機械と電気の類似性

機械-電気アナロジーは、機械システムを電気ネットワークとして表現したものです。当初、このようなアナロジーは、電気現象を一般的な機械用語で 説明するために逆に使用されていました。ジェームズ・クラーク・マクスウェルは、19世紀にこの種のアナロジーを導入しました。しかし、電気ネットワーク分析が成熟するにつれて、特定の機械的問題は電気アナロジーによってより簡単に解決できることが分かりました。電気分野における理論的発展^{[注 1]で特に有用だったのは、}集中定数モデルを使用して電気ネットワークを抽象的な位相図（回路図）として表現することと、ネットワーク分析によって所定の周波数関数を満たすネットワークを合成する機能でした。

このアプローチは、機械フィルタの設計に特に役立ちます。機械フィルタは、機械装置を使用して電気機能を実装します。ただし、この手法は純粋に機械的な問題を解決するために使用することも、関連のない他のエネルギー領域に拡張することもできます。今日では、類推による分析は、複数のエネルギー領域が関係する場合の標準的な設計ツールです。システム全体を統一された一貫した方法で表現できるという大きな利点があります。電気的類推は、その性質上エネルギー領域をまたぐトランスデューサ設計者や、通常、領域をまたぐトランスデューサであるセンサーとアクチュエーターを備えた制御システムで特に使用されます。電気的類推によって表現される特定のシステムには、電気部品がまったく存在しない可能性もあります。このため、制御システムのネットワーク図を作成するときは、領域に中立な用語が好まれます。

機械と電気の類推は、ある領域の変数が他の領域の変数と同一の数学的形式を持つ場合の関係を見つけることによって展開されます。これを行う唯一の方法はありません。理論的には多数の類推が可能ですが、広く使用されている 2 つの類推があります。インピーダンス類推とモビリティ類推です。インピーダンス類推では力と電圧が類似し、モビリティ類推では力と電流が類似します。それだけでは類推を完全に定義するには不十分なので、2 番目の変数を選択する必要があります。一般的な選択は、電力共役変数のペアを類似させることです。これらは、一緒に乗算されると電力の単位を持つ変数です。たとえば、インピーダンス類推では、力と速度がそれぞれ電圧と電流に類似することになります。

これらの類推のバリエーションは、電気モーターなどの回転機械システムに使用されます。インピーダンスの類推では、力の代わりにトルクが電圧に類推されます。たとえば、回転部品と往復部品を含むシステムで両方のバージョンの類推が必要になる可能性は十分にあります。その場合、機械領域内では力-トルクの類推が、電気領域では力-トルク-電圧の類推が必要になります。音響システムには別のバリエーションが必要です。ここでは、圧力と電圧が類推されます (インピーダンスの類推)。インピーダンスの類推では、電力共役変数の比は常に電気インピーダンスに類似した量です。たとえば、力/速度は機械インピーダンスです。モビリティの類推では、ドメイン間のインピーダンス間のこの類推は保持されませんが、インピーダンスの類推に比べて別の利点があります。モビリティの類推では、ネットワークのトポロジが保持され、機械ネットワーク図は、類似の電気ネットワーク図と同じトポロジを持ちます。

機械電気アナロジーは、機械パラメータと電気パラメータのアナロジーを描くことで、機械システムの機能を同等の電気システムとして表すために使用されます。機械システム自体はこのように表すことができますが、アナロジーは機械部品と電気部品が接続されている電気機械システムで最も役立ちます。アナロジーは、機械フィルタの解析に特に役立ちます。これらは機械部品で構成されているフィルタですが、トランスデューサを介して電気回路で動作するように設計されているものです。回路理論は一般に電気分野で十分に発達しており、特にフィルタ理論が豊富にあります。機械システムは、機械電気アナロジーを通じてこの電気理論を機械設計に利用できます。^[1]

機械と電気の類推は、一般に、システムが異なるエネルギー領域間の変換器を含む場合に有用である。 ^{[注 1]} もう一つの応用分野は、レコードプレーヤーのピックアップやトーンアームなどの音響システムの機械部品である。これは、オーディオがピックアップ針からホーンまで、電気増幅をまったく行わずにさまざまな機械部品を介して伝送される初期の蓄音機では、ある程度重要であった。初期の蓄音機は、機械部品の望ましくない共振に悩まされていた。機械部品を、通過帯域を平坦化する効果のあるローパスフィルタの部品として扱うことで、これらを排除できることがわかった。^[2]

機械システムの電気的アナロジーは、機械システムの挙動を理解するための教材としてのみ使用できます。20世紀初頭頃までの昔は、逆のアナロジーが使用されることが多かったです。つまり、当時はあまり理解されていなかった電気現象から機械的アナロジーが形成されたのです。^[3]

電気システムは、一般的に回路図によって記述されます。これは、特殊なグラフ表記法を使用して電気システムのトポロジーを記述するネットワーク図です。回路図は、電気部品の実際の物理的寸法や、それらの実際の空間関係を表現しようとはしません。これは、電気部品が理想的な集中要素として表現されるため、つまり、要素が単一の点を占めている（その点で集中している）かのように扱われるため可能です。このモデルでは、複数の要素を使用してコンポーネントを表現することで、非理想的な部品を収容できます。たとえば、インダクタとして使用することを目的としたコイルには、インダクタンスだけでなく抵抗もあります。これは、回路図ではインダクタと直列の抵抗器として表すことができます。 ^[4] したがって、機械システムの類推を形成する最初のステップは、同様の方法で機械ネットワークとして、つまり理想的な要素のトポロジーグラフとしてそれを記述することです。^[5] あるいは、回路図のより抽象的な表現、たとえばボンドグラフも可能です。^[6]

電気回路図には、線形システムに限定して、抵抗、インダクタンス、静電容量の3 つの受動要素と、電圧発生器と電流発生器の 2 つの能動要素があります。^{[注 2]} これらの要素の機械的類似物を使用して、機械回路図を作成できます。これらの要素の機械的類似物が何であるかは、基本変数としてどの変数が選択されるかによって異なります。使用できる変数には幅広い選択肢がありますが、最も一般的に使用されるのは、べき乗共役変数のペア(以下で説明) と、これらから導出されるハミルトン変数のペアです。^[7]

この集中要素モデルの適用範囲には限界がある。このモデルは、波がコンポーネントを通過するのにかかる時間が重要でないほどコンポーネントが小さい場合、または同等に、コンポーネントの両側の波に大きな位相差がない場合に、うまく機能します。重要とは、モデルに求められる精度によって異なりますが、一般的な経験則では、コンポーネントは波長の 16 分の 1 よりも小さくする必要があります。^[8] 波長は周波数とともに減少するため、この種の設計でカバーできる周波数に上限が設定されます。この制限は、機械領域では電気領域での同等の制限よりもはるかに低くなります。これは、電気領域での伝播速度がはるかに速いため、波長が長くなるためです (鋼鉄の機械振動は約 6,000 m/s で伝播し、^[9]一般的なケーブルタイプの電磁波は約2 x 10 ⁸ m/sで伝播します^[10] )。例えば、従来の機械式フィルタは600kHz程度までしか動作しません^[11]（MEMSデバイスは非常に小さいため、はるかに高い周波数で動作できます）。一方、電気領域では、集中素子モデルから分散素子モデルへの移行は数百メガヘルツの領域で発生します^{[12] 。}

場合によっては、分散要素解析を必要とするコンポーネントが存在する場合でも、トポロジカル ネットワーク ダイアグラムを引き続き使用できます。電気領域では、基本的な分散要素コンポーネントである伝送線路 を、電気長という追加要素を導入することでモデルに含めることができます。^[13] 伝送線路は、長さに沿って不変であるため、完全な形状をモデル化する必要がないという点で特殊なケースです。^[14] 分散要素を処理する別の方法は、分散要素を多数の小さな集中要素で近似する有限要素解析を使用することです。ある論文では、まさにこのようなアプローチが、人間の耳の蝸牛をモデル化するために使用されました。^[15] 集中要素モデルを適用するための電気システムの別の条件として、コンポーネントの外部に大きなフィールドが存在しないことが挙げられます。これは、これらのフィールドが他の無関係なコンポーネントに結合する可能性があるためです。 ^{[16]ただし、これらの効果は、多くの場合、浮遊要素または}寄生要素 と呼ばれる仮想の集中要素を導入することでモデル化できます。^[17] 機械システムにおける類似例としては、ある部品の振動が無関係な部品と結合しているという現象が挙げられます。^[18]

電力共役変数は、積が電力となる変数のペアです。電気領域では、選択される電力共役変数は常に電圧( v ) と電流( i ) です。したがって、機械領域における電力共役変数は類似物です。しかし、これだけでは機械の基本変数の選択を一意にするには不十分です。並進機械システムでは通常、力 ( F ) と速度 ( u ) が選択されますが、これが唯一の選択肢ではありません。回転システムなど、異なる形状のシステムでは、異なるペアの方が適切な場合があります。^[19]

機械の基本変数が選択された後でも、類推の一意な集合は存在しません。類推において、2 組の電力共役変数を互いに関連付ける方法は 2 つあります。たとえば、Fとv、uとi を関連付けることができます。ただし、uとv、Fとi を関連付けることもできます。これにより、インピーダンス類推とモビリティ類推という 2 つの類推クラスが生まれます。^[20]これらの類推は、互いに双対 です。同じ機械ネットワークには、2 つの異なる電気ネットワークの類推があります。これら 2 つの電気ネットワークは、互いに双対の回路です。 ^[21]

ハミルトン変数はエネルギー変数とも呼ばれ、ハミルトン方程式に従って共役な変数r = ( q , p )である。^[22]

さらに、ハミルトニアン変数の時間微分はべき共役変数です。

電気領域におけるハミルトニアン変数は電荷（q）と磁束鎖交数（λ）である。

${\displaystyle {\frac {\partial {\mathcal {H}}}{\partial q}}=-{\frac {d\lambda }{dt}}=v}$（ファラデーの電磁誘導の法則）そして、${\displaystyle {\frac {\partial {\mathcal {H}}}{\partial \lambda }}={\frac {dq}{dt}}=i}$

並進力学領域では、ハミルトン変数は距離変位（x）と運動量（p）である。

${\displaystyle {\frac {\partial {\mathcal {H}}}{\partial x}}=-{\frac {dp}{dt}}=F}$（ニュートンの運動の第二法則）そして、${\displaystyle {\frac {\partial {\mathcal {H}}}{\partial p}}={\frac {dx}{dt}}=u}$

他の類推や変数の集合にも同様の相関関係がある。^[23] ハミルトン変数はエネルギー変数とも呼ばれる。ハミルトン変数に対するべき乗共役変数の 積分関数はエネルギーの尺度である。例えば、

${\displaystyle \int Fdx}$そして、${\displaystyle \int udp}$

はどちらもエネルギーの表現です。これらは、機械分野における類似物にちなんで、一般化された運動量や一般化された変位とも呼ばれます。一部の著者は、この用語は分野中立ではないため、この用語の使用を推奨していません。同様に、I型とV型（電流と電圧にちなんで）という用語の使用も推奨されていません。^[24]

使用されているアナロジーには、2 つの主要なクラスがあります。インピーダンス アナロジー (マクスウェル アナロジーとも呼ばれる) は、機械的、音響的、電気的インピーダンス間のアナロジーは保持しますが、ネットワークのトポロジーは保持しません。機械的ネットワークは、類似の電気的ネットワークとは異なって配置されます。モビリティ アナロジー (ファイアストン アナロジーとも呼ばれる) は、エネルギー領域間のインピーダンス間のアナロジーを失う代わりに、ネットワーク トポロジーを保持します。また、トレント アナロジーとも呼ばれる貫通アナロジーもあります。電気領域と機械領域間の貫通アナロジーは、モビリティ アナロジーと同じです。ただし、電気領域と音響領域間のアナロジーは、インピーダンス アナロジーに似ています。貫通アナロジーにおける機械的領域と音響領域間のアナロジーは、インピーダンス アナロジーとモビリティ アナロジーの両方と二重の関係があります。^[25]

機械的な並進システムと回転システムでは異なる基本変数が選択され、それぞれのアナロジーに2つのバリエーションが生まれます。たとえば、直線距離は並進システムでは変位変数ですが、回転システムでは角度が代わりに使用されるため、これはあまり適切ではありません。音響アナロジーも3番目のバリエーションとして説明に含まれています。音響エネルギーは最終的には機械的な性質を持ちますが、文献では異なるエネルギー領域である流体領域の例として扱われ、異なる基本変数を持っています。電気機械オーディオシステムを完全に表現するには、電気、機械、音響の3つの領域すべて間のアナロジーが必要です。^[26]

インピーダンスアナロジーは、マクスウェルアナロジーとも呼ばれ、パワー共役ペアを構成する2つの変数を、努力変数とフロー変数に分類します。エネルギー領域の努力変数は、機械領域の力に類似した変数です。エネルギー領域のフロー変数は、機械領域の速度に類似した変数です。アナログ領域のパワー共役変数は、力と速度に類似したものが選択されます。^[27]

電気領域では、力変数は電圧で、流れ変数は電流です。電圧と電流の比率は電気抵抗です(オームの法則)。他の領域での力変数と流れ変数の比率も抵抗として説明されます。電圧と電流の振動により、それらの間に位相差がある場合に電気インピーダンスの概念が生じます。インピーダンスは、抵抗の概念の拡張として考えることができます。抵抗はエネルギーの散逸に関連しています。インピーダンスには、エネルギーの散逸だけでなくエネルギーの貯蔵も含まれます。

インピーダンスの類推から、他のエネルギー領域（ただし測定単位は異なる）におけるインピーダンスの概念が生まれました。^[28] 並進インピーダンスの類推は、単一の線形次元で移動する機械システムを説明し、機械インピーダンスの概念を生み出しました。機械インピーダンスの単位は機械オームで、SI単位ではNs/mまたはKg/sです。^[29]回転インピーダンスの類推は、回転する機械システムを説明し、回転インピーダンスの概念を生み出しました。回転インピーダンスの単位はSIシステムではNms/radです。^{[30]音響インピーダンスの類推から、}音響インピーダンスの概念が生まれました。音響インピーダンスの単位は音響オームで、SI単位ではNs/m ⁵です。^[31]

移動度アナロジーは、ファイアストンアナロジーとも呼ばれ、インピーダンスアナロジーの電気的双対です。つまり、機械領域の力変数は電気領域の電流（流量変数）に類似しており、機械領域の流れ変数は電気領域の電圧（力変数）に類似しています。機械システムを表す電気ネットワークは、インピーダンスアナロジーのネットワークの双対ネットワークです。^[33]

インピーダンスのアナロジーがインピーダンスによって特徴付けられるのと同様に、モビリティのアナロジーはアドミタンスによって特徴付けられます。アドミタンスはインピーダンスの逆数です。機械の分野では、機械的アドミタンスはモビリティと呼ばれることが多いです。^[34]

貫通と横断の類推は、トレント類推とも呼ばれ、べき共役ペアを構成する 2 つの変数を横断変数と貫通変数に分類します。横断変数は、要素の 2 つの端子をまたいで現れる変数です。横断変数は、要素の端子を基準にして測定されます。貫通変数は、要素を通過する、または要素を介して作用する変数です。つまり、要素の両方の端子で同じ値を持ちます。貫通と横断の類推の利点は、貫通ハミルトニアン変数を保存量として選択すると、キルヒホッフのノード規則を使用でき、モデルが実際のシステムと同じトポロジを持つことです。

したがって、電気領域では、横断変数は電圧であり、通過変数は電流です。機械領域では、モビリティのアナロジーと同様に、類似の変数は速度と力です。^[36] 音響システムでは、圧力は絶対圧力としてではなく、要素の2つの端子に対して測定されるため、圧力は横断変数です。したがって、圧力は面積あたりの力の単位であるにもかかわらず、貫通変数である力とは類似していません。力は要素を介して作用します。上部に力が加えられたロッドは、その下部に接続された要素に同じ力を伝達します。したがって、貫通と横断のアナロジーでは、機械領域はモビリティのアナロジーのように電気領域に類似していますが、音響領域はインピーダンスのアナロジーのように電気領域に類似しています。^[37]

電気的なアナロジーは、他の多くのエネルギー領域にも拡張できます。センサーやアクチュエータ、およびそれらを使用する制御システムの分野では、システム全体の電気的なアナロジーを展開することが一般的な分析方法です。センサーはあらゆるエネルギー領域の変数を感知することができ、同様にシステムからの出力もあらゆるエネルギー領域にある可能性があるため、すべてのエネルギー領域に対するアナロジーが必要です。次の表は、アナロジーを形成するために使用される最も一般的な電力共役変数の概要を示しています。^[39]

熱領域では、温度と熱出力を基本変数として選択することがおそらくより一般的です。これは、エントロピーとは異なり、直接測定できるためです。熱抵抗の概念はこのアナロジーに基づいています。ただし、これらは電力共役変数ではなく、表の他の変数と完全に互換性がありません。この熱アナロジーを含む複数の領域にまたがる統合された電気アナロジーは、エネルギーフローを正しくモデル化しません。^[41]

同様に、磁力と磁束を基本変数として用いる一般的な類推は磁気抵抗の概念を生み出すが、エネルギーの流れを正しくモデル化していない。変数対である磁力と磁束は電力共役対ではない。この磁気抵抗モデルは、これら2つの量を類似させているため、磁気抵抗-抵抗モデルと呼ばれることもある。表に示されている類推は電力共役対を用いており、ジャイレータ-コンデンサモデルと呼ばれることもある。^[42]

トランスデューサーは、ある領域からエネルギーを入力として受け取り、それを別のエネルギー領域に変換するデバイスです。多くの場合、可逆的ですが、そのように使用されることはめったにありません。トランスデューサーには多くの用途があり、多くの種類があります。電気機械システムでは、アクチュエーターやセンサーとして使用できます。オーディオエレクトロニクスでは、電気領域と音響領域間の変換を提供します。トランスデューサーは、機械領域と電気領域間のリンクを提供するため、統一された電気的アナロジーを開発するために、ネットワーク表現が必要です。^{[43]これを実現するために、電気領域からの}ポート の概念が他の領域に拡張されます。^[44]

変換器は（少なくとも^{[注 5]}）2 つのポートを持ち、1 つは機械領域に、もう 1 つは電気領域にあり、電気的な2 ポート ネットワークに類似しています。これは、これまでに説明したすべての 1 ポートの要素と比較されます。2 ポート ネットワークは、2×2 マトリックスとして、または同等に、2 つの従属ジェネレータと 2 つのインピーダンスまたはアドミタンスのネットワークとして表すことができます。これらの表現には、インピーダンス パラメーター、チェーン パラメーター、ハイブリッド パラメーター、およびそれらの逆の6 つの標準形式があります 。これらのいずれかを使用できます。ただし、類似の変数（たとえば、インピーダンスの類似性における努力変数から別の努力変数への変換）間を変換する受動変換器の表現は、従属ジェネレータを変圧器に置き換えることで簡素化できます。^[45]

一方、非類似の電力共役変数を変換する変換器は、変圧器では表すことができません。これを行う電気領域の2ポート要素は、ジャイレータと呼ばれます。このデバイスは、電圧を電流に、電流を電圧に変換します。類推により、エネルギー領域間で非類似の変数を変換する変換器もジャイレータと呼ばれます。たとえば、電磁変換器は電流を力に、速度を電圧に変換します。^[46] インピーダンスの類推では、このような変換器はジャイレータです。^[47] 変換器がジャイレータであるか変圧器であるかは、類推に関連しています。モビリティの類推では、同じ電磁変換器は、類似の変数間で変換するため変圧器です。^[48]

ジェームズ・クラーク・マクスウェルは、電気現象の非常に詳細な機械的アナロジーを開発した。彼は力を電圧と関連付けた最初の人物であり（1873年）、その結果、インピーダンスのアナロジーを創始した人物としてよく知られている。^[49] これは、最も初期の機械的-電気的アナロジーであった。^[50] しかし、インピーダンスという用語は、マクスウェルの死後かなり経った1886年にオリバー・ヘヴィサイドによって初めて作られた。^[51]複素インピーダンス の考え方は、アーサー・E・ケネリーによって1893年に導入され、インピーダンスの概念は、1920年にケネリーとアーサー・ゴードン・ウェブスターによって初めて機械領域に拡張された。^[52]

マクスウェルがこのアナロジーを構築した目的は、機械システムを電気ネットワークの観点から表現することではなく、より馴染みのある機械用語で電気現象を説明することであった。^[53]ジョージ・アシュリー・キャンベルが1899年に電話回線を改善するためにローディングコイルの使用を初めて実証した とき、彼は、周期的な重りを載せた機械回線に関するチャールズ・ゴッドフリーの研究とのアナロジーで、コイル間に必要な距離を計算した。^[54] 電気現象の理解が深まるにつれて、このアナロジーの逆、つまり電気アナロジーを使用して機械システムを説明することが一般的になり始めた。実際、電気解析の集中要素抽象トポロジーは、機械領域、さらには他のエネルギー領域の問題にも多くのことを提供している。1900年までには、機械領域の電気アナロジーが一般的になりつつあった。1920年頃から、電気アナロジーは標準的な解析ツールとなった。 ヴァネヴァー・ブッシュはアナログコンピュータの開発においてこの種のモデリングの先駆者であり、この手法の一貫した説明は1925年にクリフォード・A・ニクルによって論文として発表された。^[55]

電気回路網解析、特に新しく開発されたフィルタ理論の分野を機械システムや音響システムに応用することで、性能が大幅に向上した。ウォーレン・P・メイソンによれば、船舶の電気霧笛の効率は1%未満から50%に向上した。機械式蓄音機の帯域幅は、音響伝達の機械部品が電気フィルタの要素であるかのように設計されたことで3オクターブから5オクターブに拡大した（機械フィルタ § 音響再生も参照）。注目すべきことに、変換効率も同時に向上した（増幅システムでは、通常、ゲインと帯域幅の積が一定になるようにゲインを帯域幅と交換できる）。^[56]

1933年、フロイド・A・ファイアストンは、力は電圧ではなく電流に類似しているという新しいアナロジー、モビリティ・アナロジーを提唱した。ファイアストンはこの論文で、変数を横切る、変数を貫通する概念を導入し、アナロジーを他のエネルギー領域に拡張するための構造を提示した。^[57] 力電流アナロジーのバリエーションは、 1955年にホレス・M・トレントによって提案され、貫通アナロジーと一般的には、このバージョンが意味されている。^[58] トレントは、ネットワークを表現する線形グラフ方式を使用したため、力電流アナロジーは歴史的に線形グラフに関連付けられている。力電圧アナロジーは、1960年にヘンリー・ペインターによって導入されたボンドグラフ表現で歴史的に使用されているが、必要に応じて、どちらの表現でもどちらのアナロジーも使用可能である。^[59]

• 類推モデル
• Elastanceには、オリバー・ヘヴィサイドの類推における役割に関する情報が含まれています。
• テレデルトス
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