nベクトル

nベクトル表現 (測地法線ベクトルまたは楕円体法線ベクトルとも呼ばれる) は、数学的計算やコンピュータ アルゴリズムにおける水平位置表現の測地座標(緯度と経度)を置き換えるのに適した、3 つのパラメータを持つ非特異表現です。

幾何学的には、楕円体上の任意の位置のnベクトルは、その位置で楕円体に対して垂直な外向きの単位ベクトルです。地球上の水平位置を表すために、楕円体は基準楕円体であり、ベクトルは地球中心の地球固定座標系に分解されます。このベクトルは地球上のあらゆる位置でスムーズに動作し、数学的な1 対 1 の特性を保持します。

より一般的には、この概念は、境界が微分可能多様体である場合に、k次元ユークリッド空間の厳密に凸な 有界部分集合の境界上の位置を表すために適用できます。この一般的なケースでは、nベクトルはk 個のパラメータ で構成されます。

厳密に凸面の法線ベクトルは、表面の位置を一意に定義するために使用できます。nベクトルは、位置表現として使用される 単位長さの外向きの法線ベクトルです。 [ ^1]

ほとんどのアプリケーションでは、表面は地球の基準楕円体であるため、nベクトルは水平位置を表すために使用されます。したがって、図に示すように、 nベクトルと赤道面の間の角度は測地緯度に対応します。

表面の位置には 2 つの自由度があるため、表面上の任意の位置を表すには 2 つのパラメータで十分です。基準楕円体では、緯度と経度がこの目的で一般的なパラメータですが、すべての2 パラメータ表現と同様に、特異点があります。これは、3 つの自由度を持つ方向に似ていますが、すべての3 パラメータ表現には特異点があります。^{[2]どちらの場合も、特異点は、余分なパラメータを追加することで回避されます。つまり、} nベクトル (3 つのパラメータ) を使用して水平位置を表し、単位四元数(4 つのパラメータ) を使用して方向 を表します。

nベクトルは1 対 1 の表現です。つまり、任意の表面位置は 1 つの固有のnベクトルに対応し、任意のnベクトルは 1 つの固有の表面位置に対応します。

ユークリッド 3D ベクトルとして、位置計算には標準の 3Dベクトル代数を使用できるため、nベクトルはほとんどの水平位置計算に適しています。

eと呼ばれるECEF座標系の定義に基づくと、緯度/経度からnベクトル への移行は次のようにして実現できることは明らかです。

${\displaystyle \mathbf {n} ^{e}=\left[{\begin{行列}\cos(\mathrm {緯度} )\cos(\mathrm {経度} )\\\cos(\mathrm {緯度} )\sin(\mathrm {経度} )\\\sin(\mathrm {緯度} )\\\end{行列}}\right]}$

上付き文字e は、 nベクトルが座標系eで分解されることを意味します(つまり、最初の要素はnベクトルのeのx軸へのスカラー投影であり、2 番目の要素はeのy軸へのスカラー投影です)。この式は球形および楕円形の地球モデルの両方で正確であることに注意してください。

nベクトルの 3 つの要素、、、から、緯度は次のように求められます。 ${\displaystyle n_{x}^{e}}$${\displaystyle n_{y}^{e}}$${\displaystyle n_{z}^{e}}$

${\displaystyle \mathrm {緯度} =\arcsin \left(n_{z}^{e}\right)=\arctan \left({\frac {n_{z}^{e}}{\sqrt {{n_ {x}^{e}}^{2}+{n_{y}^{e}}^{2}}}}\right)}$

右端の式はコンピュータプログラムの実装に最適です。^[1]

経度は次の方法で調べます:

${\displaystyle \mathrm {経度} =\arctan \left({\frac {n_{y}^{e}}{n_{x}^{e}}}\right)}$

これらの式は、atan2 ( y , x )の呼び出しを使用して実装する必要があります。経度の極特異性は、 atan2 (0,0) が未定義であることから明らかです。方程式は球形および楕円形の地球モデルの両方で正確であることに注意してください。 ${\displaystyle \arctan(y/x)}$

2 つの水平位置 (地球が球体であると仮定) 間の大圏距離を求めるには、通常、緯度と経度を使用します。この距離を表す3 つの異なる式が一般的です。最初の式はarccosに基づき、2 番目はarcsinに基づき、最後の式はarctanに基づきます。数値的不安定性を回避するために、式は順に複雑になっており、見つけるのは簡単ではありません。また、式は緯度と経度に基づいているため、極の特異点が問題になる場合があります。また、式には緯度と経度のデルタが含まれており、一般に ± 180° 子午線および極の 近くでは注意して使用する必要があります。

同じ問題をnベクトルを使って解くのは、ベクトル代数を使用できるため簡単です。arccos 式はドット積から得られ、クロス積の大きさはarcsin 式を与えます。この 2 つを組み合わせると arctan 式が得られます。^[1]

${\displaystyle {\begin{aligned}&\Delta \sigma =\arccos \left(\mathbf {n} _{a}\cdot \mathbf {n} _{b}\right)\\&\Delta \sigma =\arcsin \left(\left|\mathbf {n} _{a}\times \mathbf {n} _{b}\right|\right)\\&\Delta \sigma =\arctan \left({\frac {\left|\mathbf {n} _{a}\times \mathbf {n} _{b} \right|}{\mathbf {n} _{a}\cdot \mathbf {n} _{b}}}\right)\\\end{aligned}}}$

ここで、 およびは、 2 つの位置aとbを表すnベクトルです。は角度の差であり、したがって大圏距離は地球の半径を掛けることで得られます。 この式は、極と ±180° 子午線でも適用されます。 ${\displaystyle \mathbf {n} _{a}}$${\displaystyle \mathbf {n} _{b}}$${\displaystyle \デルタ \sigma }$

ベクトル代数の使用によって標準的な問題が簡素化される例は他にもいくつかあります。^[1]さまざまな表現の一般的な比較については、水平位置表現のページを参照してください。

• 地球断面パス
• 水平位置表現
• 緯度
• 経度
• ユニバーサル横メルカトル座標系
• クォータニオン

• nベクトルを使って10の問題を解く