歪んだ正規分布

スキュー法線

確率密度関数
累積分布関数
パラメータ	${\displaystyle \xi \,}$ 位置（実数）スケール（正、実数）形状（実数） ${\displaystyle \omega \,}$ ${\displaystyle \alpha \,}$
サポート	${\displaystyle x\in (-\infty ;+\infty )\!}$
PDF	${\displaystyle {\frac {2}{\omega {\sqrt {2\pi }}}}e^{-{\frac {(x-\xi )^{2}}{2\omega ^{2} }}}\int _{-\infty }^{\alpha \left({\frac {x-\xi }{\omega }}\right)}{\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}e^{-{\frac {t^{2}}{2}}}\ \mathrm {d} t}$
ドイツ連邦共和国	${\displaystyle \Phi \left({\frac {x-\xi }{\omega }}\right)-2T\left({\frac {x-\xi }{\omega }},\alpha \right)}$ ${\displaystyle T(h,a)}$オーウェンのT関数
平均	${\displaystyle \xi +\omega \delta {\sqrt {\frac {2}{\pi }}}}$どこ${\displaystyle \delta ={\frac {\alpha }{\sqrt {1+\alpha ^{2}}}}}}$
モード	${\displaystyle \xi +\omega m_{o}(\alpha )}$
分散	${\displaystyle \omega ^{2}\left(1-{\frac {2\delta ^{2}}{\pi }}\right)}$
歪度	${\displaystyle \gamma _{1}={\frac {4-\pi }{2}}{\frac {\left(\delta {\sqrt {2/\pi }}\right)^{3}}{\left(1-2\delta ^{2}/\pi \right)^{3/2}}}}$
過剰尖度	${\displaystyle 2(\pi -3){\frac {\left(\delta {\sqrt {2/\pi }}\right)^{4}}{\left(1-2\delta ^{2}/\pi \right)^{2}}}}$
MGF の	${\displaystyle M_{X}\left(t\right)=2\exp \left(\xi t+{\frac {\omega ^{2}t^{2}}{2}}\right)\Phi \left(\omega \delta t\right)}$
CF	${\displaystyle e^{it\xi -t^{2}\omega ^{2}/2}\left(1+i\,{\textrm {Erfi}}\left({\frac {\delta \omega t}{\sqrt {2}}}\right)\right)}$

確率論と統計学において、歪んだ正規分布は、正規分布を一般化して非ゼロの歪度を許容する連続確率分布です。

標準正規確率密度関数を表すものとする。${\displaystyle \phi (x)}$

${\displaystyle \phi (x)={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}e^{-{\frac {x^{2}}{2}}}}$

累積分布関数は次のように表される。

${\displaystyle \Phi (x)=\int _{-\infty }^{x}\phi (t)\ \mathrm {d} t={\frac {1}{2}}\left[1+\operatorname {erf} \left({\frac {x}{\sqrt {2}}}\right)\right],}$

ここで「erf」は誤差関数です。パラメータを持つ歪正規分布の確率密度関数（pdf）は次のように与えられます。 ${\displaystyle \alpha}$

${\displaystyle f(x)=2\phi (x)\Phi (\alpha x).\,}$

この分布は、O'HaganとLeonard（1976）によって初めて導入されました。^[1]この分布の代替形式は、対応する分位関数とともに、AshourとAbdel-Hamid ^[2]およびMudholkarとHutson ^{[3]によって提示されています。}

この分布の基礎となる確率過程は、Andel、Netuka、Zvara (1984) によって説明されました。^{[4]この分布とその確率過程の基礎は、Chan と Tong (1986) [5]}によって開発された対称性の議論の結果であり、これは正規性を超えた多変量の場合、たとえば歪んだ多変量 t 分布などに適用されます。 この分布は、確率密度関数が の形式である一般的な分布のクラスの特殊なケースです。ここで、はゼロを中心に対称な任意のPDFであり、はPDF がゼロを中心に対称な任意のCDFです。 ^[6]${\displaystyle f(x)=2\phi (x)\Phi (x)}$${\displaystyle \phi (\cdot )}$${\displaystyle \Phi (\cdot )}$

これに位置パラメータとスケールパラメータを追加するには、通常の変換 を行います。 のとき正規分布が回復し、の絶対値が増加するにつれて歪度の絶対値が増加することを確認できます。 のとき分布は右に歪んでおり、 のとき分布は左に歪んでいます。 位置、スケール、パラメータを持つ確率密度関数は次のようになります。 ${\displaystyle x\rightarrow {\frac {x-\xi }{\omega }}}$${\displaystyle \alpha =0}$${\displaystyle \alpha}$${\displaystyle \alpha >0}$${\displaystyle \alpha <0}$${\displaystyle \xi}$${\displaystyle \omega}$${\displaystyle \alpha}$

${\displaystyle f(x)={\frac {2}{\omega }}\phi \left({\frac {x-\xi }{\omega }}\right)\Phi \left(\alpha \left({\frac {x-\xi }{\omega }}\right)\right).\,}$

分布の歪度（ ）は、区間よりわずかに小さく制限されます（推定を参照）。 ${\displaystyle \gamma _{1}}$${\displaystyle (-1,1)}$

すでに示したように、^[7]分布のモード（最大値）は一意です。一般に、の解析的表現はありませんが、非常に正確な（数値的）近似は次のようになります。 ${\displaystyle m_{o}}$${\displaystyle \alpha }$${\displaystyle m_{o}}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}\delta &={\frac {\alpha }{\sqrt {1+\alpha ^{2}}}}\\m_{o}(\alpha )&\approx {\sqrt {\frac {2}{\pi }}}\delta -\left(1-{\frac {\pi }{4}}\right){\frac {\left({\sqrt {\frac {2}{\pi }}}\delta \right)^{3}}{1-{\frac {2}{\pi }}\delta ^{2}}}-{\frac {\mathrm {sgn} (\alpha )}{2}}e^{\left(-{\frac {2\pi }{|\alpha |}}\right)}\\\end{aligned}}}$$

、、およびに対する最尤推定値は数値的に計算できるが、 でない限り推定値の閉じた形式の表現は利用できない。対照的に、モーメント法では歪度方程式を次のように反転できるため、閉じた形式の表現が得られる。 ${\displaystyle \xi }$${\displaystyle \omega }$${\displaystyle \alpha }$${\displaystyle \alpha =0}$

${\displaystyle |\delta |={\sqrt {{\frac {\pi }{2}}{\frac {|\gamma _{1}|^{\frac {2}{3}}}{|\gamma _{1}|^{\frac {2}{3}}+((4-\pi )/2)^{\frac {2}{3}}}}}}}$

ここで、 の符号はの符号と同じです。したがって、、、となります。ここで、 およびは平均と標準偏差です。標本の歪度が大きすぎない限り、これらの式は標本の、、に基づいて、モーメント法による推定値、、を提供します。 ${\displaystyle \delta ={\frac {\alpha }{\sqrt {1+\alpha ^{2}}}}}$${\displaystyle \delta }$${\displaystyle \gamma _{1}}$${\displaystyle \alpha ={\frac {\delta }{\sqrt {1-\delta ^{2}}}}}$${\displaystyle \omega ={\frac {\sigma }{\sqrt {1-2\delta ^{2}/\pi }}}}$${\displaystyle \xi =\mu -\omega \delta {\sqrt {\frac {2}{\pi }}}}$${\displaystyle \mu }$${\displaystyle \sigma }$${\displaystyle {\hat {\gamma }}_{1}}$${\displaystyle {\hat {\alpha }}}$${\displaystyle {\hat {\omega }}}$${\displaystyle {\hat {\xi }}}$${\displaystyle {\hat {\mu }}}$${\displaystyle {\hat {\sigma }}}$${\displaystyle {\hat {\gamma }}_{1}}$

最大（理論的な）歪度は、歪度方程式で と設定して とすることで得られます。ただし、標本の歪度がこれより大きく、これらの方程式から決定できない可能性もあります。したがって、モーメント法を自動的に使用する場合、たとえば最大尤度反復の開始値を与える場合は、（たとえば） とする必要があります。 ${\displaystyle {\delta =1}}$${\displaystyle \gamma _{1}\approx 0.9952717}$${\displaystyle \alpha }$${\displaystyle |{\hat {\gamma }}_{1}|=\min(0.99,|(1/n)\sum {((x_{i}-{\hat {\mu }})/{\hat {\sigma }})^{3}}|)}$

歪んだ正規分布法がそれに基づく推論の信頼性に与える影響について懸念が表明されている。^[8]

指数関数的に修正された正規分布は、正規分布を歪んだケースに一般化したもう 1 つの 3 パラメータ分布です。歪んだ正規分布は、歪んだ方向に正規分布のような裾を持ち、反対方向には裾が短くなります。つまり、その密度は、ある正の に対してに漸近的に比例します。したがって、ランダム性の 7 つの状態の観点から見ると、「適切な軽度のランダム性」を示します。対照的に、指数関数的に修正された正規分布は、歪んだ方向に指数的な裾を持ち、その密度は に漸近的に比例します。同じ観点から見ると、「境界上の軽度のランダム性」を示します。 ${\displaystyle e^{-kx^{2}}}$${\displaystyle k}$${\displaystyle e^{-k|x|}}$

したがって、歪んだ正規分布は、正規分布よりも外れ値が多くない歪んだ分布をモデル化するのに役立ち、指数的に修正された正規分布は、（ただ）一方向の外れ値の発生率が増加するケースに役立ちます。

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• 対数正規分布

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• 歪正規確率分布（および歪tなどの関連分布）
• OWENS: Owen の T 関数は 2010-06-14 にWayback Machineにアーカイブされました
• クローズドスキュー分布 - シミュレーション、逆変換、パラメータ推定