箱ひげ図

ボックスはQ _1からQ ₃まで描かれ、中央値を表す水平線が内部に描かれています。ボックスプロットの中には、データの平均値を表す追加の文字が含まれているものもあります。^{[ 8 ] [ 9 ]}

ヒゲは観測されたデータポイントで終点となる必要がありますが、その定義方法は様々です。最も単純な方法では、下側のヒゲの境界はデータセットの最小値、上側のヒゲの境界はデータセットの最大値となります。このように定義方法にばらつきがあるため、ヒゲと外れ値に使用されている規則を箱ひげ図のキャプションに記載するのが適切です。

ヒゲの境界としてよく用いられるもう 1 つの方法は、1.5 IQR 値に基づくものです。上側四分位数 ( Q ₃ ) から IQR の 1.5 倍の距離を測り、この距離内に収まるデータセットの最大の観測データ ポイントまでヒゲを描きます。同様に、下側四分位数 ( Q ₁ )から IQR の 1.5 倍の距離を測り、この距離内に収まるデータセットの最小の観測データ ポイントまでヒゲを描きます。ヒゲは観測データ ポイントで終わらなければならないため、両側で 1.5 IQR が同じであっても、ヒゲの長さは不均等に見えることがあります。ヒゲの境界外にあるその他の観測データ ポイントはすべて外れ値としてプロットされます。^{[ 10 ]}外れ値は、ボックス プロットにドット、小さな円、星などとしてプロットできます(以下の例を参照)。

ひげが他のいくつかのものを表す表現方法もあります。例えば、次のようなものです。

• データセットの平均値から上下1標準偏差の範囲
• データセットの9パーセンタイルと91パーセンタイル
• データセットの第2パーセンタイルと第98パーセンタイル

まれに、箱ひげ図はひげなしでプロットされることがあります。これは、ひげ（および外れ値）によって観測された実際の値が明らかにならないようにするために、機密情報に適している場合があります。^{[ 11 ]}

2%、9%、91%、98%といった通常とは異なるパーセンタイル値は、7数要約を表すために、ヒゲの斜線やヒゲの端に使用されることがあります。データが正規分布している場合、箱ひげ図上の7つの目盛りの位置は等間隔になります。箱ひげ図によっては、各ヒゲの端の前に斜線が引かれる場合もあります。

一日を通して、1時間ごとの気温が華氏で測定されました。記録された値は、次の順にリストされています（°F）：57、57、57、58、63、66、66、67、67、68、69、70、70、70、70、72、73、75、75、76、76、78、79、81。

データセットの箱ひげ図は、まずこのデータセットの関連する 5 つの値 (最小値、最大値、中央値 ( Q ₂ )、第 1 四分位数 ( Q ₁ )、および第 3 四分位数 ( Q ₃ )) を計算することによって生成できます。

最小値はデータセットの中で最も小さい数値です。この場合、記録された最低気温は57°Fです。

最大値とは、データセットの中で最も大きい数値のことです。この場合、記録された最高気温は81°Fです。

中央値とは、順序付けられたデータセットの「真ん中」の値のことです。つまり、要素のちょうど50%が中央値より小さく、50%が中央値より大きいということです。この順序付けられたデータセットの中央値は70°Fです。

第1四分位値（_Q1または25パーセンタイル）は、順序付けられたデータセットの4分の1を示す数値です。言い換えれば、要素のちょうど25%が第1四分位値より小さく、ちょうど75%がそれより大きいということです。第1四分位値は、最小値と中央値の「中間」の数値を見つけることで簡単に求めることができます。時間ごとの気温の場合、57°Fと70°Fの間の「中間」の数値は66°Fです。

第3四分位値（_Q3または75パーセンタイル）は、順序付けられたデータセットの4分の3を示す数値です。言い換えれば、要素の75%が第3四分位値より小さく、25%がそれより大きいということです。第3四分位値は、中央値と最大値の間の「中間」の数値を見つけることで簡単に求められます。時間ごとの気温の場合、70°Fと81°Fの間の「中間」の数値は75°Fです。

_{四分位範囲（IQR）は、第3四分位値（ Q3} ）から第1四分位値（ Q1 ）を差し引くことで計算できます。

${\displaystyle {\text{IQR}}=Q_{3}-Q_{1}=75^{\circ }F-66^{\circ }F=9^{\circ }F.}$

したがって、$1.5IQR=1.5‡‡F=13.5‡F。$

第3四分位数より1.5 IQR高い値は次のとおりです。

${\displaystyle Q_{3}+1.5{\text{ IQR}}=75^{\circ }F+13.5^{\circ }F=88.5^{\circ }F.}$

第1四分位数から1.5 IQR下回る値は次のとおりです。

${\displaystyle Q_{1}-1.5{\text{ IQR}}=66^{\circ }F-13.5^{\circ }F=52.5^{\circ }F.}$

箱ひげ図の上側のひげの境界線は、第3四分位数から1.5 IQR以内にある最大のデータ値です。ここでは、第3四分位数から1.5 IQRは88.5°Fであり、最大値は81°Fです。したがって、上側のひげは最大値である81°Fの位置に描かれます。

同様に、箱ひげ図の下側のひげの境界線は、第1四分位数から1.5 IQR以内の最小データ値です。ここでは、第1四分位数から1.5 IQR以内は52.5°Fであり、最小値は57°Fです。したがって、下側のひげは最小値である57°Fに描画されます。

上記は外れ値を含まない例です。以下は、外れ値を含む箱ひげ図を作成する例です。

記録された温度の順序付きセットは (°F): 52、57、57、58、63、66、66、67、67、68、69、70、70、70、70、72、73、75、75、76、76、78、79、89 です。

この例では、最初と最後の数値のみが変更されています。中央値、第3四分位数、第1四分位数は変わりません。

この場合、このデータセットの最大値は89°Fで、第3四分位数から1.5 IQR上の値は88.5°Fです。最大値は1.5 IQRと第3四分位数を加えた値よりも大きいため、外れ値となります。したがって、上側のひげは、第3四分位数から1.5 IQR上の値よりも小さい最大値、つまり79°Fに描画されます。

同様に、このデータセットの最小値は52°Fであり、第1四分位数から1.5 IQR下は52.5°Fです。最小値は1.5 IQRから第1四分位数を引いた値よりも小さいため、最小値も外れ値です。したがって、下側のひげは、第1四分位数から1.5 IQR下よりも大きい最小値、つまり57°Fに描画されます。

多数のデータポイントを含むデータセットから箱ひげ図を作成する別の例を以下に示します。

経験的分位数を計算するための一般式

${\displaystyle q_{n}(p)=x_{(k)}+\alpha (x_{(k+1)}-x_{(k)})}$

$\displaystyle{\text{ただし}}k=[p(n+1)]{\text{および}}\alpha=p(n+1)-k}$

ここ${\displaystyle x_{(k)}}$これはデータポイントの一般的な順序を表します（つまり、${\displaystyle i<k}$、 それから${\displaystyle x_{(i)}<x_{(k)}}$）

上記の例では、24個のデータポイント（n = 24）を使用して、中央値、第1四分位数、第3四分位数を数学的に、または視覚的に計算することができます。

中央値

${\displaystyle {\begin{aligned}q_{n}(0.5)&=x_{(12)}+(0.5\cdot 25-12)\cdot (x_{(13)}-x_{(12)})\\[5pt]&=70+(0.5\cdot 25-12)\cdot (70-70)=70^{\circ }{\text{F}}\end{aligned}}}$

第1四分位

${\displaystyle {\begin{aligned}q_{n}(0.25)&=x_{(6)}+(0.25\cdot 25-6)\cdot (x_{(7)}-x_{(6)})\\[5pt]&=66+(0.25\cdot 25-6)\cdot (66-66)=66^{\circ }{\text{F}}\end{aligned}}}$

第3四分位数

${\displaystyle {\begin{aligned}q_{n}(0.75)&=x_{(18)}+(0.75\cdot 25-18)\cdot (x_{(19)}-x_{(18)})\\[5pt]&=75+(0.75\cdot 25-18)\cdot (75-75)=75^{\circ }{\text{F}}\end{aligned}}}$