対合を持つ半群

数学、特に抽象代数学において、対合を持つ半群、または*-半群とは、対合的な反自己同型写像​​を備えた半群のことである。大まかに言えば、この対合は単項演算子として考えると、群における逆演算の基本的な性質を示すため、半群を群に近づける。

• 独自性
• 二重適用は「相殺される」。
• 群の逆元の場合と同様に、二項演算との相互作用法則は同じである。

したがって、どの群も対合を持つ半群であることは驚くべきことではない。しかしながら、対合を持つ半群でありながら群ではない、重要な自然例が存在する。

線形代数の例としては、n×nの実数値正方行列の集合があり、その行列の転置が対合となります。行列をその転置行列に写像する写像は対合です。なぜなら、転置行列は任意の行列に対して適切に定義され、( AB ) ^T = B ^T A ^Tという法則に従うからです。この法則は、一般線形群（完全線形モノイドの部分群）における逆行列を取るのと同じ形式で乗算と相互作用します。ただし、任意の行列の場合、 AA ^{T は}単位元（つまり対角行列）とは等しくありません。形式言語理論からの別の例としては、空でない集合（アルファベット）によって生成される自由半群があり、文字列の連結が二項演算であり、対合は文字列内の文字の線形順序を反転する写像です。基本的な集合論からの3つ目の例は、集合とそれ自身との間のすべての二項関係の集合であり、対合は逆関係であり、乗算は通常の関係の合成によって与えられます。

対合を持つ半群は、半群の理論と半ヒープの理論を橋渡ししようとしたヴィクトル・ワグナーの1953年の論文（ロシア語）で明示的に命名された。^{[ 1 ]}

S を、その二項演算が乗法的に表される半群とする。S における対合とは、 S上の単項演算* (または変換 * : S → S、 x ↦ x *)であり、以下の条件を満たす。 

1. Sのすべてのxに対して、( x *)* = x。
2. Sのすべてのx、yに対して、( xy )* = y * x *が成り立ちます。

対合*を持つ半群Sは、対合を持つ半群と呼ばれる。

これらの公理のうち最初のものだけを満たす半群は、より大きなクラスであるU半群に属する。

いくつかの応用例では、これらの公理のうち2番目が反分配的と呼ばれています。^{[ 2 ]}この公理の自然哲学に関して、HSM コクセターは、「[x]と[y]をそれぞれ靴下と靴を履く操作と考えると明らかになる」と述べています。^{[ 3 ]}

1. Sが可換半群である場合、 Sの恒等写像は対合である。
2. Sが群である場合、x * = x ⁻¹ で定義される反転写像 *  : S → Sは対合である。さらに、アーベル群では、この写像と前の例の写像の両方が対合を持つ半群の公理を満たす対合である。^{[ 4 ]}
3. Sが逆半群である場合、反転写像は冪等元を不変に保つ対合である。前の例で述べたように、反転写像は必ずしも逆半群においてこの性質を持つ唯一の写像ではない。すべての冪等元を不変に保つ他の対合が存在する可能性がある。例えば、可換正則半群、すなわち逆半群、特にアーベル群上の恒等写像などである。正則半群が逆半群であるのは、各冪等元が不変となる対合を許容する場合に限る。^{[ 5 ]}
4. すべてのC*-代数には *-半群が根底にある。重要な例として、 C上のn × n行列の代数M _n ( C ) があり、その共役転置が対合となる。
5. Xが集合である場合、 X上のすべての二項関係の集合は、逆関係によって与えられる * と、通常の関係の合成によって与えられる乗法を持つ *-半群です。これは、正則半群ではない *-半群の一例です。
6. Xが集合である場合、Xの要素からなるすべての有限列（または文字列）の集合は、列の連結演算に関して自由モノイドを形成し、列の反転は対合として扱われます。
7. 集合Aとそれ自身との直積、すなわちA × Aの要素からなる長方形バンド。半群積は ( a , b )( c , d ) = ( a , d ) と定義され、対合はペア ( a , b )* = ( b , a ) の要素の順序反転である。この半群は、すべてのバンドと同様に正則半群でもある。^{[ 6 ]}

対合を持つ半群の要素xは、対合によって不変に保たれる場合、つまりx * = xである場合、 (エルミート行列との類推により)エルミートであると呼ばれることがあります。 xx * またはx * xの形の要素は常にエルミートであり、エルミート要素のすべてのべき乗も同様です。 例のセクションで述べたように、半群Sが逆半群であるのは、 S が正則半群であり、すべての冪等元がエルミートとなるような対合を持つ場合のみです。 ^{[ 7 ]}

半群におけるいくつかの基本的な概念は、半群の正則要素から生じる概念と類似した方法で定義できます。部分等長変換とは、 ss * s = s となる要素sのことです。半群Sの部分等長変換の集合は、通常 PI( S ) と略記されます。^{[ 8 ]}射影とは、冪等元eであり、かつエルミート元でもあるものです。つまり、ee = eおよびe * = eです。すべての射影は部分等長変換であり、すべての部分等長変換sに対して、s * sおよびss * は射影です。eとfが射影である場合、e = ef となるのはe = feの場合のみです。^{[ 9 ]}

部分等長写像は、 s = ss * tかつss * = ss * tt *が成り立つ場合にs ≤ tが成り立つと定義されることにより、部分的に順序付けすることができる。 ^{[ 9 ]}同様に、s ≤ tは、 s = etかつe = ett * が何らかの射影eに対して成り立つ場合に限り 成り立つ。^{[ 9 ]} *-半群では、PI( S )は、 s * s = tt * の場合に部分積s ⋅ t = stで与えられる順序付き群状体である。^{[ 10 ]}

*-半群の正則性には、関連しているが同一ではない2つの概念がある。これらは、Nordahl & Scheiblich (1978) と Drazin (1979) によってほぼ同時に導入された。^{[ 14 ]}

すべての多様体と同様に、対合を持つ半群の圏は自由対象を許容する。対合を持つ自由半群（またはモノイド）の構成は、自由半群（および自由モノイド）の構成に基づいている。さらに、自由群の構成は、対合を持つ自由モノイドの構成を改良することによって容易に導出できる。^{[ 17 ]}

対合を持つ自由半群の生成元は、全単射対応関係にある（同数の）互いに素な2つの集合の和集合の要素である。${\displaystyle Y=X\sqcup X^{\dagger }}$（ここでは表記法）${\displaystyle \sqcup }$（和集合が実際には互いに素な和集合であることを強調している。）2つの集合が有限集合の場合、それらの和集合Yは、対合を持つアルファベット^{[ 18 ]}または対称アルファベット^{[ 19 ]}と呼ばれることがある。$\displaystyle \theta :X\rightarrow X^{\dagger }}$全単射である。${\displaystyle \theta }$自然に全単射に拡張される${\displaystyle {}\ダガー :Y\to Y}$本質的には、${\displaystyle \theta }$（集合として）その逆集合を持つ、または区分的表記では：^{[ 20 ]}

$${\displaystyle y^{\dagger }={\begin{cases}\theta (y)&{\text{if }}y\in X\\\theta ^{-1}(y)&{\text{if }}y\in X^{\dagger }\end{cases}}}$$

さあ、構築しよう${\displaystyle Y^{+}\,}$自由半群として${\displaystyle Y\,}$通常の方法で二項（半群）演算を用いて${\displaystyle Y^{+}\,}$連結であること:

$${\displaystyle w=w_{1}w_{2}\cdots w_{k}\in Y^{+}}$$一部の文字については${\displaystyle w_{i}\in Y.}$

全単射${\displaystyle \dagger }$の上${\displaystyle Y}$はその後、全単射として拡張される。${\displaystyle {}^{\ダガー }:Y^{+}\rightarrow Y^{+}}$要素の文字列反転として定義される${\displaystyle Y^{+}\,}$複数の文字から構成されるもの: ^{[ 18 ] [ 20 ]}

$${\displaystyle w^{\dagger }=w_{k}^{\dagger }w_{k-1}^{\dagger }\cdots w_{2}^{\dagger }w_{1}^{\dagger }.}$$

この写像は半群上の対合である${\displaystyle Y^{+}\,}$したがって、半群${\displaystyle (X\sqcup X^{\dagger })^{+}}$地図付き${\displaystyle {}^{\dagger }\,}$は、 X上の対合を持つ自由半群と呼ばれる対合を持つ半群である。^{[ 21 ]}（具体的な同一性の無関係性${\displaystyle X^{\dagger }}$そして全単射${\displaystyle \theta }$この用語の選択については、構成の普遍性の観点から以下で説明します。）例6とは異なり、各文字の対合は対合を持つアルファベットの個別の要素であり、したがって同じ観察は対合を持つ自由半群にも適用されます。

上記の構成で、${\displaystyle Y^{+}\,}$自由モノイドを使用する$\displaystyle Y^{*}=Y^{+}\cup \{\varepsilon \}}$これは、空語で拡張された自由半群にすぎない。${\displaystyle \varepsilon \,}$（これはモノイドの単位元である）${\displaystyle Y^{*}\,}$）を適切に拡張し、${\displaystyle \varepsilon ^{\dagger }=\varepsilon }$すると、対合を持つ自由モノイドが得られる。^{[ 20 ]}

上記の構成は、与えられた地図を拡張する唯一の方法です。${\displaystyle \theta \,}$から${\displaystyle X\,}$に${\displaystyle X^{\dagger }\,}$の内転へ${\displaystyle Y^{+}}$（そして同様に${\displaystyle Y^{*}\,}$これらの構成に対する「自由」という修飾語は、それらが普遍的な構成であるという通常の意味で正当化されます。対合を持つ自由半群の場合、対合を持つ任意の半群が与えられたとき、${\displaystyle S\,}$そして地図${\displaystyle \Phi :X\rightarrow S}$すると半群準同型${\displaystyle {\overline {\Phi }}:(X\sqcup X^{\dagger })^{+}\rightarrow S}$が存在して、${\displaystyle \Phi =\iota \circ {\overline {\Phi }}}$、 どこ${\displaystyle \iota :X\rightarrow (X\sqcup X^{\dagger })^{+}}$は包含マップであり、関数の合成は図の順序で取られる。^{[ 21 ]}${\displaystyle (X\sqcup X^{\dagger })^{+}}$対合を持つ半群は同型を除いて一意である。モノイド準同型と構成の同型を除いての一意性に関して、対合を持つ自由モノイドについても同様の議論が成り立つ。${\displaystyle (X\sqcup X^{\dagger })^{*}}$対合を持つモノイドとして。

自由群の構成は、対合を持つ自由モノイドの構成とそれほどかけ離れていない。必要な追加要素は、縮約語の概念と、隣接する文字のペアを削除するだけでそのような語を生成する書き換え規則を定義することである。$\displaystyle xx^{\dagger }}$または${\displaystyle x^{\dagger }x}$このようなペアの書き換え（削除）の順序は関係なく、つまり削除の順序に関係なく同じ結果が得られることが示せる。^{[ 17 ]}（言い換えれば、これらの規則は合流書き換えシステムを定義する。）同様に、自由群は、対合を持つ自由モノイドから、後者を合同式で割った商を取ることによって構成される。${\displaystyle \{(yy^{\dagger },\varepsilon ):y\in Y\}}$これは、ディック合同式と呼ばれることもあります。ある意味では、ディック言語を複数の種類の「括弧」に一般化しています。ただし、ディック合同式における単純化は順序に関係なく行われます。たとえば、「)」が「(」の逆である場合、${\displaystyle ()=)(=\varepsilon }$; ディック語そのものに現れる片側一致${\displaystyle \{(xx^{\dagger },\varepsilon ):x\in X\}}$これは、${\displaystyle ()=\varepsilon }$（やや紛らわしいかもしれないが）シャミール合同式と呼ばれる。シャミール合同式による対合を持つ自由モノイドの商は群ではなくモノイドである。しかしながら、最初の発見者であるエリ・シャミールはこれを自由半群と呼んだが、最近ではXによって生成される対合モノイドと呼ばれている。^{[ 19 ] [ 22 ]}（ただし、この後者の用語の選択は、対合を持つ任意の半群を表すために「対合的」という用語を使用する慣習と矛盾する。この慣習は文献でも見られる。^{[ 23 ] [ 24 ]}）

ベア*-半群とは、（両側）ゼロを持つ*-半群であり、すべての要素の右零化イデアルが何らかの射影の右イデアルと一致する。この性質は形式的には次のように表現される：すべてのx ∈ Sに対して、射影eが存在し、

{ y ∈ S | xy = 0 } = eS。^{[ 24 ]}

射影eは実際にはxによって一意に決定される。^{[ 24 ]}

最近では、ベア*-半群は、それを深く研究したデイビッド・ジェームズ・フーリスにちなんでフーリス半群とも呼ばれています。 ^{[ 25 ] [ 26 ]}

• ダガー圏（別名：対合を持つ圏）— *-モノイドを一般化したもの
• *-代数
• 半群の特殊なクラス

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• この記事は、 PlanetMathの Free semigroup with involution の資料を組み込んでおり、Creative Commons Attribution-Share-Alike Licenseの下でライセンスされています。