^{n}\log x_{i}-{\frac {\sum _{i=1}^{n}x_{i}^{2}}{\sigma }}.}$

したがって

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\partial \ell }{\partial \sigma }}={\frac {-nm\sigma +\sum _{i=1}^{n}x_{i}^{2}}{\sigma ^{2}}}\quad {\text{and}}\quad {\frac {\partial \ell }{\partial m}}=-n{\frac {\Gamma '(m)}{\Gamma (m)}}-n\log \sigma +2\sum _{i=1}^{n}\log x_{i}.\end{aligned}}}$

これらの派生語が消えるのは、

${\displaystyle \sigma ={\frac {\sum _{i=1}^{n}x_{i}^{2}}{nm}}}$

そして、 mに関する導関数がゼロになるmの値は、ニュートン・ラプソン法などの数値計算によって求められます。

臨界点では全体的な最大値が達成されることがわかるので、臨界点は ( m , σ ) の最大尤度推定値となります。最大尤度推定値の等価性により、Ω の最大尤度推定値も得られます。

仲上分布はガンマ分布と関連しています。特に、ランダム変数 が与えられた場合、 、を設定し、 の平方根を取ることで、ランダム変数 を得ることができます。 ${\displaystyle Y\,\sim {\textrm {Gamma}}(k,\theta )}$${\displaystyle X\,\sim {\textrm {Nakagami}}(m,\Omega )}$${\displaystyle k=m}$${\displaystyle \theta =\Omega /m}$${\displaystyle Y}$

${\displaystyle X={\sqrt {Y}}.\,}$

あるいは、パラメータを に設定してカイ分布から仲上分布を生成し、その後にランダム変数のスケーリング変換を行うこともできます。つまり、仲上ランダム変数は、以下のようにカイ分布ランダム変数の単純なスケーリング変換によって生成されます。 ${\displaystyle f(y;\,m,\Omega )}$${\displaystyle k}$${\displaystyle 2m}$${\displaystyle X}$${\displaystyle Y\sim \chi (2m)}$

${\displaystyle X={\sqrt {(\Omega /2m)Y}}.}$

カイ分布の場合、自由度は整数でなければなりませんが、仲上分布の場合、自由度は1/2 より大きい任意の実数にすることができます。これが重要な違いであり、したがって、仲上 m 分布はカイ分布の一般化と見なされ、ガンマ分布がカイ 2 乗分布の一般化と見なされるのと同様です。 ${\displaystyle 2m}$${\displaystyle m}$

仲上分布は比較的新しいもので、1960年に仲上実によって長距離高周波電波伝搬における小規模フェージングの数学的モデルとして初めて提案されました。^[4]これは、複数の経路を通過する無線信号の減衰をモデル化するために使用され^{[5] 、フェージングチャネルが無線通信に}与える影響を研究するために使用されてきました。^[6]

• mを単位区間（q = m ; 0 < q < 1）に制限すると^{[疑わしい–議論する}]仲上q^分布が定義され、これはホイト分布は、1940年代にRSホイトによって初めて研究されました。^[7][8][9]特に、極座標で書き直された2変量正規の真の平均の周りの半径は、ホイト分布に従います。同様に、複素正規の係数も同様です。
• 2 m = kの場合、仲上分布はスケールされたカイ2乗分布を与えます。
• の場合、仲上分布はスケールされた半正規分布を与えます。${\displaystyle m={\tfrac {1}{2}}}$
• 仲上分布は、 p = 2 およびd = 2 mである一般化ガンマ分布の特別な形式です。

• ガンマ分布
• 修正半正規分布
• 準ガウス分布