マーチンゲール（確率論）

確率論において、マルチンゲールとは、特定の時点で、シーケンス内の次の値の条件付き期待値が、以前のすべての値に関係なく、現在の値に等しいランダム変数のシーケンス（つまり、確率過程）です。

もともと、マーチンゲールとは、18世紀フランスで人気があった賭け戦略の一種を指していました。^{[1] [2]} これらの戦略のうち最も単純なものは、コインが表になれば賭け金を獲得し、裏になれば賭け金を失うというゲーム用に考案されました。この戦略では、ギャンブラーは負けるたびに賭け金を2倍にし、最初の勝利でそれまでの損失をすべて取り戻せるほか、元の賭け金と同額の利益を獲得します。ギャンブラーの資産と利用可能な時間が合わせて無限大に近づくにつれて、最終的に表が出る可能性は1に近づくため、マーチンゲール賭け戦略は確実なもののように見えます。しかし、賭け金が指数関数的に増加すると、資金が有限であるため、最終的には破産してしまいます。マーチンゲール過程である停止ブラウン運動を使用して、このようなゲームの軌跡をモデル化することができます。

確率論におけるマルチンゲールの概念は、ポール・レヴィが 1934 年に導入しましたが、彼はこれに名前を付けませんでした。「マルチンゲール」という用語は、後にヴィル (1939) によって導入され、ヴィルは定義を連続マルチンゲールに拡張しました。理論の当初の開発の多くは、ジョセフ・レオ・ドゥーブらによって行われました。その研究の動機の 1 つは、運任せのゲームで成功する賭け戦略が不可能であることを示すことでした。

離散時間 マルチンゲールの基本的な定義は、離散時間確率過程（すなわち、ランダム変数のシーケンス）X ₁、  X ₂、  X ₃、...であり、任意の時間nに対して、

${\displaystyle \mathbf {E} (\vert X_{n}\vert )<\infty }$

${\displaystyle \mathbf {E} (X_{n+1}\mid X_{1},\ldots ,X_{n})=X_{n}.}$

つまり、過去のすべての観測値を考慮すると、次の観測値の条件付き期待値は最新の観測値と等しくなります。

より一般的には、列Y ₁、  Y ₂、  Y ₃ ... は、他の列X ₁、  X ₂、  X _{3 ...}に関してマルチンゲール であるとは、すべてのn に対して

${\displaystyle \mathbf {E} (\vert Y_{n}\vert )<\infty }$

${\displaystyle \mathbf {E} (Y_{n+1}\mid X_{1},\ldots ,X_{n})=Y_{n}.}$

同様に、確率過程X _tに関する連続時間マルチンゲールは、すべて_のtに対して

${\displaystyle \mathbf {E} (\vert Y_{t}\vert )<\infty }$

${\displaystyle \mathbf {E} (Y_{t}\mid \{X_{\tau },\tau \leq s\})=Y_{s}\quad \forall s\leq t.}$

これは、時刻 までのすべての観測値を前提として、時刻tにおける観測値の条件付き期待値が時刻sにおける観測値に等しいという性質を表します(もちろん、 ≤ t の場合) 。2番目の性質は、 が に関して測定可能であることを意味 し ます。 ${\displaystyle s}$${\displaystyle Y_{n}}$${\displaystyle X_{1}\dots X_{n}}$

完全に一般的に言えば、ノルムを持つバナッハ空間に値を取る確率過程は、濾過 と確率測度に関してマルチンゲールである。 ${\displaystyle Y:T\times \Omega \to S}$ ${\displaystyle S}$${\displaystyle \lVert \cdot \rVert _{S}}$ ${\displaystyle \Sigma _{*}}$ ${\displaystyle \mathbb {P} }$

• Σ _{∗ は}基礎となる確率空間(Ω, Σ,  ) のフィルタリングです。${\displaystyle \mathbb {P} }$
• Y はフィルタリング Σ _∗に適合します。つまり、インデックスセット T 内の各 t に対して、ランダム変数Y tはΣ _t測定可能な関数です。
• 各tに対して、Y _{t は}L ^p空間 L ¹ (Ω, Σ _t ,  ;  S )に存在する。つまり、${\displaystyle \mathbb {P} }$

${\displaystyle \mathbf {E} _{\mathbb {P} }(\lVert Y_{t}\rVert _{S})<+\infty ;}$

• s  <  tかつすべてのF  ∈ Σ _sであるすべてのsおよびtに対して、

${\displaystyle \mathbf {E} _{\mathbb {P} }\left([Y_{t}-Y_{s}]\chi _{F}\right)=0,}$

ここで、χ _{F は}イベントFの指示関数を表す。グリメットとスティルザカーの「確率とランダム過程」では、この最後の条件は次のように表される。

${\displaystyle Y_{s}=\mathbf {E} _{\mathbb {P} }(Y_{t}\mid \Sigma _{s}),}$

これは条件付き期待値の一般的な形式である。^[3]

マルチンゲールであるという特性には、フィルタリングと確率測度（期待値がとられるもの）の両方が関係していることに注意することが重要です。Y は、ある測度に関してはマルチンゲールであっても、別の測度に関してはそうでない可能性があります。ギルサノフの定理は、伊藤過程がマルチンゲールとなる測度を見つける方法を提供します。

バナッハ空間設定では、条件付き期待値は演算子表記では とも表記される。^[4]${\displaystyle \mathbf {E} ^{\Sigma _{s}}Y_{t}}$

• 任意の次元数の偏りのないランダムウォークは、マルチンゲールの一例です。
• ギャンブラーの財産（資本）は、ギャンブラーが行うすべての賭けゲームが公正である場合にマーチンゲールです。ギャンブラーはコイン投げのゲームをプレイしています。X n は、コイン投げの結果が表であればギャンブラー_は$ 1を獲得し、コイン投げの結果が裏であれば $1 を失うという、公正なコインをn回投げた後のギャンブラーの財産であるとします。履歴を与えられたギャンブラーの次のゲーム後の条件付き期待財産は、現在の財産に等しくなります。したがって、このシーケンスはマーチンゲールです。
• Y _n = X _n ² − nとします。ここで、X _{n は}前の例のギャンブラーの財産です。すると、数列 { Y _n  : n = 1, 2, 3, ... } はマルチンゲールになります。これを使用して、ギャンブラーの合計利益または損失が、コイン投げのゲーム数の平方根のプラスマイナスの間で大まかに変化することを示すことができます。
• ド・モアブルのマルチンゲール：コイントスの結果が不公平、つまり偏っていて、表が出る確率がp 、裏が出る確率がq  = 1 −  pであると仮定します。

${\displaystyle X_{n+1}=X_{n}\pm 1}$

「表」の場合は「+」、裏の場合は「-」です。

${\displaystyle Y_{n}=(q/p)^{X_{n}}}$

すると、{ Y _n  : n = 1, 2, 3, ...}は{ X _n  : n = 1, 2, 3, ...} に関してマルチンゲールとなる。これを示すには

${\displaystyle {\begin{aligned}E[Y_{n+1}\mid X_{1},\dots ,X_{n}]&=p(q/p)^{X_{n}+1}+q(q/p)^{X_{n}-1}\\[6pt]&=p(q/p)(q/p)^{X_{n}}+q(p/q)(q/p)^{X_{n}}\\[6pt]&=q(q/p)^{X_{n}}+p(q/p)^{X_{n}}=(q/p)^{X_{n}}=Y_{n}.\end{aligned}}}$

• ポリアの壷には、さまざまな色のビー玉がいくつか入っています。反復ごとに、壷からビー玉がランダムに 1 つ選択され、同じ色のビー玉がいくつか入れられます。任意の色について、壷の中のその色のビー玉の割合がマルチンゲールです。たとえば、現在ビー玉の 95% が赤である場合、次の反復では他の色よりも赤ビー玉が追加される可能性が高くなりますが、この偏りは、赤ビー玉を追加しても、同じ数の赤以外のビー玉を追加した場合よりも割合がほとんど変わらないという事実によって完全に相殺されます。
• 統計における尤度比検定: ランダム変数X は、確率密度fまたは異なる確率密度gに従って分布していると考えられます。ランダムサンプル X ₁、...、X _nが取得されます。Y _{n を}「尤度比」とします。

${\displaystyle Y_{n}=\prod _{i=1}^{n}{\frac {g(X_{i})}{f(X_{i})}}}$

X が実際にはgではなく密度fに従って分布している場合、{ Y _n  : n =1, 2, 3,...} は { X _n  : n =1, 2, 3, ...}に関してマルチンゲールになります。

• 生態学的コミュニティ、つまり特定の栄養段階にある種のグループでは、地域内で同様の資源を求めて競争しており、固定サイズの特定の種の個体数は（離散）時間の関数であり、ランダム変数のシーケンスとして見ることができます。このシーケンスは、生物多様性と生物地理学の統一中立理論の下ではマルチンゲールです。
• { N _t  : t  ≥ 0 }が強度λのポアソン過程である場合、補正ポアソン過程 {  N _t  −  λt  : t ≥ 0 } は右連続/左極限サンプルパス を持つ連続時間マルチンゲールです。
• ワルドのマーチンゲール
• ある空間における次元プロセスは、各要素がにおける 1 次元マルチンゲールである場合に、におけるマルチンゲールです。${\displaystyle d}$${\displaystyle M=(M^{(1)},\dots ,M^{(d)})}$${\displaystyle S^{d}}$${\displaystyle S^{d}}$${\displaystyle T_{i}(M)=M^{(i)}}$${\displaystyle S}$

マルチンゲールには、現在の観測値X _nが必ずしも将来の条件付き期待値E [ X _{n +1}  |  X ₁ ,..., X _n ] に等しいとは限らず、条件付き期待値の上限または下限となるケースも含む一般化が 2 つあります。これらの一般化は、マルチンゲール理論とポテンシャル理論、つまり調和関数の研究の関係を反映しています。連続時間マルチンゲールが E[ X _t  | { X _τ  :  τ  ≤  s }] −  X _s  = 0 ∀ s  ≤  t を満たすのと同様に、調和関数f は偏微分方程式Δ f = 0を満たします。 ここで Δ はラプラシアン演算子です。ブラウン運動プロセスW _tと調和関数fを考えると、結果のプロセスf ( W _t ) もマルチンゲールです。

• 離散時間サブマルチンゲールは、次の式を満たす積分可能な確率変数の列である。${\displaystyle X_{1},X_{2},X_{3},\ldots }$

${\displaystyle \operatorname {E} [X_{n+1}\mid X_{1},\ldots ,X_{n}]\geq X_{n}.}$

同様に、連続時間サブマルチンゲールは

${\displaystyle \operatorname {E} [X_{t}\mid \{X_{\tau }:\tau \leq s\}]\geq X_{s}\quad \forall s\leq t.}$

ポテンシャル理論では、サブハーモニック関数 fはΔ f  ≥ 0 を満たします。ボールの境界上のすべての点について調和関数によって上方に制限されるサブハーモニック関数は、ボール内のすべての点について調和関数によって上方に制限されます。同様に、サブマルチンゲールとマルチンゲールが特定の時間に対して同等の期待値を持つ場合、サブマルチンゲールの履歴はマルチンゲールの履歴によって上方に制限される傾向があります。大まかに言えば、現在の観測値X _{n が}条件付き期待値E [ X _{n +1}  |  X ₁ ,..., X _n ]より小さい(または等しい)ため、接頭辞「サブ」は一貫しています。その結果、現在の観測値は将来の条件付き期待値より下からサポートを提供し、プロセスは将来の時間に増加する傾向があります。

• 同様に、離散時間スーパーマルチンゲールは

${\displaystyle \operatorname {E} [X_{n+1}\mid X_{1},\ldots ,X_{n}]\leq X_{n}.}$

同様に、連続時間スーパーマルチンゲールは

${\displaystyle \operatorname {E} [X_{t}\mid \{X_{\tau }:\tau \leq s\}]\leq X_{s}\quad \forall s\leq t.}$

ポテンシャル理論では、超調和関数 f はΔ f  ≤ 0 を満たします。ボールの境界上のすべての点について調和関数によって下方に制限される任意の超調和関数は、ボール内のすべての点について調和関数によって下方に制限されます。同様に、スーパーマルチンゲールとマルチンゲールが特定の時間に対して同等の期待値を持つ場合、スーパーマルチンゲールの履歴はマルチンゲールの履歴によって下方に制限される傾向があります。大まかに言えば、現在の観測値X _nが条件付き期待値E [ X _{n +1}  |  X ₁ ,..., X _n ]より大きい(または等しい)ため、接頭辞「super-」は一貫しています。その結果、現在の観測値は将来の条件付き期待値よりも上からサポートされ、プロセスは将来の時間に減少する傾向があります。

• すべてのマルチンゲールはサブマルチンゲールであり、スーパーマルチンゲールでもあります。逆に、サブマルチンゲールとスーパーマルチンゲールの両方である確率過程は、すべてマルチンゲールです。
• コインが表になったら 1 ドル勝ち、裏になったら 1 ドル負けるギャンブラーをもう一度考えてみましょう。コインに偏りがあり、確率pで表が出ると仮定します。
  • pが 1/2 に等しい場合、ギャンブラーは平均してお金を得ることも失うこともなく、時間の経過に伴うギャンブラーの財産はマルチンゲールになります。
  • pが 1/2 未満の場合、ギャンブラーは平均してお金を失い、ギャンブラーの長期的な財産はスーパーマルチンゲールになります。
  • pが 1/2 より大きい場合、ギャンブラーは平均してお金に勝ち、ギャンブラーの時間の経過に伴う財産はサブマルチンゲールになります。
• ジェンセンの不等式により、マルチンゲールの凸関数はサブマルチンゲールです。たとえば、公平なコインゲームにおけるギャンブラーの財産の二乗はサブマルチンゲールです (これは、X _n ²  −  nがマルチンゲールであるという事実からもわかります)。同様に、マルチンゲールの凹関数はスーパーマルチンゲールです。

ランダム変数のシーケンスX ₁、  X ₂、  X ₃、 ...に関する停止時間は、各tについて、イベントτ = tの発生または非発生がX ₁、  X ₂、  X ₃、 ...、  X _tの値のみに依存するという特性を持つランダム変数 τ です。定義の背後にある直感は、任意の特定の時間tで、これまでのシーケンスを見て、停止する時間かどうかを判断できるということです。実際の生活での例としては、ギャンブラーがギャンブルのテーブルを離れる時間が挙げられます。これは、以前の勝ち金の関数である可能性があります (たとえば、破産したときだけ去る場合があります)。ただし、まだプレイされていないゲームの結果に基づいて、行くか残るかを選択することはできません。

いくつかの文脈では、停止時間の概念は、イベントτ  =  tの発生または非発生がX _{t  + 1}、  X _{t  + 2} 、...から確率的に独立していることのみを要求して定義され、それが時間tまでのプロセスの履歴によって完全に決定されるとは要求しません 。これは、上の段落に出てくる条件よりも弱い条件ですが、停止時間が使用されるいくつかの証明で十分に役立ちます。

マルチンゲールの基本的な特性の 1 つは、が (サブ/スーパー) マルチンゲールであり、 が停止時間である場合、によって定義される対応する停止プロセスも (サブ/スーパー) マルチンゲールであるということです。 ${\displaystyle (X_{t})_{t>0}}$${\displaystyle \tau}$${\displaystyle (X_{t}^{\tau})_{t>0}}$${\displaystyle X_{t}^{\tau }:=X_{\min\{\tau ,t\}}}$

停止マルチンゲールの概念は、一連の重要な定理につながります。たとえば、特定の条件下では、停止時のマルチンゲールの期待値は初期値に等しいというオプション の停止定理などです。

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