アルフォースの有限性定理

クライン群の数学的理論において、アルフォース有限性定理は不連続領域の有限生成クライン群による商を記述する。この定理は、グリーンバーグ (1967) によって埋められたギャップを除いて、ラース・アルフォース (1964、1965) によって証明された。

アルフォースの有限性定理は、Γ が不連続領域 Ω を持つ有限生成クライン群である場合、Ω/Γ には有限個の成分があり、各成分は有限個の点が除去されたコンパクトなリーマン面であると述べています。

ベルスの面積不等式は、リップマン・ベルス（1967a）によって証明されたアルフォース有限性定理の量的改良である。これは、ΓがN個の生成元と不連続領域Ωを持つ 非基本有限生成クライン群である場合、

面積(Ω/Γ) ≤ 4π( N − 1)

ショットキー群に対してのみ等式が成り立つ。（面積は各成分のポアンカレ計量によって与えられる。）さらに、Ω ₁が不変成分であれば、

面積(Ω/Γ) ≤ 2面積(Ω ₁ /Γ)

等式は第一種フックス群に対してのみ成り立ちます（したがって、特に不変成分は最大で 2 つまでです）。

• アルフォース、ラース V. (1964)、「有限生成クライン群」、アメリカ数学誌、86 (2): 413–429、doi :10.2307/2373173、ISSN  0002-9327、JSTOR  2373173、MR  0167618
• アルフォース、ラース（1965）「「有限生成クライン群」の訂正」"、アメリカ数学ジャーナル、87（3）：759、doi：10.2307 / 2373073、ISSN  0002-9327、JSTOR  2373073、MR  0180675
• Bers, Lipman (1967a)、「有限生成クライン群の不等式」、Journal d'Analyse Mathématique、18 : 23–41、doi : 10.1007/BF02798032、ISSN  0021-7670、MR  0229817
• Bers, Lipman (1967b)、「Ahlfors の有限性定理について」、American Journal of Mathematics、89 (4): 1078–1082、doi :10.2307/2373419、ISSN  0002-9327、JSTOR  2373419、MR  0222282
• グリーンバーグ、L. (1967)、「アルフォースの定理とクライン群の共役部分群について」、アメリカ数学誌、89 (1): 56–68、doi :10.2307/2373096、ISSN  0002-9327、JSTOR  2373096、MR  0209471