正規分布 N (0, σ 2 )の箱ひげ図 と確率密度関数。任意の単峰性確率密度関数の最頻値 、中央値 、平均値 の幾何学的可視化。 [ 1 ] 確率論 において、絶対的に連続な確率変数 の確率密度関数 （PDF ）、密度関数 、または単に密度 とは、標本空間 （確率変数が取りうる値の集合）内の任意の点における値が、その点における確率変数の値の「相対確率」を示すものとして解釈できる関数 です。つまり、確率密度は単位長さあたりの確率です。連続的な確率変数 が特定の値をとる（絶対）確率はゼロです。したがって、2つの異なる標本におけるPDFの値を用いることで、確率変数の任意の抽出において、一方の点が他方の点よりもどれだけ近いかを推測することができます。
より正確には、PDFは、確率変数が 特定の値の範囲内に 収まる確率、つまり任意の値を取る確率ではなく、その範囲内の値を取る確率を指定するために使用されます。この確率は、連続変数のPDFをその範囲で積分する ことによって与えられます。ここで、積分とは、その範囲の最小値と最大値の間の密度関数の下の非負の面積です。PDFはどこでも非負であり、曲線全体の下の面積は1に等しいため、確率変数が可能な値の範囲内に収まる確率は100%となります。
確率分布関数 と確率関数 という用語は、確率密度関数を表すこともあります。ただし、この用法は確率論者や統計学者の間では標準ではありません。他の資料では、「確率分布関数」は、確率分布が一般的な値の集合上の関数として定義されている場合、 累積分布関数 (CDF)を指す場合、または密度ではなく確率質量関数(PMF) を指す場合があります。 密度関数 自体も確率質量関数に使用されるため、さらに混乱が生じます。[ 2 ] 離散確率変数( 可算集合 上の値をとる確率変数) の文脈で使用され、PDF は連続確率変数の文脈で使用されます。PMF と PDF はどちらも統計的推論 の基本概念です。
例 連続確率密度関数の例を4つ示す。 ある特定の種類の細菌は通常20～30時間生存するとします。細菌がちょうど 5時間生存する確率はゼロです（これは記録された観測値ではなく、理想化された実数値変数について話しているのです）。多くの細菌は約5時間生存しますが、特定の細菌がちょうど5.00...時間（無限の精度で測定）で死ぬ可能性はありません。しかし、細菌が5時間から5.01時間の間に死ぬ確率は定量化できます。答えが0.02（つまり2%）だとします。すると、細菌が5時間から5.001時間の間に死ぬ確率は約0.002になるはずです。なぜなら、この時間間隔は前の時間間隔の10分の1の長さだからです。細菌が5時間から5.0001時間の間に死ぬ確率は約0.0002になるはずです。
この例では、比率（ある時間間隔中に死亡する確率）／（時間間隔の長さ）はほぼ一定で、1時間あたり2（または2時間⁻¹ ）に等しくなります。例えば、5時間と5.01時間の間の0.01時間間隔で死亡する確率は0.02であり、（0.02の確率／0.01時間）＝2時間⁻¹ となります。この2時間⁻¹ という量は、約5時間で死亡する確率密度と呼ばれます。したがって、細菌が5時間で死亡する確率は、（2時間⁻¹ ）dtと表すことができます。これは、細菌が約5時間の 微小な 時間窓内で死亡する確率であり、 dtは この時間窓の長さです。例えば、5時間より長く、かつ（5時間＋1ナノ秒）より短い時間生存する確率は、（2時間⁻¹ ）×（1ナノ秒）≈× 10 −13 単位変換を使用) × 10¹²ナノ秒
確率密度関数fがあり、 f (5 時間) = 2 時間−1 で表されます。任意の時間範囲 (微小な時間範囲だけでなく、大きな時間範囲も含む) にわたるf の積分 は、その時間範囲内で細菌が死滅する確率です。
詳細情報 確率とは異なり、確率密度関数は1より大きい値をとることができます。たとえば、区間[ 0, 1/2 ] 上の連続一様分布は、 0 ≤ x ≤ 1/2 のとき確率密度f ( x ) = 2 、それ以外のときはf ( x ) = 0 と なります。
標準正規分布の 確率密度関数はf （ x ） = 1 2 π e − x 2 / 2 。 {\displaystyle f(x)={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\,e^{-x^{2}/2}.}
確率変数X f X 期待値 (期待値が存在する場合) は次のように計算できます。E [ X ] = ∫ − ∞ ∞ x f （ x ） d x 。 {\displaystyle \operatorname {E} [X]=\int _{-\infty }^{\infty }x\,f(x)\,dx.}
すべての確率分布に密度関数があるわけではありません。離散確率変数 の分布には密度関数はありませんし、カントール分布 も離散的な要素を持たない、つまり個々の点に正の確率を割り当てないにもかかわらず、密度関数はありません。
分布の累積分布関数 F ( x )が絶対連続で ある場合、その分布は密度関数を持つ。[ 3 ] F ほとんど至るところで 微分可能で あり、その導関数を確率密度として使用できる。d d x F （ x ） = f （ x ） 。 \displaystyle {\frac {d}{dx}}F(x)=f(x).}
確率分布が密度を持つ場合、すべての1点集合{ a } の確率はゼロになります。これは有限集合および可算集合についても同様です。
2つの確率密度f gは 、ルベーグ 測度ゼロ の集合のみが異なる場合に限り、同じ確率分布 を表す。
統計物理学 の分野では、累積分布関数の導関数と確率密度関数との間の上記の関係を非形式的に再定式化したものが、一般的に確率密度関数の定義として用いられます。この代替定義は以下のとおりです。
dt が X が ( t , t + dt ) に含まれる確率はf ( t ) dt 教授 （ t < X < t + d t ） = f （ t ） d t 。 {\displaystyle \Pr(t<X<t+dt)=f(t)\,dt.}
離散分布と連続分布の関係 ディラックのデルタ関数を用いた 一般化 確率密度関数を用いることで、特定の離散確率変数や、連続部分と離散部分の両方を含む確率変数を表現することが可能です。（これは、上記で定義した意味での確率密度関数では不可能であり、分布 を用いることで可能です。）例えば、ラデマッハー分布 に従う二値離散確率変数 、すなわち、値がそれぞれ確率1/2で-1または 1 。 f （ t ） = 1 2 （ δ （ t + 1 ） + δ （ t − 1 ） ） 。 {\displaystyle f(t)={\frac {1}{2}}(\delta (t+1)+\delta (t-1)).}
より一般的に言えば、離散変数が実数の中から n個の異なる値をとることができる場合、それに対応する確率密度関数は次のようになります。 f （ t ） = ∑ 私 = 1 n p 私 δ （ t − x 私 ） 、 {\displaystyle f(t)=\sum _{i=1}^{n}p_{i}\,\delta (t-x_{i}),} x 1 、 … 、 x n {\displaystyle x_{1},\ldots ,x_{n}} p 1 、 … 、 p n {\displaystyle p_{1},\ldots ,p_{n}}
これにより、離散確率分布と連続確率分布の扱いが実質的に統一されます。上記の式を用いることで、連続確率分布に対して与えられた式を基に、離散変数の統計的特性（平均 、分散 、尖度 など）を決定することができます。
密度のファミリー 確率密度関数（および確率質量関数 ）は、パラメータ化される、つまり、指定されていないパラメータ によって特徴付けられることが一般的です。たとえば、正規分布は 平均 と分散 でパラメータ化され、で表されます。μ {\displaystyle \mu } σ 2 \displaystyle \sigma ^{2}} f （ x ; μ 、 σ 2 ） = 1 σ 2 π e − 1 2 （ x − μ σ ） 2 。 {\displaystyle f(x;\mu ,\sigma ^{2})={\frac {1}{\sigma {\sqrt {2\pi }}}}e^{-{\frac {1}{2}}\left({\frac {x-\mu }{\sigma }}\right)^{2}}.} 標本空間（変数のすべての可能な値の同じ集合）上の異なる 確率変数 の異なる分布を表します。この標本空間は、この分布族が記述する確率変数族の定義域です。与えられたパラメータのセットは、密度関数の形式を共有する族内の単一の分布を表します。与えられた分布の観点から見ると、パラメータは定数であり、密度関数の中でパラメータのみを含み変数を含まない項は、分布の正規化係数（密度の下の面積、つまり定義域内の 何か が発生する確率が1になることを保証する乗法係数）の一部です。この正規化係数は、分布の核 の外側にあります。
パラメータは定数であるため、異なるパラメータを用いて密度を再パラメータ化して、その族内の異なる確率変数を特徴付けるということは、単に新しいパラメータ値を古いパラメータ値の代わりに式に代入することを意味します。
複数の変数に関連する密度 連続確率変数 X 1 , ..., X n 結合確率密度関数と呼ばれます。この密度関数は n 個の変数の関数として定義され、変数X 1 , ..., X n の値のn 次元空間内の任意の領域D に対して、集合変数の実現が領域D 内に含まれる確率は次のようになります。 教授 （ X 1 、 … 、 X n ∈ D ） = ∫ D f X 1 、 … 、 X n （ x 1 、 … 、 x n ） d x 1 ⋯ d x n 。 {\displaystyle \Pr \left(X_{1},\ldots ,X_{n}\in D\right)=\int _{D}f_{X_{1},\ldots ,X_{n}}(x_{1},\ldots ,x_{n})\,dx_{1}\cdots dx_{n}.}
F ( x 1 , ..., x n X 1 ≤ x 1 , ..., X n x n ( X 1 , ..., X n )の 累積分布関数 である場合、同時確率密度関数は偏微分 として計算できます。f （ x ） = ∂ n F ∂ x 1 ⋯ ∂ x n | x {\displaystyle f(x)=\left.{\frac {\partial ^{n}F}{\partial x_{1}\cdots \partial x_{n}}}\right|_{x}}
周辺密度 i = 1, 2, ..., n f X i x i X i X 1 , ..., X n n − 1 個f X 私 （ x 私 ） = ∫ f （ x 1 、 … 、 x n ） d x 1 ⋯ d x 私 − 1 d x 私 + 1 ⋯ d x n 。 {\displaystyle f_{X_{i}}(x_{i})=\int f(x_{1},\ldots ,x_{n})\,dx_{1}\cdots dx_{i-1}\,dx_{i+1}\cdots dx_{n}.}
独立 結合密度を持つ連続確率変数X 1 、 ...、X n は 独立である。 f X 1 、 … 、 X n （ x 1 、 … 、 x n ） = f X 1 （ x 1 ） ⋯ f X n （ x n ） 。 ${\displaystyle f_{X_{1},\ldots ,X_{n}}(x_{1},\ldots ,x_{n})=f_{X_{1}}(x_{1})\cdots f_{X_{n}}(x_{n}).}$
系 n 個の確率変数のベクトルの同時確率密度関数が、1つの変数の n 個の関数の積に因数分解できる場合f X 1 、 … 、 X n （ x 1 、 … 、 x n ） = f 1 （ x 1 ） ⋯ f n （ x n ） 、 {\displaystyle f_{X_{1},\ldots ,X_{n}}(x_{1},\ldots ,x_{n})=f_{1}(x_{1})\cdots f_{n}(x_{n}),} f i は n 個の 変数はすべて互いに 独立であり、それぞれの周辺確率密度関数は次のように与えられる。 f X 私 （ x 私 ） = f 私 （ x 私 ） ∫ f 私 （ x ） d x 。 {\displaystyle f_{X_{i}}(x_{i})={\frac {f_{i}(x_{i})}{\int f_{i}(x)\,dx}}.}
例 この基本的な例は、2つの変数の関数という単純なケースで、多次元確率密度関数の上記の定義を示しています。R → {\displaystyle {\vec {R}}} ランダムベクトル （X 、Y ） ：R → {\displaystyle {\vec {R}}} 正のx y 教授 （ X > 0 、 Y > 0 ） = ∫ 0 ∞ ∫ 0 ∞ f X 、 Y （ x 、 y ） d x d y 。 {\displaystyle \Pr \left(X>0,Y>0\right)=\int _{0}^{\infty }\int _{0}^{\infty }f_{X,Y}(x,y)\,dx\,dy.}
確率密度関数における確率変数の関数と変数変換 確率変数（またはベクトル） X f X ( x )Y = g ( X )f g ( X )f Yを生成するために使用されます。
期待値E( g ( X )) を求めるには、まず新しい確率変数Y = g ( X ) の確率密度f g ( X )E （ g （ X ） ） = ∫ − ∞ ∞ y f g （ X ） （ y ） d y 、 {\displaystyle \operatorname {E} {\big (}g(X){\big )}=\int _{-\infty }^{\infty }yf_{g(X)}(y)\,dy,} E （ g （ X ） ） = ∫ − ∞ ∞ g （ x ） f X （ x ） d x 。 {\displaystyle \operatorname {E} {\big (}g(X){\big )}=\int _{-\infty }^{\infty }g(x)f_{X}(x)\,dx.}
X g ( X )が 単射関数で ある必要はありません。場合によっては、後者の積分の方が前者よりもはるかに簡単に計算できます。「無意識の統計学者の法則」 を参照してください。
スカラーからスカラーへ させてg : R → R {\displaystyle g:\mathbb {R} \to \mathbb {R} } が単調関数 である場合、結果として得られる密度関数は[ 4 ] f Y （ y ） = f X （ g − 1 （ y ） ） | d d y （ g − 1 （ y ） ） | 。 {\displaystyle f_{Y}(y)=f_{X}{\big (}g^{-1}(y){\big )}\left|{\frac {d}{dy}}{\big (}g^{-1}(y){\big )}\right|.}
ここでg −1 は逆関数 を表します。
これは、微分領域に含まれる確率が変数変換に対して不変でなければならないという事実から導かれる。つまり、 | f Y （ y ） d y | = | f X （ x ） d x | 、 {\displaystyle \left|f_{Y}(y)\,dy\right|=\left|f_{X}(x)\,dx\right|,} f Y （ y ） = | d x d y | f X （ x ） = | d d y （ x ） | f X （ x ） = | d d y （ g − 1 （ y ） ） | f X （ g − 1 （ y ） ） = | （ g − 1 ） ′ （ y ） | ⋅ f X （ g − 1 （ y ） ） 。 {\displaystyle f_{Y}(y)=\left|{\frac {dx}{dy}}\right|f_{X}(x)=\left|{\frac {d}{dy}}(x)\right|f_{X}(x)=\left|{\frac {d}{dy}}{\big (}g^{-1}(y){\big )}\right|f_{X}{\big (}g^{-1}(y){\big )}={\left|\left(g^{-1}\right)'(y)\right|}\cdot f_{X}{\big (}g^{-1}(y){\big )}.}
単調でない関数の場合、 y の確率密度関数は次のようになります。 ∑ k = 1 n （ y ） | d d y g k − 1 （ y ） | ⋅ f X （ g k − 1 （ y ） ） 、 {\displaystyle \sum _{k=1}^{n(y)}\left|{\frac {d}{dy}}g_{k}^{-1}(y)\right|\cdot f_{X}{\big (}g_{k}^{-1}(y){\big )},} 、n ( y )x における解の数である。g （ x ） = y {\displaystyle g(x)=y} g k − 1 （ y ） {\displaystyle g_{k}^{-1}(y)}
ベクトルからベクトルへ x を f を持つn 次元確率変数とする。y = G ( x ) （ ただしG 微分 可能な関数 ）の場合、yの密度 p Y p Y （ y ） = f （ G − 1 （ y ） ） | 検出 [ d G − 1 （ z ） d z | z = y ] | {\displaystyle p_{Y}(\mathbf {y} )=f{\Bigl (}G^{-1}(\mathbf {y} ){\Bigr )}\left|\det \left[\left.{\frac {dG^{-1}(\mathbf {z} )}{d\mathbf {z} }}\right|_{\mathbf {z} =\mathbf {y} }\右]\右|} y G (⋅) の逆関数のヤコビアン とみなされる。[ 5 ]
例えば、2 次元の場合x = ( x 1 , x 2 )Gが y 1 = G 1 ( x 1 , x 2 )y 2 = G 2 ( x 1 , x 2 )x 1 = G 1 −1 ( y 1 , y 2 )x 2 = G 2 −1 ( y 1 , y 2 )y 1 , y 2 )の同時分布の密度は[ 6 ] です。 p Y 1 、 Y 2 （ y 1 、 y 2 ） = f X 1 、 X 2 （ G 1 − 1 （ y 1 、 y 2 ） 、 G 2 − 1 （ y 1 、 y 2 ） ） | ∂ G 1 − 1 ∂ y 1 ∂ G 2 − 1 ∂ y 2 − ∂ G 1 − 1 ∂ y 2 ∂ G 2 − 1 ∂ y 1 | 。 {\displaystyle p_{Y_{1},Y_{2}}(y_{1},y_{2})=f_{X_{1},X_{2}}{\big (}G_{1}^{-1}(y_{1},y_{2}),G_{2}^{-1}(y_{1},y_{2}){\big )}\left\vert {\frac {\partial G_{1}^{-1}}{\partial y_{1}}}{\frac {\partial G_{2}^{-1}}{\partial y_{2}}}-{\frac {\partial G_{1}^{-1}}{\partial y_{2}}}{\frac {\partial G_{2}^{-1}}{\partial y_{1}}}\right\vert .}
ベクトルをスカラーに変換 させてV : R n → R {\displaystyle V:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} } X {\displaystyle X} R n {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}} f X {\displaystyle f_{X}} X {\displaystyle X} δ （ ⋅ ） {\displaystyle \delta (\cdot )} ディラックのデルタ 関数 とする。上記の式を用いて決定することができる。f Y {\displaystyle f_{Y}} Y = V （ X ） {\displaystyle Y=V(X)} f Y （ y ） = ∫ R n f X （ x ） δ （ y − V （ x ） ） d x 。 {\displaystyle f_{Y}(y)=\int _{\mathbb {R} ^{n}}f_{X}(\mathbf {x} )\delta {\big (}y-V(\mathbf {x} ){\big )}\,d\mathbf {x} .}
この結果は、無意識の統計学者の法則 につながる。 E Y [ Y ] = ∫ R y f Y （ y ） d y = ∫ R y ∫ R n f X （ x ） δ （ y − V （ x ） ） d x d y = ∫ R n ∫ R y f X （ x ） δ （ y − V （ x ） ） d y d x = ∫ R n V （ x ） f X （ x ） d x = E X [ V （ X ） ] 。 {\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {E} _{Y}[Y]&=\int _{\mathbb {R} }yf_{Y}(y)\,dy\\&=\int _{\mathbb {R} }y\int _{\mathbb {R} ^{n}}f_{X}(\mathbf {x} )\delta {\big (}y-V(\mathbf {x} ){\big )}\,d\mathbf {x} \,dy\\&=\int _{{\mathbb {R} }^{n}}\int _{\mathbb {R} }yf_{X}(\mathbf {x} )\delta {\big (}y-V(\mathbf {x} ){\big )}\,dy\,d\mathbf {x} \\&=\int _{\mathbb {R} ^{n}}V(\mathbf {x} )f_{X}(\mathbf {x} )\,d\mathbf {x} =\operatorname {E} _{X}[V(X)].\end{aligned}}}
証拠：
させてZ {\displaystyle Z} p Z （ z ） = δ （ z ） {\displaystyle p_{Z}(z)=\delta (z)} X ～ {\displaystyle {\tilde {X}}} H {\displaystyle H} H （ Z 、 X ） = [ Z + V （ X ） X ] = [ Y X ～ ] 。 {\displaystyle H(Z,X)={\begin{bmatrix}Z+V(X)\\X\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}Y\\{\tilde {X}}\end{bmatrix}}.}
明らかにH {\displaystyle H} H − 1 {\displaystyle H^{-1}} d H − 1 （ y 、 x ～ ） d y d x ～ = [ 1 − d V （ x ～ ） d x ～ 0 n × 1 私 n × n ] 、 {\displaystyle {\frac {dH^{-1}(y,{\tilde {\mathbf {x} }})}{dy\,d{\tilde {\mathbf {x} }}}}={\begin{bmatrix}1&-{\frac {dV({\tilde {\mathbf {x} }})}{d{\tilde {\mathbf {x} }}}}\\\mathbf {0} _{n\times 1}&\mathbf {I} _{n\times n}\end{bmatrix}},} これは主対角線 が1の 上三角行列 であるため、その行列式は1です。前のセクションの変数変換定理を適用すると、次のようになります。 f Y 、 X （ y 、 x ） = f X （ x ） δ （ y − V （ x ） ） 、 {\displaystyle f_{Y,X}(y,x)=f_{X}(\mathbf {x} )\delta {\big (}y-V(\mathbf {x} ){\big )},} x {\displaystyle x}
独立な確率変数の合計 それぞれが確率密度関数を持つ2つの独立な 確率変数U V 畳み込みによって表される。 f U + V （ x ） = ∫ − ∞ ∞ f U （ y ） f V （ x − y ） d y = （ f U * f V ） （ x ） {\displaystyle f_{U+V}(x)=\int _{-\infty }^{\infty }f_{U}(y)f_{V}(x-y)\,dy=\left(f_{U}*f_{V}\right)(x)}
前述の関係を、密度U 1 、 ...、U N f U 1 + ⋯ + U （ x ） = （ f U 1 * ⋯ * f U N ） （ x ） {\displaystyle f_{U_{1}+\cdots +U}(x)=\left(f_{U_{1}}*\cdots *f_{U_{N}}\right)(x)}
これは、独立な確率変数の商に関する以下の例と同様に、Y = U + V Z = V
独立な確率変数の積と商 それぞれが確率密度関数を持つ2つの独立な確率変数U V Y = UV Y = U / Vの密度を計算することができる。
例：商の分布 2つの独立な確率変数U V Y = U / V Y = U / V Z = V {\displaystyle {\begin{aligned}Y&=U/V\\[1ex]Z&=V\end{aligned}}}
次に、変数をU 、Vから Y 、Z に変換することで結合密度p ( y 、z )Z を周辺化することで Y
逆変換は U = Y Z V = Z {\displaystyle {\begin{aligned}U&=YZ\\V&=Z\end{aligned}}}
ヤコビ行列 式の絶対値 J （ U 、 V ∣ Y 、 Z ） {\displaystyle J(U,V\mid Y,Z)} | 検出 [ ∂ u ∂ y ∂ u ∂ z ∂ v ∂ y ∂ v ∂ z ] | = | 検出 [ z y 0 1 ] | = | z | 。 {\displaystyle \left|\det {\begin{bmatrix}{\frac {\partial u}{\partial y}}&{\frac {\partial u}{\partial z}}\\{\frac {\partial v}{\partial y}}&{\frac {\partial v}{\partial z}}\end{bmatrix}}\right|=\left|\det {\begin{bmatrix}z&y\\0&1\end{bmatrix}}\right|=|z|.}
したがって： p （ y 、 z ） = p （ u 、 v ） J （ u 、 v ∣ y 、 z ） = p （ u ） p （ v ） J （ u 、 v ∣ y 、 z ） = p U （ y z ） p V （ z ） | z | 。 {\displaystyle p(y,z)=p(u,v)\,J(u,v\mid y,z)=p(u)\,p(v)\,J(u,v\mid y,z)=p_{U}(yz)\,p_{V}(z)\,|z|.}
そして、 Z を周辺化することで Y p （ y ） = ∫ − ∞ ∞ p U （ y z ） p V （ z ） | z | d z {\displaystyle p(y)=\int _{-\infty }^{\infty }p_{U}(yz)\,p_{V}(z)\,|z|\,dz}
この方法では、 U 、Vから Y 、Z への変換が全単射で あることが極めて重要です。上記の変換は、 Z を V V U / V が単調で あるため、この条件を満たしています。これは、和U + V U − V UV
全く同じ方法を用いて、複数の独立した確率変数の他の関数の分布を計算することもできる。
例：2つの標準正規分布の商 2つの標準正規 変数U V p （ u ） = 1 2 π e − u 2 / 2 p （ v ） = 1 2 π e − v 2 / 2 {\displaystyle {\begin{aligned}p(u)&={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}e^{-{u^{2}}/{2}}\\[1ex]p(v)&={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}e^{-{v^{2}}/{2}}\end{aligned}}}
上記で説明したように、私たちは変革を行います。 Y = U / V Z = V {\displaystyle {\begin{aligned}Y&=U/V\\[1ex]Z&=V\end{aligned}}}
これは以下のことにつながります。 p （ y ） = ∫ − ∞ ∞ p U （ y z ） p V （ z ） | z | d z = ∫ − ∞ ∞ 1 2 π e − 1 2 y 2 z 2 1 2 π e − 1 2 z 2 | z | d z = ∫ − ∞ ∞ 1 2 π e − 1 2 （ y 2 + 1 ） z 2 | z | d z = 2 ∫ 0 ∞ 1 2 π e − 1 2 （ y 2 + 1 ） z 2 z d z = ∫ 0 ∞ 1 π e − （ y 2 + 1 ） u d u u = 1 2 z 2 = − 1 π （ y 2 + 1 ） e − （ y 2 + 1 ） u | u = 0 ∞ = 1 π （ y 2 + 1 ） {\displaystyle {\begin{aligned}p(y)&=\int _{-\infty }^{\infty }p_{U}(yz)\,p_{V}(z)\,|z|\,dz\\[5pt]&=\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}e^{-{\frac {1}{2}}y^{2}z^{2}}{\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}e^{-{\frac {1}{2}}z^{2}}|z|\,dz\\[5pt]&=\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {1}{2\pi }}e^{-{\frac {1}{2}}\left(y^{2}+1\right)z^{2}}|z|\,dz\\[5pt]&=2\int _{0}^{\infty }{\frac {1}{2\pi }}e^{-{\frac {1}{2}}\left(y^{2}+1\right)z^{2}}z\,dz\\[5pt]&=\int _{0}^{\infty }{\frac {1}{\pi }}e^{-\left(y^{2}+1\right)u}\,du&&u={\tfrac {1}{2}}z^{2}\\[5pt]&=\left.-{\frac {1}{\pi \left(y^{2}+1\right)}}e^{-\left(y^{2}+1\right)u}\right|_{u=0}^{\infty }\\[5pt]&={\frac {1}{\pi \left(y^{2}+1\right)}}\end{aligned}}}
これは標準コーシー分布 の密度です。
参考文献 ↑ 「AP統計学レビュー - 密度曲線と正規分布」 。 2015年4月2日にオリジナルからアーカイブ済み。2015年3月16日 に取得。 ↑ Ord , JK (1972) Families of Frequency Distributions 、Griffin。ISBN 0-85264-137-0 （例えば、表5.1および例5.4を参照） ↑ Scalas, Enrico (2025). 経済学者のための確率論入門 (PDF) . 自費出版。p. 28. 2024年12月10日のオリジナルから アーカイブ (PDF) 。 2025年 7月30日 取得 。 ↑ Siegrist, Kyle (2020年5月5日). "確率変数の変換" . LibreTexts Statistics . 2023年 12月22日 取得 . ↑ デヴォア、ジェイ・L.、バーク、ケネス・N. (2007). 『応用を伴う現代数理統計学』 . センゲージ. p. 263. ISBN 978-0-534-40473-4 。↑ David, Stirzaker (2007-01-01). Elementary Probability . Cambridge University Press. ISBN 978-0521534284 OCLC 851313783
さらに読む ビリングスリー、パトリック （1979）。確率と測度 。ニューヨーク、トロント、ロンドン：ジョン・ワイリー・アンド・サンズ。ISBN 0-471-00710-2 。カセラ、ジョージ ；バーガー、ロジャー L. (2002).統計的推論 （第2 版）. トムソン・ラーニング. pp. 34–37 . ISBN 0-534-24312-6 。スティルザカー、デイビッド（2003）。初等確率論 。ISBN 0-521-42028-8 。 
![{\displaystyle \Pr[a\leq X\leq b]=\int _{a}^{b}f_{X}(x)\,dx.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/45fd7691b5fbd323f64834d8e5b8d4f54c73a6f8)
![{\displaystyle [x,x+dx]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f07271dbe3f8967834a2eaf143decd7e41c61d7a)
![{\displaystyle \Pr[X\in A]=\int _{X^{-1}A}\,dP=\int _{A}f\,d\mu }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/591b4a96fefea18b28fe8eb36d3469ad6b33a9db)
![{\displaystyle \operatorname {E} [X]=\int _{-\infty }^{\infty }x\,f(x)\,dx.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/00ce7a00fac378eafc98afb88de88d619e15e996)
![{\displaystyle p_{Y}(\mathbf {y} )=f{\Bigl (}G^{-1}(\mathbf {y} ){\Bigr )}\left|\det \left[\left.{\frac {dG^{-1}(\mathbf {z} )}{d\mathbf {z} }}\right|_{\mathbf {z} =\mathbf {y} }\右]\右|}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/48cc1c800c9d64079df336d91594f175aa00dfa0)
![{\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {E} _{Y}[Y]&=\int _{\mathbb {R} }yf_{Y}(y)\,dy\\&=\int _{\mathbb {R} }y\int _{\mathbb {R} ^{n}}f_{X}(\mathbf {x} )\delta {\big (}yV(\mathbf {x} ){\big )}\,d\mathbf {x} \,dy\\&=\int _{{\mathbb {R} }^{n}}\int _{\mathbb {R} }yf_{X}(\mathbf {x} )\delta {\big (}yV(\mathbf {x} ){\big )}\,dy\,d\mathbf {x} \\&=\int _{\mathbb {R} ^{n}}V(\mathbf {x} )f_{X}(\mathbf {x} )\,d\mathbf {x} =\operatorname {E} _{X}[V(X)].\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/58c30855928bdd65fba2414df1e5aa755e204602)
![{\displaystyle {\begin{aligned}Y&=U/V\\[1ex]Z&=V\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/878eef546b1fb56d8cd6843edf0d6666642a77e2)
![{\displaystyle {\begin{aligned}p(u)&={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}e^{-{u^{2}}/{2}}\\[1ex]p(v)&={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}e^{-{v^{2}}/{2}}\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ad1edf70beff1658f6db7cafd4dd84111b4d3c0c)
![{\displaystyle {\begin{aligned}p(y)&=\int _{-\infty }^{\infty }p_{U}(yz)\,p_{V}(z)\,|z|\,dz\\[5pt]&=\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}e^{-{\frac {1}{2}}y^{2}z^{2}}{\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}e^{-{\frac {1}{2}}z^{2}}|z|\,dz\\[5pt]&=\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {1}{2\pi }}e^{-{\frac {1}{2}}\left(y^{2}+1\right)z^{2}}|z|\,dz\\[5pt]&=2\int _{0}^{\infty }{\frac {1}{2\pi }}e^{-{\frac {1}{2}}\left(y^{2}+1\right)z^{2}}z\,dz\\[5pt]&=\int _{0}^{\infty }{\frac {1}{\pi }}e^{-\left(y^{2}+1\right)u}\,du&&u={\tfrac {1}{2}}z^{2}\\[5pt]&=\left.-{\frac {1}{\pi \left(y^{2}+1\right)}}e^{-\left(y^{2}+1\right)u}\right|_{u=0}^{\infty }\\[5pt]&={\frac {1}{\pi \left(y^{2}+1\right)}}\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/63983efb2501c35f094487a9c6473a30e9405551)