スズキグループ

群論として知られる現代代数学の分野において、Sz(2 ^{2 n +1} )、² B ₂ (2 ^{2 n +1} )、Suz(2 ^{2 n +1} )、または G (2 ^{2 n +1 ) で表される}鈴木群は、鈴木(1960)によって発見された、 n ≥ 1 に対して単純なリー型の無限群の族を形成します。これらの単純群は、位数が 3 で割り切れない唯一の有限非可換群です。

_{^{鈴木(1960)はもともと、特定の明示的な行列によって生成されるSL4(F22n} + 1} )の_{^{サブグループ}}として鈴木群を構築した。

リーは、鈴木群が次元 4 のいくつかのシンプレクティック群の例外的な自己同型の不動点であることに注目し、これを使ってさらに 2 つの単純群の族を構築し、これをリー群と呼んだ。最も低いケースでは、シンプレクティック群B ₂ (2)≈ S ₆であり、その例外的な自己同型は、位数 20 の部分群 Sz(2) または² B ₂ (2) を固定する。小野 (1962) は、リーの観察を詳細に説明した。

ティッツ (1962) は、特性 2 の体上の 3 次元射影空間における特定の卵形の対称性として鈴木群を構築しました。

ウィルソン (2010) は、直交ベクトルのペアの特定の積を保存する 4 次元のシンプレクティック群のサブグループとして鈴木群を構築しました。

q = 2 ^{2 n +1 、} r = 2 ⁿとします。ここで、n は負でない整数です。

鈴木群Sz( q )または^2B2 ( q )はn≥1に対して単純である。群Sz(2)は解け、位数20のフロベニウス群である _。

鈴木群Sz( q )の位数はq2 ( q2 + ¹ )( q −1)である。これらの群の位数は⁵で割り切れるが、3で割り切れない。

シューア乗数はn >1の場合には自明であり、n =1の場合にはクラインの4群、すなわちSz(8)である。

外部自己同型群は位数 2 n +1 の巡回群であり、位数qの体の自己同型によって与えられる。

鈴木群は、サイズが(2 ^{2 n +1} ) ² +1の集合に作用するザッセンハウス群であり、2 ^{2 n +1}個の元を持つ体上の4次元表現を持ちます。

鈴木群はCN 群です。つまり、すべての非自明元の中心化元は冪零です。

nが正の整数のとき、Sz( q )には少なくとも4種類の最大部分群がある。

対角部分群は巡回的であり、位数はq – 1 です。

• q ² ·( q -1)の位数の下三角（ボレル）部分群とその共役群。これらは、Sz( q ) の二重推移的置換表現における 1 点安定子です。
• 二面体群D _{q –1}、対角部分群の正規化群、および共役群。
• C _{q +2 r +1} :4
• C _{q –2 r +1} :4
• 2 n +1 が合成数である場合の、より小さな鈴木群。

q +2 r +1またはq –2 r +1は5で割り切れるので、Sz( q )にはフロベニウス群C ₅ :4が含まれます。

鈴木 (1960) は、鈴木群にはq +3 個の共役類があることを示した。このうち、q +1 個は強実であり、他の 2 個は位数 4 の元の類である。

• q ^{2 +1 位数}q ²のシロー 2 部分群、その正規化子のインデックスq –1。位数 2 の元のクラスが 1 つ、位数 4 の元のクラスが 2 つ。
• q ² ( q ² +1)/2 個の巡回部分群（位数q –1、正規化元における指数 2）。これらは、非自明な元の( q –2)/2 個の共役類を説明します。
• 正規化子の指数が 4 である、位数q +2 r +1の巡回部分群。これらは、非自明な元の( q +2 r )/4 共役類を説明します。
• q –2 r +1 の位数を持ち、正規化子の指数が 4 である巡回部分群。これらは、非自明な元の( q –2 r )/4 共役類を説明します。

これらすべての部分群の正規化群はフロベニウス群です。

鈴木 (1960) は、鈴木群には複素数上の q +3 個の既約表現があり、そのうち 2 つは複素数で残りは実数であることを示した。それらは次のように与えられる。

• 1 次数の自明な文字。
• 二重推移的置換表現から得られるq ^{2 次}Steinberg 表現。
• ( q –2)/2 次q ² +1の文字
• r =2 ⁿのとき、 r ( q –1)次複素数 2 つ
• ( q +2 r )/4 文字の度数 ( q –2 r +1)( q –1)
• ( q –2 r )/4 文字の度合いは ( q +2 r +1)( q –1) です。

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