平均律

曽侯儀の墓（戦国時代初期、紀元前5世紀頃の中国青銅器時代）で発見された多くの楽器の中には、完全な青銅製の鐘一式があり、ハ長調の7音5オクターブをカバーし、音域の中央には12半音が含まれている。^{[ 7 ]}

南北朝時代の数学者で370年から447年まで生きた何承天は、平均律の近似値を記述した。^{[ 8 ]}彼は、歴史上最も初期の平均律に関する近似数値列、900 849 802 758 715 677 638 601 570 536 509.5 479 450 を発表した。 ^{[ 9 ]}

明朝の王子、朱載堉は、父が提唱した平均律の考えに基づき、30年間研究に没頭した。彼は1580年に出版した『音楽暦融通』で自身の新しい音高理論を記述した。これに続き、 1584年には5,000ページに及ぶ著作『楽全書』で平均律の正確な数値仕様を公表した。[10] ジョセフ・ニーダム^も詳細な説明をしている。^{[ 6 ]}朱載堉は、弦と管の長さを^{12√2≈1.059463}で、管の長さを24√2で順次割ることにより、数学的に結果を得た。 ^[ 11 ^{] 12}回（ 1オクターブ）割った後、長さ^は2倍になった。

$$\displaystyle \left({\sqrt[{12}]{2}}\right)^{12}=2$$

同様に、84分割（7オクターブ）後、長さは128倍に分割された。

$${\displaystyle \left({\sqrt[{12}]{2}}\right)^{84}=2^{7}=128}$$

朱在寅は、平均律問題を数学的に解決した最初の人物として知られています。^{[ 12 ]}少なくとも一人の研究者は、中国にいたイエズス会士のマテオ・リッチがこの研究を自身の日記に記録し^{[ 12 ] [ 13 ]}、ヨーロッパに伝えた可能性があると提唱しています。（このテーマに関する標準的な資料には、そのような伝達についての言及はありません。^{[ 14 ]}） 1620年、朱の研究はヨーロッパの数学者によって参照されました。^{[ 13 ]}マレー・バーバーは、「平均律の正しい数値が印刷物として初めて登場したのは中国であり、蔡寅親王の素晴らしい解決策は依然として謎のままである」と述べています。^{[ 15 ]} 19世紀のドイツの物理学者ヘルマン・フォン・ヘルムホルツは『音の感覚について』の中で、中国の王子（下記参照）が7音の音階を導入し、オクターブを12の半音に分割することが中国で発見されたと記している。^{[ 16 ]}

朱在峪は、3オクターブにわたる36本の竹製の調律管を製作し、竹の種類、塗料の色、長さ、内径、外径の詳細な仕様を指示することで、平均律の理論を実証した。彼はまた、底部の空洞に調律管を隠した12弦の調律楽器も製作した。1890年、ブリュッセル音楽院博物館の学芸員であったヴィクトル＝シャルル・マヒヨンは、朱在峪の仕様に基づいて調律管を複製した。彼は、中国の音律理論は西洋の理論よりも調律管の長さについてより詳しく知っており、朱在峪のデータに基づいて複製された調律管は、この理論の正確さを証明していると述べた。

平均律に関する最も初期の議論の一つは、紀元前4世紀のアリストクセノスの著作に見られる。 ^{[ 17 ]}

ヴィンチェンツォ・ガリレイ（ガリレオ・ガリレイの父）は、12音平均律の実践的な提唱者の1人でした。彼は、すべての「移調調」で半音階の12音それぞれについて一連の舞曲組曲を作曲し、1584年の著書『フロニモ』で24+1のリチェルカースも出版しました。^{[ 18 ]}彼はリュートのフレットに18:17の比率を使用しました（ただし、純粋なオクターブには多少の調整が必要でした）。^{[ 19 ]}

ガリレイの同郷人でリュート奏者のジャコモ・ゴルザニスは、1567年までに平均律に基づいた音楽を作曲していた。^{[ 20 ]}ゴルザニスだけが全てのモードや調を探求したリュート奏者ではなかった。フランチェスコ・スピナチーノは、早くも1507年に「Recercare de tutti li Toni」（全ての音階でリチェルカーレ）を作曲した。 ^{[ 21 ]} 17世紀には、リュート奏者兼作曲家のジョン・ウィルソンが、全ての長調と短調で24曲を含む30曲の前奏曲集を作曲した。^{[ 22 ] [ 23 ]}ヘンリクス・グラマテウスは、1518年に平均律にかなり近いものを描いた。平均律における最初の調律規則は、ジョヴァンニ・マリア・ランフランコが「Scintille de musica」で示した。 ^{[ 24 ]}ザルリーノはガリレイとの論争で当初は平均律に反対したが、1588年の『Sopplimenti musicali』の中でリュートに関して最終的に平均律を認めた。

西洋で平均律が2の12乗根に関連して初めて言及されたのは、サイモン・ステヴィンの手稿『Van De Spiegheling der singconst』（1605年頃）であり、これは約3世紀後の1884年に死後出版された。^{[ 25 ]}しかし、彼の計算の精度が不十分だったため、彼が得た多くのコードの長さの数値は正しい値から1つまたは2つずれていた。^{[ 14 ]}その結果、サイモン・ステヴィンのコードの周波数比は統一された比率ではなく、音ごとに1つの比率となり、これはジーン・チョーによって誤りであると主張されている。^{[ 26 ]}

以下は、サイモン・ステヴィンの『Van de Spiegheling der singconst』からのコードの長さです。^{[ 27 ]}

一世代後、フランスの数学者マラン・メルセンヌは、ジャン・ボーグラン、イスマエル・ブイヨー、ジャン・ガルによって得られたいくつかの平均律の弦の長さを発表した。^{[ 28 ]}

1630年、ヨハン・ファウルハーバーは100セントのモノコード表を出版したが、対数表を使用したためにいくつかの誤りがあった。彼はどのようにして結果を得たのか説明しなかった。^{[ 29 ]}

1450 年頃から 1800 年頃まで、撥弦楽器奏者 (リュート奏者とギター奏者) は一般的に平均律を好んだ。^{[ 30 ]} 17 世紀末に編纂されたブロサールのリュート写本には、ボケに帰属される 18 曲の前奏曲が全調で収録されており、最後の前奏曲「全調の前奏曲」は異名同音的に全調を転調している。^{[ 31 ]}アンジェロ・ミケーレ・バルトロッティは、異名同音的に転調するパッセージでつながった全調のパッサカリアを出版した。17 世紀の鍵盤楽器作曲家の中では、ジローラモ・フレスコバルディが平均律を提唱した。ジュゼッペ・タルティーニなどの理論家は平均律の採用に反対した。彼らは、各和音の純粋さを低下させることは音楽の美的魅力を低下させると感じていたが、アンドレアス・ヴェルクマイスターは、死後に出版された1707年の論文で平均律を強く主張した。^{[ 32 ]}

12音平均律が普及した理由は様々である。既存の鍵盤楽器の設計に都合がよく適合し、あらゆる音程、特に不完全協和音に適度な不協和音が生じるという制約はあるものの、完全な和声の自由度を可能にした。これにより、異名同音転調による表現の幅が広がり、18世紀にはフランチェスコ・ジェミニアーニ、ヴィルヘルム・フリーデマン・バッハ、カール・フィリップ・エマヌエル・バッハ、ヨハン・ゴットフリート・ミュテルといった作曲家の音楽において非常に重要な役割を果たすようになった。12音平均律には不完全三度音程などの欠点もあったが、ヨーロッパが平均律に移行するにつれて、そのシステムに適合し不協和音を最小限に抑えるために、作曲する音楽も変化していった。

17世紀のサバティーニ法では、まずオクターブを3つの平均律長3度に分割することで、正確な平均律が可能となる。^{[ 33 ]}これは古典派時代にも複数の著述家によって提案された。ビートレートを用いずに、いくつかのチェックを用いて、ほぼ現代的な精度を達成する調律は、19世紀の最初の数十年間にはすでに行われていた。^{[ 34 ]} 1749年に初めて提案されたビートレートの使用は、19世紀後半にヘルムホルツとエリスによって普及した後、一般的になった。^{[ 35 ]}究極の精度は、1917年にホワイトによって出版された2つの10進表によって得られた。^{[ 36 ]}平均律の音程は、純正律のいくつかの音程に非常に近い。^{[ 37 ]}