適切な同値関係

代数幾何学は数学の一分野であり、適切な同値関係とは、滑らかな射影多様体の代数サイクル上の同値関係であり、そのようなサイクルの有効な理論、特に明確に定義された交差積を得るために用いられる。ピエール・サミュエルは1958年に適切な同値関係の概念を形式化した。^{[ 1 ]}それ以来、それは動機理論の中心となっている。すべての適切な同値関係に対して、その関係に関して純粋動機のカテゴリーを定義することができる。

可能な（そして有用な）適切な同値関係には、有理同値、代数同値、ホモロジー同値、数値同値が含まれます。これらが「適切」と呼ばれるのは、同値関係による除算が関数的、つまり（余次元の変更を伴う）プッシュフォワードとプルバックが明確に定義されているためです。有理同値による余次元1のサイクルは、線形同値による因子の古典的な群を形成します。有理同値によるすべてのサイクルは、チャウ環を形成します。

Z ^* ( X )  := Z [ X ] をXの代数サイクル上の自由アーベル群とする。このとき、適切な同値関係とは、Z ^* ( X )上の同値関係~ _Xの族であり、各滑らかな射影多様体Xに対して 1 つずつ存在し、次の 3 つの条件を満たす。

1. （線形性）等価関係はサイクルの加算と互換性がある。
2. （移動補題）もし${\displaystyle \alpha ,\beta \in Z^{*}(X)}$X上にサイクルが存在するならば、サイクルが存在する。${\displaystyle \alpha '\in Z^{*}(X)}$そのため${\displaystyle \alpha }$~ _X${\displaystyle \alpha '}$そして${\displaystyle \alpha '}$交差する${\displaystyle \beta }$きちんと。
3. （プッシュフォワード）${\displaystyle \alpha \in Z^{*}(X)}$そして${\displaystyle \beta \in Z^{*}(X\times Y)}$サイクルは、${\displaystyle \beta }$交差する${\displaystyle \alpha \times Y}$適切に。${\displaystyle \alpha }$~ _X 0 の場合${\displaystyle (\pi _{Y})_{*}(\beta \cdot (\alpha \times Y))}$~ _Y 0、ここで${\displaystyle \pi _{Y}:X\times Y\to Y}$これは投影図です。

最後の公理におけるプッシュフォワードサイクルは、しばしば次のように表記される。

${\displaystyle \beta (\alpha ):=(\pi _{Y})_{*}(\beta \cdot (\alpha \times Y))}$

もし${\displaystyle \beta }$が関数のグラフである場合、これは関数のプッシュフォワードに帰着します。X から Y への関数の一般化をX × Y上のサイクルに拡張したものは対応関係として知られています。最後の公理により、対応関係によってサイクルをプッシュフォワードすることができます。

最も一般的な同値関係を、強いものから弱いものへと順に、以下の表にまとめました。

• Kleiman, Steven L. (1972), "Motives", Oort, F. (編), Algebraic geometry, Oslo 1970 (Proc. Fifth Nordic Summer-School in Math., Oslo, 1970) , Groningen: Wolters-Noordhoff, pp. 53–82 , MR 0382267  
• Jannsen, U. ( 2000), "代数サイクル上の同値関係", The Arithmetic and Geometry of Algebraic Cycles, NATO, 200 , Kluwer Ac. Publ. Co.: 225–260