バー分布

バータイプXII

確率密度関数
累積分布関数
パラメータ	${\displaystyle c>0\!}$ ${\displaystyle k>0\!}$
サポート	${\displaystyle x>0\!}$
PDF	${\displaystyle ck{\frac {x^{c-1}}{(1+x^{c})^{k+1}}}\!}$
ドイツ連邦共和国	${\displaystyle 1-\left(1+x^{c}\right)^{-k}}$
クォンタイル	${\displaystyle \lambda \left({\frac {1}{(1-U)^{\frac {1}{k}}}}-1\right)^{\frac {1}{c}}}$
平均	${\displaystyle \mu _{1}=k\operatorname {\mathrm {B} } (k-1/c,\,1+1/c)}$ここでΒ()はベータ関数である
中央値	${\displaystyle \left(2^{\frac {1}{k}}-1\right)^{\frac {1}{c}}}$
モード	${\displaystyle \left({\frac {c-1}{kc+1}}\right)^{\frac {1}{c}}}$
分散	${\displaystyle -\mu _{1}^{2}+\mu _{2}}$
歪度	${\displaystyle {\frac {2\mu _{1}^{3}-3\mu _{1}\mu _{2}+\mu _{3}}{\left(-\mu _{1 }^{2}+\mu _{2}\right)^{3/2}}}}$
過剰尖度	${\displaystyle {\frac {-3\mu _{1}^{4}+6\mu _{1}^{2}\mu _{2}-4\mu _{1}\mu _{3 }+\mu _{4}}{\left(-\mu _{1}^{2}+\mu _{2}\right)^{2}}}-3}$瞬間（参照）${\displaystyle \mu _{r}=k\operatorname {\mathrm {B} } \left({\frac {ck-r}{c}},\,{\frac {c+r}{c}}\right)}$
CF	${\displaystyle ={\frac {c(-it)^{kc}}{\Gamma (k)}}H_{1,2}^{2,1}\!\left[(-it)^{c}\left|{\begin{matrix}(-k,1)\\(0,1),(-kc,c)\end{matrix}}\right.\right],t\neq 0}$ ${\displaystyle =1,t=0}$ ここではガンマ関数、 はフォックスH関数である。[1]${\displaystyle \ガンマ}$${\displaystyle H}$

確率論、統計学、計量経済学において、バータイプXII分布、または単にバー分布^[2]は、非負のランダム変数の連続確率分布です。これはSingh-Maddala分布^[3]としても知られており、「一般化対数ロジスティック分布」と呼ばれることもあるさまざまな分布の1つです。

バール（タイプXII）分布の確率密度関数は次の通りである：^{[4] [5]}

${\displaystyle {\begin{aligned}f(x;c,k)&=ck{\frac {x^{c-1}}{(1+x^{c})^{k+1}}}\\[6pt]f(x;c,k,\lambda )&={\frac {ck}{\lambda }}\left({\frac {x}{\lambda }}\right)^{c-1}\left[1+\left({\frac {x}{\lambda }}\right)^{c}\right]^{-k-1}\end{aligned}}}$

パラメータは基になる変量をスケーリングし、正の実数です。 ${\displaystyle \lambda}$

累積分布関数は次のとおりです。

${\displaystyle F(x;c,k)=1-\left(1+x^{c}\right)^{-k}}$

${\displaystyle F(x;c,k,\lambda )=1-\left[1+\left({\frac {x}{\lambda }}\right)^{c}\right]^{-k}}$

これは、世帯収入をモデル化するために最もよく使用されます。たとえば、「米国の世帯収入」を参照し、右側のマゼンタのグラフと比較してください。

区間内の一様分布から抽出されたランダム変数が与えられた場合、ランダム変数 ${\displaystyle U}$${\displaystyle \left(0,1\right)}$

${\displaystyle X=\lambda \left({\frac {1}{\sqrt[{k}]{1-U}}}-1\right)^{1/c}}$

は、パラメータ、およびを持つ Burr Type XII 分布に従います。これは、上記の逆累積分布関数に従います。 ${\displaystyle c}$${\displaystyle k}$${\displaystyle \lambda}$

• c = 1の場合、Burr 分布はLomax 分布になります。

• k = 1のとき、バー分布は対数ロジスティック分布であり、フィスク分布とも呼ばれ、シャンパーノウン分布の特殊なケースである。^{[6] [7]}

• Burr Type XII分布は、Irving W. Burr（1942）によって導入された連続分布のシステムのメンバーであり、12の分布で構成されています。^[8]

• ダガム分布は逆バー分布とも呼ばれ、1 / Xの分布であり、Xはバー分布に従う。

• ロドリゲス、RN (1977)。「バータイプXII分布ガイド」。バイオメトリカ。64 (1): 129–134。doi : 10.1093/biomet/64.1.129。

• John (2023-02-16). 「その他の Burr 分布」www.johndcook.com。