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十二音技法を用いた音楽において、組み合わせ性は十二音列に共通する性質であり、列の各セクションとその変形の比例数が組み合わさって集合体（全十二音）を形成する。[1]音列によって作られた集合体のピッチが同時に発生する必要がないのと同様に、組み合わせによって作られた集合体のピッチも同時に発生する必要はない。十二音技法の考案者であるアルノルド・シェーンベルクは、P-0/I-5 を組み合わせて「それぞれの最初の六和音とそれぞれの 2 番目の六和音の間に 2 つの集合体」を作成することが多かった。[1]
組み合わせ性は派生行の副作用であり、最初のセグメントまたはセットをその変換 (T、R、I、RI) と組み合わせて行全体を作成することができます。「派生とは、たとえば、行の最初の三和音を使用して、転置、反転、逆行、逆行反転という標準的な 12 音操作を適用することで、新しい「派生」行に到達するプロセスを指します。」[2]
組み合わせ特性はセット内の音の順序には依存せず、セットの内容にのみ依存し、組み合わせ性は3つのテトラコルダル[壊れたアンカー]間、4つのトリコルダルセット間、ヘキサコルドのペア間、[3]、および6つのダイアド間に存在する可能性があります。[4]この文脈での補数は、組み合わせピッチクラスセットの半分であり、最も一般的には、ピッチクラスセット、テクスチャ、またはピッチ範囲を含む任意のペアの「もう半分」です。
意味
最も一般的な補完とは、ピッチクラスの集合を2つの補完集合に分離することであり、一方には他方には含まれないピッチクラスが含まれる。[1]より限定的に言えば、補完とは「対称中心の両側にある実体をペアにするプロセス」である。[5]
「「コンビナトリアル」という用語は、 1950年にミルトン・バビットによって十二音音楽に初めて適用されたようです」[ 7 ]。バビットは、ルネ・ライボヴィッツの著書『シェーンベルクとその学校』と『十二音音楽とは何か?』[8]のレビューを発表した際に使用しました。バビットは導出行という用語も導入しました[2] 。
六弦の組み合わせ性
12 音列は、それぞれの最初の (および 12 音列自体が定義により集合体を形成するため 2 番目の) ヘキサコルドが集合体を形成する場合、別の 12 音列とヘキサコルドの組み合わせ性を持ちます。
組み合わせには主に 4 つの種類があります。ヘキサコードには次の種類があります。
そしてこうなります:
- 半組み合わせ（上記のいずれかによる）
- 全組み合わせ（全員）
ヘキサコルドのプライム（移調的）な組み合わせ性とは、ヘキサコルドが 1 つ以上の移調音と集合体を形成するという特性を指します。あるいは、移調的組み合わせ性とは、ヘキサコルドとその 1 つ以上の移調音との間に共通のピッチ クラスがないことです。たとえば、0 2 4 6 8 t と、それを 1 半音（+1）移調した 1 3 5 7 9 e には、共通の音符はありません。
逆行性六音階の組み合わせ性は、どの行もそれ自体と逆行性六音階の組み合わせ性を持つため、自明であると考えられます (すべての音行は逆行性の組み合わせ性を持ちます)。
反転の組み合わせ性とは、2 つの行、つまり主行とその反転行の関係です。主行の最初の半分、つまり 6 つの音符は、反転行の最後の 6 つの音符ですが、順序が必ずしも同じである必要はありません。したがって、各行の最初の半分は、他方の補数になります。同じ結論が各行の後半にも当てはまります。結合されたとき、これらの行は完全に半音階的な感覚を維持し、自由に結合された行で起こる可能性のある特定のピッチを調性中心として強化する傾向はありません。たとえば、上記のシェーンベルクのモーゼとアロンの行には、0 1 4 5 6 7 が含まれていますが、これを反転すると、0 e 8 7 6 5 になり、3 を加えると 2 3 8 9 t e になります。
01 4567 : 第 1 ヘクサコルド P0/第 2 ヘクサコルド I3 23 89te : 第2ヘクサコルド P0/第1ヘクサコルド I3 完全な半音階
逆行反転の組み合わせ性とは、行とその逆行反転のヘキサコード間に共有ピッチが存在しないことです。
バビットは半組合せ行と全組合せ行についても説明しました。後者は、その導出とその転置のいずれとも組合せ可能な行です。 半組み合わせ集合とは、ヘキサコードが基本変換 (R、I、RI) のいずれかを転置して集合を形成できる集合です。反転のみによって半組み合わせとなるヘキサコードは 13 個あります。
(0) 0 1 2 3 4 6 // と 9 8 7 5 （１）０１２３５７／／と９８６４ （２）０１２３６７／／と９８５４ （３）０１２４５８／／と９７６３ （４）０１２４６８／／と９７５３ （５）０１２５７８／／と９６４３ （６）０１３４６９／／と８７５２ （７）０１３５７９／／と８６４２ （８）０１３５８９／／７６４２ｅｔ （９）０１３６７９／／と８５４２ (10) 0 1 4 5 6 8 // 3 2 et 9 7 (11) 0 2 3 4 6 8 // 1 et 9 7 5 (12) 0 2 3 5 7 9 // 1 et 8 6 4
音程ベクトルにゼロを含むヘキサコルドは、転置的組み合わせ性を備えています (言い換えると、組み合わせ性を実現するために、ヘキサコルドは、含まれる音と等しい音程で転置することはできません)。たとえば、転置によって組み合わせ性を持つヘキサコルドが 1 つあります (T6)。
(0) 0 1 3 4 5 8 // 6 7 9 テ 2
どちらのヘクサコードにも三全音は含まれません。
全組み合わせ集合とは、その六角形が、その基本変換のいずれかを転置した集合を形成できる集合です。6 つのソース集合、つまり基本的な六角形の全組み合わせ集合があり、各六角形はそれ自体の中で並べ替えることができます。
(あ) 0 1 2 3 4 5 // 6 7 8 9 て (B) 0 2 3 4 5 7 // 6 8 9 テ 1 （C）0 2 4 5 7 9 // 6 8 テ 1 3 (D) 0 1 2 6 7 8 // 3 4 5 9 て （E）0 1 4 5 8 9 // 2 3 6 7 て (F) 0 2 4 6 8 t // 1 3 5 7 9 e
注: t = 10、e = 11。
最初の 3 つのセット ( A、B、C ) はそれぞれ 1 つの移調値に対して 4 つの基準をすべて満たし、セットD は2 つの移調値に対して、セット E は3 つの値に対して、セット Fは 6 つの移調に対して、これら 4 つのグループをそれぞれ「第 1 次」、「第 2 次」、「第 3 次」、「第 6 次」の全組み合わせヘクサコードと呼んでいます。[13]最初のセット「A」は上昇する半音階の最初の 6 つの音であり、最後のセット「F」は全音階であることに注意してください。[14]
組み合わせ性は 12 個の音すべての集合を作成するために使用される場合もありますが、この用語は単に組み合わせの行をまとめて指す場合が多いです。
ヘキサコルドの組み合わせ性は、ポストトーナル理論におけるヘキサコルドの組み合わせを説明する概念であり、第2ウィーン楽派の音楽に関連してよく使用されます。12の半音階音すべてを一貫して使用する音楽（特に十二音音楽と列音音楽）では、集合体（12のピッチクラスの集合）を2つのヘキサコルド（6つのピッチの集合）に分割することができます。これにより集合体が2つの小さな部分に分割されるため、音符の順序付け、列または集合体間の進行、音符と集合体の組み合わせが容易になります。
場合によっては、ヘキサコルドがそれ自体の反転または転置されたバージョンと組み合わされ、集合体（12 の半音階の完全なセット）になることもあります。
シェーンベルクが使用した列 (B ♭ =0: 0 6 8 5 7 e 4 3 9 t 1 2) は、2 つのヘクサコルドに分けられます。
B ♭ EF ♯ E ♭ FA // DC ♯ GG ♯ BC
最初のヘキサコードを反転して転置すると、2 番目のヘキサコードを並べ替えた次のヘキサコードが生成されます。
GC ♯ BDCG ♯ = DC ♯ GG ♯ BC
したがって、元のヘキサコード 1 (P0) を、ヘキサコード 1 の転置された反転音 (この場合は I9) に重ねると、12 の音程の完全なコレクションが完成します。転置された反転行 (I9) の残りの部分を続けて、元のヘキサコード 2 を重ねると、再び 12 の半音階の完全なコレクションが完成します。
ヘキサコルドの組み合わせ性は、1921年にヨゼフ・マティアス・ハウアーが考案した44の比喩の理論と密接に関連しているが、ハウアーはバビットに全く影響を与えなかったようだ。さらに、少なくとも1942年より前にはハウアーが比喩の反転特性について広範な知識を持っていたことを示す証拠はほとんどない。[17]しかし、ヘキサコルドの組み合わせ関係に関する最も古い記録は、オーストリアの作曲家で音楽理論家であるオトマー・シュタインバウアーの理論的著作の中に見出すことができる。[a]彼は1930年代初頭に比喩システムに関する詳細な研究に着手し、それは未発表のタイプ原稿Klang- und Meloslehre (1932)に記録されている。 1932年から1934年にかけてのシュタインバウアーの資料には、半組み合わせセットや全組み合わせセットを含む、組み合わせ三和音、四和音、六和音に関する包括的なデータが含まれている。したがって、これらは音楽史上最古の記録である可能性がある。[18]シュタインバウアーの形態論資料の編集物は、1960年に彼の原稿Lehrbuch der Klangreihenkomposition (著者版)とともに部分的に公開され、2001年に再版された。[19]
三角的組み合わせ性
三弦的組み合わせ性は、三弦の組み合わせを通じて集合体を形成する列の能力です。「三弦的組み合わせ性は、3 個の区画に 4 つの列を同時に表示することを含みます。」[20]列に三弦的組み合わせ性、または他の形式が存在することは、他の形式の組み合わせ性の存在を排除するものではありません (少なくとも、すべての列形式とその逆行の間には、自明な六弦的組み合わせ性が存在します)。三弦的に派生したすべての列は、三弦的組み合わせ性を備えています。
注記
- ^ シュタインバウアー（1895–1962）は、アルノルド・シェーンベルクとヨーゼフ・マティアス・ハウアーの元生徒でした。de.wikipedia.orgのシュタインバウアーの記事を参照してください。
出典
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