リー理論におけるトピック間の対応
数学 において 、 リー群とリー代数の対応は、 リー群を リー代数 に 、あるいはその逆に 対応させ、そのような関係の条件を調べることを可能にする。互いに 同型 のリー群は互いに同型のリー代数を持つが、その逆は必ずしも真ではない。明らかな反例としては、 リー群としては互いに同型ではないが、それらのリー代数は互いに同型である、 と （それぞれ 実座標空間 と 円群を参照）がある。しかし、 単連結 リー群の場合、リー群とリー代数の対応は 1対1で ある。
R
ん
{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}
T
ん
{\displaystyle \mathbb {T} ^{n}}
この記事では、リー群は実リー群を指します。複素および p 進の場合は、 複素リー群 と p 進リー群を 参照してください。この記事では、 多様体 (特にリー群) は 第 2 可算 であると想定されています。特に、それらの 連結成分は 最大で可算数個です。
基礎
リー群のリー代数 リー群 G のリー代数の構成を理解するには様々な方法がある 。1つのアプローチは左不変ベクトル場を使う。 G 上の ベクトル場 X が左平行移動に対して不変であるとは、 G 内の任意の g 、 h に対して、
（ d
ら
グ
）
h
（
バツ
h
） =
バツ
グ h
{\displaystyle (dL_{g})_{h}(X_{h})=X_{gh}}
ここで は によって定義され 、 は 接空間 間の の 微分 です 。
ら
グ
: グ → グ
{\displaystyle L_{g}:G\to G}
ら
グ
（ x ） = グ x
{\displaystyle L_{g}(x)=gx}
（ d
ら
グ
）
h
:
T
h
グ →
T
グ h
グ
{\displaystyle (dL_{g})_{h}:T_{h}G\to T_{gh}G}
ら
グ
{\displaystyle L_{g}}
をG 上のすべての左並進不変ベクトル場全体の集合とします 。 これは実ベクトル空間です。さらに、これは リー括弧 で閉じています。つまり、 X 、 Y がそうであれば、 は左並進不変です 。したがって、は G 上のすべてのベクトル場全体のリー代数のリー部分代数であり、 G のリー代数と呼ばれます 。これをより具体的に理解するには、次のように、左不変ベクトル場の空間を恒等関数での接空間と同一視します。左不変ベクトル場が与えられたら、恒等関数でその値を取ることができ、恒等関数での接ベクトルが与えられたら、それを左不変ベクトル場に拡張できます。この対応は両方向で 1 対 1 であるため、単射です。したがって、リー代数は恒等関数における接空間として考えることができ、 X と Y の括弧は、 それらを左不変ベクトル場まで拡張し、ベクトル場の括弧を取り、恒等関数における結果を評価することによって計算できます。
嘘 （ グ ）
{\displaystyle \operatorname {嘘} (G)}
[ バツ 、 はい ]
{\displaystyle [X,Y]}
嘘 （ グ ）
{\displaystyle \operatorname {嘘} (G)}
T
e
グ
{\displaystyle T_{e}G}
の別の具体化として、単位元に台を持つ
G 上の超関数のホップ代数の原始元のリー代数 もあります。これについては、以下の「関連構築」を参照してください。
嘘 （ グ ）
{\displaystyle \operatorname {嘘} (G)}
行列リー群 Gが GL(n; C )の閉部分群であり 、 閉部分群定理 によりリー群であるとする。すると、 G のリー代数は 次のように計算できる [2] [3]
嘘 （ グ ） =
{
バツ ∈ ま （ ん ;
Ｃ
） ∣
e
t バツ
∈ グ
全ての
t ∈
R
}
。
{\displaystyle \operatorname {Lie} (G)=\left\{X\in M(n;\mathbb {C} )\mid e^{tX}\in G{\text{ for all }}t\in \mathbb {R} \right\}.}
たとえば、この基準を使用して、 古典的なコンパクト群 の対応を確立することができます(以下の「コンパクト リー群」の表を参照)。
準同型 もし
ふ : グ → H
{\displaystyle f:G\to H}
が リー群準同型で ある場合、その単位元における微分
d ふ = d
ふ
e
: 嘘 （ グ ） → 嘘 （ H ）
{\displaystyle df=df_{e}:\operatorname {嘘} (G)\to \operatorname {嘘} (H)}
はリー代数準同型 （括弧は括弧内）
であり、次の特性を持ちます。
経験 （ d ふ （ バツ ） ） = ふ （ 経験 （ バツ ） ）
{\displaystyle \exp(df(X))=f(\exp(X))}
Lie( G )に属するすべての X について、"exp"は 指数写像 である。
嘘 （ カー （ ふ ） ） = カー （ d ふ ）
{\displaystyle \operatorname {嘘} (\ker(f))=\ker(df)}
[4 ] f の像 が閉じている場合、 [5] 、 [6] であり 、 第一同型定理 が成り立つ： fは リー群の同型性を誘導する：
嘘 （ im
(
f
)
)
=
im
(
d
f
)
{\displaystyle \operatorname {Lie} (\operatorname {im} (f))=\operatorname {im} (df)}
G
/
ker
(
f
)
→
im
(
f
)
.
{\displaystyle G/\ker(f)\to \operatorname {im} (f).}
連鎖律 は 成り立ちます。つまり 、 と が リー群準同型であれば、 となります 。
f
:
G
→
H
{\displaystyle f:G\to H}
g
:
H
→
K
{\displaystyle g:H\to K}
d
(
g
∘
f
)
=
(
d
g
)
∘
(
d
f
)
{\displaystyle d(g\circ f)=(dg)\circ (df)}
特に、 H が リー群 G の閉部分群 [7] である場合、 は のリー部分代数です 。また、 f が単射である場合、 f は 浸漬 であり 、したがって G は H の浸漬 (リー) 部分群であると言われています 。たとえば、は H の浸漬部分群です 。 fが 射影 である場合、 f は 浸漬で あり、さらに G が コンパクトである場合、 fは構造群を核とする 主束 です 。 ( エーレスマンの補題 )
Lie
(
H
)
{\displaystyle \operatorname {Lie} (H)}
Lie
(
G
)
{\displaystyle \operatorname {Lie} (G)}
G
/
ker
(
f
)
{\displaystyle G/\ker(f)}
その他のプロパティ をリー群と射影の 直積 と します 。すると、微分によって 標準的な同一視が得られます。
G
=
G
1
×
⋯
×
G
r
{\displaystyle G=G_{1}\times \cdots \times G_{r}}
p
i
:
G
→
G
i
{\displaystyle p_{i}:G\to G_{i}}
d
p
i
:
Lie
(
G
)
→
Lie
(
G
i
)
{\displaystyle dp_{i}:\operatorname {Lie} (G)\to \operatorname {Lie} (G_{i})}
Lie
(
G
1
×
⋯
×
G
r
)
=
Lie
(
G
1
)
⊕
⋯
⊕
Lie
(
G
r
)
.
{\displaystyle \operatorname {Lie} (G_{1}\times \cdots \times G_{r})=\operatorname {Lie} (G_{1})\oplus \cdots \oplus \operatorname {Lie} (G_{r}).}
がリー群のリー部分群である 場合、
H
,
H
′
{\displaystyle H,H'}
Lie
(
H
∩
H
′
)
=
Lie
(
H
)
∩
Lie
(
H
′
)
.
{\displaystyle \operatorname {Lie} (H\cap H')=\operatorname {Lie} (H)\cap \operatorname {Lie} (H').}
G を 連結リー群と する。H が リー群であれば、任意のリー群準同型は その微分 によって一意に決定される。正確には、 指数写像 （および H に対して ）が存在し、 かつ となり 、 G は連結であるため、これによって f が 一意に決定される。 [8] 一般に、 U が連結位相群 G の単位元の近傍である場合 、 前者は開（したがって閉）部分群であるため、は G と一致します。ここで、 は零ベクトルの近傍から単位元の近傍への局所同型を定義します。たとえば、 G がサイズ n の可逆な実正方行列のリー群 （ 一般線型群 ）である場合、 はサイズ n および の実正方行列のリー代数です 。
f
:
G
→
H
{\displaystyle f:G\to H}
d
f
{\displaystyle df}
exp
:
Lie
(
G
)
→
G
{\displaystyle \exp :\operatorname {Lie} (G)\to G}
f
(
exp
(
X
)
)
=
exp
(
d
f
(
X
)
)
{\displaystyle f(\exp(X))=\exp(df(X))}
⋃
n
>
0
U
n
{\textstyle \bigcup _{n>0}U^{n}}
exp
:
Lie
(
G
)
→
G
{\displaystyle \exp :\operatorname {Lie} (G)\to G}
Lie
(
G
)
{\displaystyle \operatorname {Lie} (G)}
exp
(
X
)
=
e
X
=
∑
0
∞
X
j
/
j
!
{\textstyle \exp(X)=e^{X}=\sum _{0}^{\infty }{X^{j}/j!}}
通信 リー群とリー代数間の対応には、次の 3 つの主な結果が含まれます。
リーの第三定理 : 任意の有限次元実リー代数は、ある 単連結リー群 のリー代数である。 [9] 準同型定理 ： が リー代数準同型であり、 Gが 単連結である場合、 となる （唯一の）リー群準同型が存在する 。 [10]
ϕ
:
Lie
(
G
)
→
Lie
(
H
)
{\displaystyle \phi :\operatorname {Lie} (G)\to \operatorname {Lie} (H)}
f
:
G
→
H
{\displaystyle f:G\to H}
ϕ
=
d
f
{\displaystyle \phi =df}
部分群-部分代数定理 ： G がリー群であり、 がのリー部分代数である場合、 リー代数を持つ G の 唯一の連結なリー部分群（必ずしも閉じている必要はない） H が存在する。 [11]
h
{\displaystyle {\mathfrak {h}}}
Lie
(
G
)
{\displaystyle \operatorname {Lie} (G)}
h
{\displaystyle {\mathfrak {h}}}
対応の2番目の部分では、 G が単連結であるという仮定を省略することはできない。例えば、SO(3)とSU(2)のリー代数は同型であるが [12] 、SO(3)からSU(2)への対応する準同型はない。 [13] むしろ、準同型は単連結群SU(2)から非単連結群SO(3)に向かう。 [14] G と Hが 両方とも単連結で同型リー代数を持つ場合、上記の結果から G と H が同型であることを示すことができる 。 [15] fを 構築する1つの方法は、 ベイカー・キャンベル・ハウスドルフ公式 を使用することである 。 [16]
圏論 に詳しい読者のために、 対応関係を次のようにまとめることができる。まず、各 連結 リー群に そのリー代数を 、また各 リー群の準同型に 中立元における対応する微分を関連付ける操作は、連結（実）リー群の 圏 から
有限次元（実）リー代数の圏への
（共変） 関手である。この関手は、（有限次元）リー代数からリー群への 左 随伴関手 を持つ（これは、標準同型性を除いて必然的に一意である）。言い換えれば、双関手の自然な同型性が存在する。
G
{\displaystyle G}
L
i
e
(
G
)
{\displaystyle Lie(G)}
f
{\displaystyle f}
L
i
e
(
f
)
=
d
f
e
{\displaystyle Lie(f)=df_{e}}
L
i
e
{\displaystyle Lie}
Γ
{\displaystyle \Gamma }
H
o
m
C
L
G
r
p
(
Γ
(
g
)
,
H
)
≅
H
o
m
L
A
l
g
(
g
,
L
i
e
(
H
)
)
.
{\displaystyle \mathrm {Hom} _{CLGrp}(\Gamma ({\mathfrak {g}}),H)\cong \mathrm {Hom} _{LAlg}({\mathfrak {g}},Lie(H)).}
Γ
(
g
)
{\displaystyle \Gamma ({\mathfrak {g}})}
は、リー代数 を持つ（同型を除いて一意な）単連結リー群です 。 随伴 の関連する自然 単位 射は 同型であり、これは 完全に忠実 であることに対応します
（上記の2番目のステートメントの一部）。 対応する余 単位は、 単連結被覆 からの
標準射影です
。 その全射性は、 忠実な関手であること
に対応します。
g
{\displaystyle {\mathfrak {g}}}
ϵ
:
g
→
L
i
e
(
Γ
(
g
)
)
{\displaystyle \epsilon \colon {\mathfrak {g}}\rightarrow Lie(\Gamma ({\mathfrak {g}}))}
Γ
{\displaystyle \Gamma }
Γ
(
L
i
e
(
H
)
)
→
H
{\displaystyle \Gamma (Lie(H))\rightarrow H}
H
~
→
H
{\displaystyle {\widetilde {H}}\rightarrow H}
L
i
e
{\displaystyle Lie}
リーの第3定理の証明 おそらく、上記の最初の結果の最もエレガントな証明は 、任意の有限次元リー代数（任意の特性を持つ体上）は正方行列のリー代数のリー部分代数であるという、 アドーの定理 を使用するものです。証明は次のようになります。アドーの定理により、 は リー部分代数であると仮定します。G を によって生成されるの閉じた（閉包を取らないと、トーラスの無理数巻きの場合のように病的な稠密な例を得ることができます）部分群 とし 、 を G の 単連結被覆 とします。 が リー群であり、被覆写像がリー群準同型であることを 示すのは難しくありません。 であるため 、これで証明が完了します。
g
l
n
{\displaystyle {\mathfrak {gl}}_{n}}
g
⊂
g
l
n
(
R
)
=
Lie
(
G
L
n
(
R
)
)
{\displaystyle {\mathfrak {g}}\subset {\mathfrak {gl}}_{n}(\mathbb {R} )=\operatorname {Lie} (GL_{n}(\mathbb {R} ))}
G
L
n
(
R
)
{\displaystyle GL_{n}(\mathbb {R} )}
e
g
{\displaystyle e^{\mathfrak {g}}}
G
~
{\displaystyle {\widetilde {G}}}
G
~
{\displaystyle {\widetilde {G}}}
T
e
G
~
=
T
e
G
=
g
{\displaystyle T_{e}{\widetilde {G}}=T_{e}G={\mathfrak {g}}}
例: リー代数の各元 Xは リー代数準同型を生じる。
g
=
Lie
(
G
)
{\displaystyle {\mathfrak {g}}=\operatorname {Lie} (G)}
R
→
g
,
t
↦
t
X
.
{\displaystyle \mathbb {R} \to {\mathfrak {g}},\,t\mapsto tX.}
リーの第3定理によれば、 および exp が恒等写像であるので、この準同型写像は、 G の何らかのはめ込み部分群 H に対するリー群準同型の微分である 。このリー群準同型写像は、 X によって生成される 1パラメータ部分群 と呼ばれ、指数写像そのものであり 、 H はその像である。以上のことをまとめると、 と G の1パラメータ部分群の集合 の間には標準的な全単射対応が存在するということである 。 [17]
Lie
(
R
)
=
T
0
R
=
R
{\displaystyle \operatorname {Lie} (\mathbb {R} )=T_{0}\mathbb {R} =\mathbb {R} }
R
→
H
{\displaystyle \mathbb {R} \to H}
t
↦
exp
(
t
X
)
{\displaystyle t\mapsto \exp(tX)}
g
{\displaystyle {\mathfrak {g}}}
準同型定理の証明 リー群とリー代数の対応（準同型定理）の2番目の部分を証明する1つの方法は、 ホールの本のセクション5.7にあるように、 ベイカー・キャンベル・ハウスドルフの公式を使用することです。 [18] 具体的には、から への リー 代数準同型が与えられた場合、 局所的に（つまり、恒等式の近傍で） を次の式で
定義できます。
ϕ
{\displaystyle \phi }
Lie
(
G
)
{\displaystyle \operatorname {Lie} (G)}
Lie
(
H
)
{\displaystyle \operatorname {Lie} (H)}
f
:
G
→
H
{\displaystyle f:G\to H}
f
(
e
X
)
=
e
ϕ
(
X
)
,
{\displaystyle f(e^{X})=e^{\phi (X)},}
ここで は G の指数写像であり 、その逆写像は恒等写像の近くで定義される。ここで f は 局所準同型写像であると主張する。したがって、恒等写像の近くにある 2 つの元と ( X と Y は小さい)が与えられ 、それらの積 を考える 。ベイカー・キャンベル・ハウスドルフの公式によれば 、 となる。ここで
e
X
{\displaystyle e^{X}}
e
X
{\displaystyle e^{X}}
e
Y
{\displaystyle e^{Y}}
e
X
e
Y
{\displaystyle e^{X}e^{Y}}
e
X
e
Y
=
e
Z
{\displaystyle e^{X}e^{Y}=e^{Z}}
Z
=
X
+
Y
+
1
2
[
X
,
Y
]
+
1
12
[
X
,
[
X
,
Y
]
]
+
⋯
,
{\displaystyle Z=X+Y+{\frac {1}{2}}[X,Y]+{\frac {1}{12}}[X,[X,Y]]+\cdots ,}
は、 X と Yを 含む繰り返し交換子として表現される他の項を示します 。したがって、
⋯
{\displaystyle \cdots }
f
(
e
X
e
Y
)
=
f
(
e
Z
)
=
e
ϕ
(
Z
)
=
e
ϕ
(
X
)
+
ϕ
(
Y
)
+
1
2
[
ϕ
(
X
)
,
ϕ
(
Y
)
]
+
1
12
[
ϕ
(
X
)
,
[
ϕ
(
X
)
,
ϕ
(
Y
)
]
]
+
⋯
,
{\displaystyle f\left(e^{X}e^{Y}\right)=f\left(e^{Z}\right)=e^{\phi (Z)}=e^{\phi (X)+\phi (Y)+{\frac {1}{2}}[\phi (X),\phi (Y)]+{\frac {1}{12}}[\phi (X),[\phi (X),\phi (Y)]]+\cdots },}
はリー代数準同型な ので、 ベイカー・キャンベル・ハウスドルフの公式 を再び用いて、今度は群 H について、この最後の式は となり 、したがって、
ϕ
{\displaystyle \phi }
e
ϕ
(
X
)
e
ϕ
(
Y
)
{\displaystyle e^{\phi (X)}e^{\phi (Y)}}
f
(
e
X
e
Y
)
=
e
ϕ
(
X
)
e
ϕ
(
Y
)
=
f
(
e
X
)
f
(
e
Y
)
.
{\displaystyle f\left(e^{X}e^{Y}\right)=e^{\phi (X)}e^{\phi (Y)}=f\left(e^{X}\right)f\left(e^{Y}\right).}
したがって、 少なくとも X と Yが十分に小さい場合、 f は 準同型性を持ちます。指数写像は G の単位元の小さな近傍でのみ逆変換可能であり、ベイカー・キャンベル・ハウスドルフの公式は X と Yが小さい場合にのみ成立するため、この議論は局所的です。G が 単連結であるという仮定は まだ使用されていません。
議論の次の段階は、 f を 局所準同型から大域準同型に拡張することです。拡張は 、パスに沿って f を定義し、次に G の単純連結性を使用して定義がパスの選択に依存しないことを示すことによって行われます。
リー群表現 リー対応の特殊なケースは、リー群の
有限次元表現 と関連するリー代数の表現との間の対応です。
一般線型群は （実） リー群 であり、任意のリー群準同型
G
L
n
(
C
)
{\displaystyle GL_{n}(\mathbb {C} )}
π
:
G
→
G
L
n
(
C
)
{\displaystyle \pi :G\to GL_{n}(\mathbb {C} )}
はリー群 G の表現と呼ばれる。微分
d
π
:
g
→
g
l
n
(
C
)
,
{\displaystyle d\pi :{\mathfrak {g}}\to {\mathfrak {gl}}_{n}(\mathbb {C} ),}
は、リー代数準同型であり、 リー代数表現 と呼ばれます。(微分は 、単に と表記されることが多いです 。)
d
π
{\displaystyle d\pi }
π
′
{\displaystyle \pi '}
準同型定理（リー群-リー代数対応の一部として上で言及）によれば、 がリー代数が である単連結リー群である場合 、の すべての 表現は G の表現から生じます。 G が単連結であるという仮定は 不可欠です。たとえば、単連結ではない回転群 SO(3) を考えてみましょう。各次元にはリー代数の既約表現が 1 つありますが、リー代数の奇数次元表現のみが群の表現から生じます。 [19] （この観察は、量子力学における 整数スピンと半整数スピン の区別に関連しています。）一方、群 SU(2)は SO(3) のリー代数と同型なリー代数と単連結であるため、SO(3) のリー代数のすべての表現は SU(2) の表現 を生じます 。
G
{\displaystyle G}
g
{\displaystyle {\mathfrak {g}}}
g
{\displaystyle {\mathfrak {g}}}
随伴表現 リー群表現の一例は、 リー群 Gの 随伴表現 です。リー群 G の各元 g は 、共役により G の自己同型を定義します。したがって、 微分は リー代数 の自己同型です 。このようにして、随伴表現と呼ばれる表現 が得られます 。対応するリー代数準同型はの 随伴表現 と 呼ばれ 、 と表記されます 。 を示すことができ、これは特に、 のリー括弧が G 上の 群法則 によって決定されること を意味します 。
c
g
(
h
)
=
g
h
g
−
1
{\displaystyle c_{g}(h)=ghg^{-1}}
d
c
g
{\displaystyle dc_{g}}
g
{\displaystyle {\mathfrak {g}}}
Ad
:
G
→
G
L
(
g
)
,
g
↦
d
c
g
{\displaystyle \operatorname {Ad} :G\to GL({\mathfrak {g}}),\,g\mapsto dc_{g}}
g
→
g
l
(
g
)
{\displaystyle {\mathfrak {g}}\to {\mathfrak {gl}}({\mathfrak {g}})}
g
{\displaystyle {\mathfrak {g}}}
ad
{\displaystyle \operatorname {ad} }
ad
(
X
)
(
Y
)
=
[
X
,
Y
]
{\displaystyle \operatorname {ad} (X)(Y)=[X,Y]}
g
{\displaystyle {\mathfrak {g}}}
リーの第3定理により、リー代数が である 部分 群が存在する 。 （ は一般には閉部分群ではなく、はめ込み部分群のみである。）これは の 随伴群 と呼ばれる。 [20] G が連結である場合 、それは正確な数列に適合する。
Int
(
g
)
{\displaystyle \operatorname {Int} ({\mathfrak {g}})}
G
L
(
g
)
{\displaystyle GL({\mathfrak {g}})}
ad
(
g
)
{\displaystyle \operatorname {ad} ({\mathfrak {g}})}
Int
(
g
)
{\displaystyle \operatorname {Int} ({\mathfrak {g}})}
g
{\displaystyle {\mathfrak {g}}}
0
→
Z
(
G
)
→
G
→
Ad
Int
(
g
)
→
0
{\displaystyle 0\to Z(G)\to G\xrightarrow {\operatorname {Ad} } \operatorname {Int} ({\mathfrak {g}})\to 0}
ここで は G の中心です。G の 中心が 離散的である場合、ここでの Ad は被覆写像です。
Z
(
G
)
{\displaystyle Z(G)}
Gを 連結リー群と する。このとき、 G が ユニモジュラ群となるのは、 G の任意 の g に対してであるときのみである 。 [21]
det
(
Ad
(
g
)
)
=
1
{\displaystyle \det(\operatorname {Ad} (g))=1}
G を多様体 X に作用するリー群とし 、 G x を X 内の 点 x の安定化集合とする 。 とする と、
ρ
(
x
)
:
G
→
X
,
g
↦
g
⋅
x
{\displaystyle \rho (x):G\to X,\,g\mapsto g\cdot x}
Lie
(
G
x
)
=
ker
(
d
ρ
(
x
)
:
T
e
G
→
T
x
X
)
.
{\displaystyle \operatorname {Lie} (G_{x})=\ker(d\rho (x):T_{e}G\to T_{x}X).}
軌道 が局所的に閉じている場合、軌道は X との部分多様体である 。 [22]
G
⋅
x
{\displaystyle G\cdot x}
T
x
(
G
⋅
x
)
=
im
(
d
ρ
(
x
)
:
T
e
G
→
T
x
X
)
{\displaystyle T_{x}(G\cdot x)=\operatorname {im} (d\rho (x):T_{e}G\to T_{x}X)}
または G の 部分集合 A について、
g
{\displaystyle {\mathfrak {g}}}
z
g
(
A
)
=
{
X
∈
g
∣
ad
(
a
)
X
=
0
or
Ad
(
a
)
X
=
0
for all
a
in
A
}
{\displaystyle {\mathfrak {z}}_{\mathfrak {g}}(A)=\{X\in {\mathfrak {g}}\mid \operatorname {ad} (a)X=0{\text{ or }}\operatorname {Ad} (a)X=0{\text{ for all }}a{\text{ in }}A\}}
Z
G
(
A
)
=
{
g
∈
G
∣
Ad
(
g
)
a
=
0
or
g
a
=
a
g
for all
a
in
A
}
{\displaystyle Z_{G}(A)=\{g\in G\mid \operatorname {Ad} (g)a=0{\text{ or }}ga=ag{\text{ for all }}a{\text{ in }}A\}}
を
A のリー代数中心化子、リー群中心化子とします 。
Lie
(
Z
G
(
A
)
)
=
z
g
(
A
)
{\displaystyle \operatorname {Lie} (Z_{G}(A))={\mathfrak {z}}_{\mathfrak {g}}(A)}
H が G の閉じた連結部分群である 場合 、 が イデアルである場合に限り、 H が正規であり、そのような場合には となります 。
Lie
(
H
)
{\displaystyle \operatorname {Lie} (H)}
Lie
(
G
/
H
)
=
Lie
(
G
)
/
Lie
(
H
)
{\displaystyle \operatorname {Lie} (G/H)=\operatorname {Lie} (G)/\operatorname {Lie} (H)}
アーベルリー群 G を 連結リー群とする 。G の中心のリー代数は G のリー代数の中心である (前の § を参照) ので 、 G が アーベル で ある ためには、そのリー代数がアーベルである必要があります。
G が アーベル写像ならば 、指数写像は 全射群準同型である。 [23] その核は離散群（次元がゼロなので）であり、 G の整数格子と呼ばれ、 と表記される 。第一同型定理により、 同型 が導かれる 。
exp
:
g
→
G
{\displaystyle \exp :{\mathfrak {g}}\to G}
Γ
{\displaystyle \Gamma }
exp
{\displaystyle \exp }
g
/
Γ
→
G
{\displaystyle {\mathfrak {g}}/\Gamma \to G}
剛性論によれば、 連結リー群 Gの 基本群は G の 単連結被覆の中心部分群である 。言い換えれば、 G は 中心拡大 に当てはまる。
π
1
(
G
)
{\displaystyle \pi _{1}(G)}
G
~
{\displaystyle {\widetilde {G}}}
1
→
π
1
(
G
)
→
G
~
→
p
G
→
1.
{\displaystyle 1\to \pi _{1}(G)\to {\widetilde {G}}{\overset {p}{\to }}G\to 1.}
同様に、リー代数と、 リー代数が である 単連結リー群 が与えられた場合、 離散中心部分群による の商と、リー代数 を持つ連結リー群と の間には 1 対 1 の対応が存在します 。
g
{\displaystyle {\mathfrak {g}}}
G
~
{\displaystyle {\widetilde {G}}}
g
{\displaystyle {\mathfrak {g}}}
G
~
{\displaystyle {\widetilde {G}}}
g
{\displaystyle {\mathfrak {g}}}
複素数の場合、 複素トーラス が重要です。 このトピックについては、
複素リー群を参照してください。
コンパクトリー群 G を 有限の中心を持つ連結リー群とします。このとき、以下は同値です
。
G はコンパクトです。 (ワイル) G の 単連結被覆は コンパクトである。
G
~
{\displaystyle {\widetilde {G}}}
随伴群は コンパクトです。
Int
g
{\displaystyle \operatorname {Int} {\mathfrak {g}}}
閉じた部分群として 埋め込みが存在します。
G
↪
O
(
n
,
R
)
{\displaystyle G\hookrightarrow O(n,\mathbb {R} )}
の Killing 形式 は 負定値です。
g
{\displaystyle {\mathfrak {g}}}
の 各 X に対して、は 対角化可能 であり 、ゼロまたは純虚数の固有値を持ちます。
g
{\displaystyle {\mathfrak {g}}}
ad
(
X
)
{\displaystyle \operatorname {ad} (X)}
上に不変内積が存在する 。
g
{\displaystyle {\mathfrak {g}}}
前述の条件の同値性は、 G が有限の中心を持つという仮定のもとでのみ成り立つことを強調することが重要です 。したがって、たとえば、 G が 有限の中心 を持つ コンパクトである場合 、普遍被覆もコンパクトです。明らかに、この結論は 、たとえば のように G が 無限の中心を持つ場合には成り立ちません 。上記の最後の 3 つの条件は、本質的に純粋にリー代数的なものです。
G
~
{\displaystyle {\widetilde {G}}}
G
=
S
1
{\displaystyle G=S^{1}}
Gが コンパクトリー群で
あれば、
H
k
(
g
;
R
)
=
H
dR
(
G
)
{\displaystyle H^{k}({\mathfrak {g}};\mathbb {R} )=H_{\text{dR}}(G)}
ここで、左辺はの リー代数コホモロジー であり 、右辺は G の de Rham コホモロジーです。(大まかに言えば、これは G 上の任意の微分形式が平均化の議論によって
左不変に できるという 事実の結果です。)
g
{\displaystyle {\mathfrak {g}}}
G を リー群と する。G の付随リー代数は 次のように定義することもできる。G 上の 超 関数 の代数 で、単位元に台があり、乗算が 畳み込みで与えられる もの としよう。 は実際には ホップ代数 である。すると G のリー代数は 、つまり の原始元のリー代数 となる 。 [ 24 ] ミルナー ・ ムーア の定理 により、 の 普遍包絡代数 と の間には 標準同型性が成立する 。
Lie
(
G
)
{\displaystyle \operatorname {Lie} (G)}
A
(
G
)
{\displaystyle A(G)}
A
(
G
)
{\displaystyle A(G)}
g
=
Lie
(
G
)
=
P
(
A
(
G
)
)
{\displaystyle {\mathfrak {g}}=\operatorname {Lie} (G)=P(A(G))}
A
(
G
)
{\displaystyle A(G)}
U
(
g
)
=
A
(
G
)
{\displaystyle U({\mathfrak {g}})=A(G)}
g
{\displaystyle {\mathfrak {g}}}
A
(
G
)
{\displaystyle A(G)}
参照
引用
^ ヘルガソン 1978、Ch. II、§ 2、命題 2.7。 ^ ホール 2015 セクション 3.3 ' ^ より一般的には、 Hが H の閉部分群で 、
Lie
(
f
−
1
(
H
′
)
)
=
(
d
f
)
−
1
(
Lie
(
H
′
)
)
.
{\displaystyle \operatorname {Lie} (f^{-1}(H'))=(df)^{-1}(\operatorname {Lie} (H')).}
^ この要件は省略できません。https://math.stackexchange.com/q/329753 も参照してください。 ^ ブルバキ 1981、第 III 章、§ 3、第 8 項、命題 28 ^ ブルバキ 1981、Ch. III、§ 1、命題 5 ^ ホール 2015 補論 3.49 ^ ホール 2015 定理 5.25 ^ ホール 2015 定理 5.6 ^ ホール 2015 定理 5.20 ^ ホール 2015 例 3.27 ^ ホール 2015 提案 4.35 ^ ホール 2015 セクション 1.4 ^ ホール 2015 系 5.7 ^ ホール 2015 セクション 5.7 ^ ホール 2015 定理 2.14 ^ ホール 2015 ^ ホール 2015、セクション 4.7 ^ ヘルガソン 1978、第 II 章、§ 5 ^ Bourbaki 1981、第III章、§3、第16項、命題55の系。 ^ ブルバキ 1981、第III章、§1、第7項、命題14。 ^ は アーベルな ので、これは射影的です 。
exp
(
g
)
n
=
exp
(
g
)
{\displaystyle \exp({\mathfrak {g}})^{n}=\exp({\mathfrak {g}})}
g
{\displaystyle {\mathfrak {g}}}
^ ブルバキ 1981、Ch. III、§ 3. いいえ。 7
参考文献
Bourbaki, N. (1981)、 Groupes et Algèbres de Lie (Chapitre 3) 、Éléments de Mathématique、Hermann ドゥイスターマート、JJ; Kolk, A. (2000)、 リー群 、Universitext、Springer、 doi :10.1007/978-3-642-56936-4、 ISBN 3540152938 ホール、ブライアン C. (2015)、 リー群、リー代数、および表現: 初等入門 、Graduate Texts in Mathematics、vol. 222 (第 2 版)、Springer、 doi :10.1007/978-3-319-13467-3、 ISBN 978-3319134666 ヘルガソン、シグルドゥル （1978）、 微分幾何学、リー群と対称空間 、アカデミックプレス、 ISBN 0-12-338460-5 Lee, John M. (2012). 滑らかな多様体入門 . 数学の大学院テキスト . 第218巻（第2版）. ニューヨーク・ロンドン: Springer-Verlag . ISBN 978-1-4419-9981-8 . OCLC 808682771.
外部リンク 数学 261A リー群とリー代数のノート ポポフ、VL (2001) [1994]、「解析群のリー代数」、 数学百科事典 、 EMS プレス 特性ゼロにおける形式リー理論、Akhil Mathew のブログ投稿
![{\displaystyle [X,Y]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/94470b44d283fde62130212956058ca6b727da37)
![{\displaystyle Z=X+Y+{\frac {1}{2}}[X,Y]+{\frac {1}{12}}[X,[X,Y]]+\cdots ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dd974188ca2ee906d8c10114412bdc89b0db637a)
![{\displaystyle f\left(e^{X}e^{Y}\right)=f\left(e^{Z}\right)=e^{\phi (Z)}=e^{\phi ( X)+\ファイ (Y)+{\frac {1}{2}}[\ファイ (X),\ファイ (Y)]+{\frac {1}{12}}[\ファイ (X), [\ファイ(X),\ファイ(Y)]]+\cdots },}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5fefcf1626b90627b238ff0704f97f4d628412dc)
![{\displaystyle \operatorname {広告} (X)(Y)=[X,Y]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/48f6f7adacc5f247bf2c949d98793e5ddeaf35c3)
