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乗算という数学的演算は、音楽にさまざまな形で応用されています。音程の周波数比への応用(純正律や平均律における2 の 12 乗根など) 以外にも、十二音技法や音楽集合論などにも使われています。さらに、リング変調は乗算を伴う電気的なオーディオ処理で、音楽効果に使われています。
乗法演算は、引数を乗算するマッピングです。[ 3 ]乗法は、音程の拡張、たとえばバルトーク・ベーラやベルクの音楽における音列順序数回転などから直感的に生まれました。[4]ピッチ数回転、Fünferreiheまたは「5系列」およびSiebenerreiheまたは「7系列」は、エルンスト・クレネックによってÜber neue Musicで初めて説明されました。[5] [4]プリンストンを拠点とする理論家、ジェームズ・K・ランドール[6]、ゴッドフリー・ウィンハム[ 7]、ヒューバート・S・ハウ[8]は、「十二音系列に限らず、最初にこれを議論し採用した」人物でした。 [9]
ピッチクラスの乗算（12を法とする）
ピッチクラスのセットを扱う場合、12 を法とする乗算は一般的な操作です。12個のトーンすべて、つまりトーン列を扱う場合、行に掛け合わせても 12 個の異なるトーンのセットになる数はわずかです。素数または変更されていない形式を P 0とすると、乗算はM xで示され、xは乗数です。
- M x ( y ) ≡ xy mod 12
次の表は、半音階の 12 音列のすべての可能な乗算を示します。
M 1、 M 5、 M 7、 M 11だけが1 対 1 のマッピング (12 個の固有の音の完全なセット)を与えることに注意してください。これは、これらの各数が 12 と互いに素であるためです。また興味深いのは、半音階がM 5で4 度圏に、または M 7で 5 度圏にマッピングされ、より一般的には M 7の下ではすべての偶数が同じままで、奇数が3 全音で転置されることです。この種の乗算は、転置操作と頻繁に組み合わせられます。これは、 Herbert Eimertによって「Quartverwandlung」(4 度変換) および「Quintverwandlung」(5 度変換) という用語で印刷物で初めて説明され、[10]作曲家のMilton Babbitt、[11] [12] Robert Morris、[13] Charles Wuorinenによって使用されました。[14]この操作は、ジャズの特定の和声変換も説明します。[15]
したがって、2つの意味のある演算（5と7）による乗算は、 M 5 ( a )とM 7 ( a )、またはMとIMで表されることがあります。[4]
- M 1 = アイデンティティ
- M 5 = 4度音程変換
- M 7 = 五度循環変換
- M 11 = 反転
- 男11男5 = 男7
- 男7男5 = 男11
- M 5 M 5 = M 1
- 男7男11男5 = 男1
- ...
ピッチ乗算
ピエール・ブーレーズ[16] [疑わしい–議論する] は、ピッチ乗算と呼ばれる操作を説明しました。これは、ピッチクラスセットの直積に多少似ています[説明が必要]。2つのセットが与えられた場合、ピッチ乗算の結果は、元の2つのセット間のすべての可能な要素の組み合わせの合計（ 12を法とする）のセットになります。その定義は次のとおりです。
たとえば、 C メジャーコードにC、D を含む 2 和音を掛け合わせると、結果は次のようになります。
この例では、3 つのピッチのセットに 2 つのピッチのセットを掛け合わせると、3 × 2 の新しいピッチのセットが得られます。モジュロ 12 演算のスペースが限られているため、この手順を使用すると、非常に頻繁に重複した音が生成されますが、通常は省略されます。この技法は、ブーレーズの 1955 年のLe Marteau sans maîtreで最もよく使用され、また、ピアノソナタ第 3 番、Structures II 、 Pli selon pliの "Don" と "Tombeau" 、Éclat (およびÉclat/Multiples )、Figures—Doubles—Prismes、Domaines、Cummings ist der Dichter、および撤回された合唱作品Oubli signal lapidé (1952) でも使用されています。[17] [18] [19]この演算は、算術乗算や集合クラスの転置的結合と同様に可換である。[20]
ハワード・ハンソンは、この可換な数学的畳み込み演算を「重ね合わせ」[21]または「@-投影」と呼び、「/」表記法を互換的に使用しました。したがって、「p@m」または「p/m」は「長三度における完全五度」を意味します。例: { CEGB }。彼は特に、2 つの三和音形式をこのように掛け合わせたり、三和音をそれ自体で掛け合わせたりして、結果として生じる音階を生成できることに注目しました。後者の三和音の「二乗」は、ソース三和音のインスタンスで非常に飽和した特定の音階を生成します。[22]したがって、ハンソンが一般的な長三和音に付けた名前「pmn」は、二乗すると「PMN」になります。例: { CDEGG ♯ B }。
ニコラス・スロニムスキーは、この非一般化された操作を使用して、対称的な 三全音、増和音、減七和音、全音階に、彼が補間、下補間、超補間と呼ぶ3つの要素の合計を掛け合わせることで1300の音階を形成しました。[23]補間、下補間、超補間の組み合わせは、斜めに下補間、下超補間、下間超補間を形成し、加算的に合計すると、実質的に第2の響きになります。この第2の響きに第1の響きを掛け合わせると、音階とそのハーモナイズを生成するための彼の公式が得られます。
ジョセフ・シリンガーは、この未発達なアイデアを使って、19世紀から20世紀初頭の一般的な和声スタイルを、水平方向の和声の根音運動と垂直方向の和声構造の産物として分類しました。[24]彼が引用した作曲家のスタイルのいくつかは、次の掛け算表に示されています。
西洋音楽の 12 の音程を12 法の数学で近似して半音円を形成するということは、音程を極座標系の角度として、同じ音程の積み重ねを調和運動の関数として、転置を軸の周りの回転として考えることができることを意味します。したがって、上記の Hanson の乗算の例では、「p@m」または「p/m」(「完全 5 度を長 3 度で」、例: { CEGB }) は、「完全 5 度を、半音円の円周の 1/3 回転した完全 5 度に重ねたもの」も意味します。音程から角度の単位への変換表 (時計回りの回転の場合は負の数として扱われます) は次のとおりです。
この角度による音程の解釈は、音楽における乗算の非常に実際的な例である、鍵盤楽器の純正律調律を説明する際に使用されるオイラー・フォッカーの属を視覚化するのに役立ちます。 [25]各属は、「3 つの完全五度を積み重ねた」などの倍音関数、または { CGDF ♯ } などの他の音響を表し、正しい角度のコピーを掛けると、五度圏の12TETの円周空間をほぼ埋めます。音楽的にはきれいではありませんが、2 つの完全な非拍子の長三度からなる増三和音を調律し、次に (乗算して) 増和音の各音符の 2 つ上と 1 つ下の調律された五度を調律することは可能です。これがオイラー・フォッカーの属です [555]。「3 つの完全五度を積み重ねた」から始めて、これらの拍子のない音符から上下に調律された長三度を調律すると、異なる結果が得られます。これはオイラー-フォッカーの種数である[333]。
時間倍増
ジョセフ・シリンジャーは、上記のピッチ乗算とほぼ対応する「多項式時間乗算」（多項式とは、複数の持続時間からなるリズムを指す）の操作について説明しました。 [26]テーマは、テーマの各音符の4分音符、8分音符、または16分音符の持続時間を表す一貫した整数の列に縮小され、それ自体または別のテーマの列と乗算して、一貫性のある関連性のあるバリエーションを作成できます。特に、テーマの列を2乗または3乗したり、さらに高い乗数にしたりして、関連する素材の飽和状態を作成できます。
アフィン変換
ハーバート・アイマートは、 12音列の「8つのモード」と彼が呼ぶものについて説明しました。これらはすべて互いに鏡像関係にあります。逆は水平鏡で、逆行は垂直鏡で、逆行逆は水平鏡と垂直鏡の両方で、そして「4度変換の循環」またはQuartverwandlungと「5度変換の循環」またはQuintverwandlungは斜め鏡で得られます。[28]これらの変換の逆行と素数により、8つの順列が存在します。
さらに、鏡をある角度、つまり4度または5度の角度で動かすと、半音階の行が両方のサイクルに反映されます。...このようにして、行の4度サイクル変換と5度サイクル変換が得られます。<ref>Eimert 1950、29、Schuijer 2008、81で翻訳
ジョセフ・シリンガーは、対位法の逆、逆行、逆行逆（ユークリッドベクトル空間における行列乗算の操作）だけでなく、それらのリズム対応も取り入れました。したがって、同じ音高を同じ順序で使用しながら、元の時間値を逆行順序で使用して、テーマのバリエーションを記述することができました。彼は、この乗法宇宙の範囲が単純な反射を超えて、転置と回転（おそらくソースへの投影を含む）だけでなく、以前は時間次元に限定されていた拡大（拡大と縮小を介して）も含むと考えました。[29]したがって、彼は、連続する各音符のペア間の半音カウントを何らかの係数で乗算することで、おそらくモジュロ-12演算を介してオクターブに正規化することで、テーマの別のバリエーション、または基本的な音階さえも記述することができました。（[30]
Z関係
Zに関連するいくつかのコードは、 APICベクトルの1と5のエントリが同一であるため、MまたはIM （5の乗算または7の乗算）で接続されています。[31]
参考文献
- ^ Antokoletz 1993, 260、Schuijer 2008, 77–78 で引用
- ^ シュイジャー2008、79。
- ^ ラーン1980、53。
- ^ abc シュイジャー2008、77-78。
- ^ クレネク 1937年。
- ^ ランドール 1962年。
- ^ ウィンハム 1970年。
- ^ ハウ 1965年。
- ^ シュイジャー2008、81。
- ^ アイマート1950、29-33。
- ^ モリス 1997、238、242–43。
- ^ ウィンハム1970、65-66。
- ^ モリス1997、238-239、243。
- ^ ヒバード1969年、157-158ページ。
- ^ モリス1982、153-154。
- ^ ブーレーズ 1971, 39-40, 79-80.
- ^ コブリャコフ 1990, 32.
- ^ ハイネマン 1993年。
- ^ ハイネマン 1998.
- ^ ハイネマン 1993, 24.
- ^ ハンソン1960、44、167。
- ^ ハンソン1960、167。
- ^ スロニムスキー 1947、v.
- ^ シリンガー 1941, 147.
- ^ フォッカー 1987年。
- ^ Schillinger 1941, 70–? [ページが必要]。
- ^ Eimert 1950、[ページが必要] Schuijer 2008、80に若干の変更を加えて転載
- ^ アイマート1950、28-29。
- ^ Schillinger 1941, 187ff [ページが必要]。
- ^ Schillinger 1941, 115ff, 208ff [ページが必要]。
- ^ シュイジャー2008、98n18。
出典
- アントコレッツ、エリオット。1993年。「中期弦楽四重奏曲」。マルコム・ギリーズ編『バルトーク・コンパニオン』、257～277ページ。ロンドン：フェイバー＆フェイバー。ISBN 0-571-15330-5 （ケース入り）；ISBN 0-571-15331-3（ペーパーバック）。
- ピエール・ブーレーズ. 1971. 『ブーレーズによる今日の音楽』.スーザン・ブラッドショーとリチャード・ロドニー・ベネット訳. マサチューセッツ州ケンブリッジ：ハーバード大学出版局. ISBN 0-674-08006-8 .
- アイマート、ヘルベルト。 1950年。レールブーフ デア ツヴェルフトンテクニック。ヴィースバーデン：ブライトコプフ＆ハーテル。
- フォッカー、アドリアン・ダニエル。 1987.厳選された楽曲。ユトレヒト：ディアパソン・プレス。ISBN 90-70907-11-9。
- ハンソン、ハワード. 1960.現代音楽のハーモニックマテリアル. ニューヨーク：アップルトン・センチュリー・クロフトス.
- ハイネマン、スティーブン。 1993.ブーレーズの Le Marteau sans maitre におけるピッチクラス集合乗算。 DMA ディスカッション、ワシントン大学。
- ハイネマン、スティーブン。1998 年。「ピッチ クラス セットの乗算の理論と実践」音楽理論スペクトラム20、第 1 号 (春): 72–96。
- ヒバード、ウィリアム。1969年。「チャールズ・ウーリネン：ハーモニーの政治学」。Perspectives of New Music 7、第2号（春夏）：155-166。
- ハウ、ヒューバート S. 1965.「ピッチ構造のいくつかの組み合わせ特性」Perspectives of New Music 4、第1号（秋冬）：45–61。
- コブリャコフ、レフ。1990年。ピエール・ブーレーズ：ハーモニーの世界。クール：ハーウッド・アカデミック・パブリッシャーズ。ISBN 3-7186-0422-1。
- クレネック、エルンスト。 1937. Über neue Musik: Sechs Vorlesungen zur Einführung in die theoretischen Grundlagen。ウィーン：リングブッフハンドルング。
- モリス、ロバート D. 1982. レビュー:「ジョン・ラーン、『基礎無調理論』。ニューヨーク:ロングマン、1980年」。音楽理論スペクトラム4:138–154。
- モリス、ロバート D. 1997.「Odds and Endsに関するいくつかのコメント」Perspectives of New Music 35、第 2 号 (夏): 237–256。
- ラーン、ジョン。1980 年。『基礎無調理論』。ロングマン音楽シリーズ。ニューヨークおよびロンドン: ロングマン。再版、ニューヨーク: シルマー ブックス、ロンドン: コリア マクミラン、1987 年。
- Randall, James K. 1962.「ピッチと時間の相関関係」。未発表。Schuijer 2008、82 に引用。
- シリンジャー、ジョセフ。 1941年。シリンジャーシステムによる作曲。ニューヨーク：カール・フィッシャー。ISBN 0306775220。
- Schuijer, Michiel. 2008. 「無調音楽の分析：ピッチクラス集合理論とその文脈」Eastman Studies in Music 60.ロチェスター、ニューヨーク：ロチェスター大学出版局。ISBN 978-1-58046-270-9。
- スロニムスキー、ニコラス. 1947.スケールとメロディックパターンのシソーラス. ニューヨーク：チャールズスクリブナーサンズ. ISBN 002-6118505 .
- ウィンハム、ゴッドフリー。1970 年。「アレイによる作曲」。Perspectives of New Music 9、第 1 号 (秋冬): 43–67。
さらに読む
- ロサダ、キャサリン C. 2014.「複雑な乗算、構造、プロセス：ブーレーズの『構造』におけるハーモニーと形式 II」。音楽理論スペクトラム36、第 1 号 (春): 86–120。
- モリス、ロバート D. 1977.「多重順序関数の 12 音列の生成について」。音楽理論ジャーナル21、第 2 号 (秋): 238–262。
- モリス、ロバート D. 1982–83。「集合体なしの組み合わせ性」。Perspectives of New Music 21、第 1 号および第 2 号 (秋冬/春夏): 432–486。
- モリス、ロバート D. 1990.「ピッチクラス補完とその一般化」。音楽理論ジャーナル34、第 2 号 (秋): 175–245。
- スター、ダニエル V. 1978.「集合、不変性、および分割」音楽理論ジャーナル22、第 1 号:1–42。
