補完グループ

数学の群論の分野では、補群という用語は2 つの異なるが類似した意味で使用されます。

(Hall 1937) では、補群とは、すべての部分群が群論的な補群を持つ群のことである。このような群は、(Baeva 1953) や (Černikov 1953) に従って、ロシアの文献では完全に因数分解可能な群と呼ばれている。

以下は任意の有限群 Gに対して同値である。

• Gは補完される
• Gは平方自由順序の群の直積の部分群である（ Z群の特殊なタイプ）
• G は、基本的なアーベルSylow 部分群( A 群の特殊なタイプ)を持つ超可解群です(Hall 1937、定理 1 および 2)。

その後、(Zacher 1953) では、部分群の束が補完束である場合、つまり、すべての部分群Hに対して、 H ∩ K = 1 かつ ⟨ H , K ⟩ が全体の群となるような部分群Kが存在する場合、群は補完的であると 言われる。ホールの定義では、さらにHとKが入れ替わること、つまりHK = {  hk  : h in H , k in K } が部分群を形成することが要求された。このような群は、イタリア語や格子理論の文献ではK 群 とも呼ばれ、例えば (Schmidt 1994、pp. 114–121、第 3.1 章) などである。K群のFrattini 部分群は自明である。群にK 群である核のない最大部分群がある場合、その群自体は K 群である。したがって、K 群の部分群は K 群である必要はありませんが、K 群の商群と直積は K 群です (Schmidt 1994、pp. 115–116)。 (Costantini & Zacher 2004) では、すべての有限単純群は補群であることが示されています。有限単純群の分類では、K群は、その適切な部分群が既知の有限単純群の間でのみ構成因子を持つ群を意味するために使用されることが多いことに注意してください。

補集合ではない群の例としては、位数p ²の巡回群（ pは素数）が挙げられます。この群には、位数pの巡回群という非自明な部分群Hが 1 つだけあるため、 Hの補集合となる他の部分群L は存在しません。

• Baeva, NV (1953)、「完全に因数分解可能な群」、Doklady Akademii Nauk SSSR、新シリーズ、92 : 877–880、MR  0059275
• チェルニコフ、SN (1953)、「補完的部分群のシステムを持つ群」、Doklady Akademii Nauk SSSR、新シリーズ、92 : 891–894、MR  0059276
• コスタンティーニ、マウロ、ザッハー、ジョヴァンニ (2004)、「有限単純群は補完的部分群格子を持つ」、パシフィック・ジャーナル・オブ・マスマティクス、213 (2): 245–251、doi : 10.2140/pjm.2004.213.245、hdl : 11577/1341437、ISSN  0030-8730、MR  2036918
• ホール、フィリップ (1937)、「補完群」、J. ロンドン数学協会、12 (3): 201–204、doi :10.1112/jlms/s1-12.2.201、Zbl  0016.39301
• Schmidt、Roland (1994)、「群のサブグループ格子」、Expositions in Math、vol. 14、ウォルター・デ・グルイター、ISBN 978-3-11-011213-9、MR  1292462
• ザッハー、ジョヴァンニ (1953)、「Caratterizzazione dei gruppi risolubi d'ordine finito Complementati」、Rendiconti del seminario Matematico della Università di Padova、22 : 113–122、ISSN  0041-8994、MR  0057878