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数学において、集合の部分集合の指示関数または特性関数とは、その部分集合の要素を1に、その他の要素を0に写像する関数のことである。つまり、集合Xの部分集合Aに対して、 Aの指示関数は次の関数である。$\displaystyle \mathbf {1} _{A}}$定義される${\displaystyle \mathbf {1} _{A}\!(x)=1}$もし${\displaystyle x\in A,}$そして$\displaystyle \mathbf {1} _{A}\!(x)=0}$それ以外の場合。その他の一般的な表記は𝟙 _Aおよび${\displaystyle \chi _{A}.}$^{[ a ]}

Aの指示関数は、 Aに属する性質のアイバーソン括弧です。つまり、

$$\displaystyle \mathbf {1} _{A}(x)=\left[\ x\in A\ \right].}$$

例えば、ディリクレ関数は、実数の部分集合としての有理数の指示関数である。

任意の集合Xが与えられたとき、 Xの部分集合Aの指示関数は次の関数である。 $${\displaystyle \mathbf {1} _{A}\colon X\rightarrow \{0,1\}}$$ 定義される $${\displaystyle \operatorname {\mathbf {1} } _{A}\!(x)={\begin{cases}1&{\text{if }}x\in A\\0&{\text{if }}x\notin A\,.\end{cases}}}$$

アイバーソンブラケットは同等の表記法を提供する${\displaystyle \left[\ x\in A\ \right]}$または⟦ x ∈ A ⟧、これは代わりに使用できます$\displaystyle \mathbf {1} _{A}\!(x).}$

機能$\displaystyle \mathbf {1} _{A}}$は_、 1 _A、IA、χ _A ^{[ a ]}または単にAと表記されることもあります。^{[ b ]}

表記法$\displaystyle \chi _{A}}$また、凸解析における特性関数を表すためにも使用され、これは、指示関数の標準的な定義の逆数を使用した場合と同様に定義されます。

統計学における関連概念として、ダミー変数があります。（これは、通常数学で用いられる「ダミー変数」、または「境界変数」と呼ばれる用語と混同してはいけません。）

「特性関数」という用語は、古典的な確率論においては無関係な意味を持つ。そのため、伝統的な確率論者は、ここで定義される関数に対してほぼ例外なく「指示関数」という用語を用いる一方、他の分野の数学者は、ある集合への所属を示す関数を説明する際に「特性関数」という用語を用いることが多い。

ファジィ論理や現代の多値論理では、述語は確率分布の特性関数である。つまり、述語の厳密な真偽判定は、真偽の度合いとして解釈される量に置き換えられる。

ある集合Xの部分集合Aの指示関数または特性関数は、 Xの要素を値域に写像する。${\displaystyle \{0,\,1\}.}$

この写像は、A がXの空でない真部分集合である場合にのみ全射です。${\displaystyle A=X,}$それから${\displaystyle \mathbf {1} _{A}\equiv 1.}$同様の議論により、${\displaystyle A=\emptyset }$それから$\displaystyle \mathbf {1} _{A}\equiv 0.}$

もし${\displaystyle A}$そして${\displaystyle B}$は 2 つのサブセットです${\displaystyle X,}$それから $${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {1} _{A\cap B}(x)~&=~\min {\bigl \{}\mathbf {1} _{A}(x),\ \mathbf {1} _{B}(x){\bigr \}}~~=~\mathbf {1} _{A}(x)\cdot \mathbf {1} _{B}(x),\\\mathbf {1} _{A\cup B}(x)~&=~\max {\bigl \{}\mathbf {1} _{A}(x),\ \mathbf {1} _{B}(x){\bigr \}}~=~\mathbf {1} _{A}(x)+\mathbf {1} _{B}(x)-\mathbf {1} _{A}(x)\cdot \mathbf {1} _{B}(x)\,,\end{aligned}}}$$

そして補数の指示関数${\displaystyle A}$つまり${\displaystyle A^{\complement }}$は： $$\displaystyle \mathbf {1} _{A^{\complement }}=1-\mathbf {1} _{A}.}$$

より一般的には、${\displaystyle A_{1},\dotsc ,A_{n}}$はXの部分集合の集合です。任意の に対して${\displaystyle x\in X:}$

$${\displaystyle \prod _{k\in I}\left(\ 1-\mathbf {1} _{A_{k}}\!\left(x\right)\ \right)}$$

これは0秒と1秒の積です。この積は、まさにこれらの点で1の値をとります。${\displaystyle x\in X}$どのセットにも属さないもの${\displaystyle A_{k}}$それ以外の場合は 0 です。

$${\displaystyle \prod _{k\in I}(1-\mathbf {1} _{A_{k}})=\mathbf {1} _{X-\bigcup _{k}A_{k}}=1-\mathbf {1} _{\bigcup _{k}A_{k}}。$$

左側の製品を展開すると、

$$\displaystyle \mathbf {1} _{\bigcup _{k}A_{k}}=1-\sum _{F\subseteq \{1,2,\dotsc ,n\}}(-1)^{|F|}\mathbf {1} _{\bigcap _{F}A_{k}}=\sum _{\emptyset \neq F\subseteq \{1,2,\dotsc ,n\}}(-1)^{|F|+1}\mathbf {1} _{\bigcap _{F}A_{k}}}$$

どこ${\displaystyle |F|}$はFの濃度です。これは包含排除原理の一形態です。

前の例が示唆するように、指示関数は組み合わせ論において有用な表記法です。この表記法は他の場所でも使用されており、例えば確率論では、 X が確率測度を持つ確率空間である場合、次のように表されます。${\displaystyle \mathbb {P} }$Aが可測集合である場合、$\displaystyle \mathbf {1} _{A}}$は、期待値がAの確率に等しい確率変数となる。

$$\displaystyle \operatorname {\mathbb {E} } _{X}\left\{\ \mathbf {1} _{A}(x)\ \right\}\ =\ \int _{X}\mathbf {1} _{A}(x)\ \operatorname {d\ \mathbb {P} } (x)=\int _{A}\operatorname {d\ \mathbb {P} } (x)=\operatorname {\mathbb {P} } (A).}$$

この恒等式は、マルコフの不等式の簡単な証明に用いられる。

順序理論など、多くの場合、指示関数の逆関数が定義されることがあります。これは一般に、初等整数論における指示関数の逆関数であるメビウス関数の一般化として、一般化メビウス関数と呼ばれます。（古典的な再帰理論における逆関数の使用については、以下の段落を参照してください。）

確率空間が与えられた場合${\displaystyle \textstyle (\Omega ,{\mathcal {F}},\operatorname {P} )}$と${\displaystyle A\in {\mathcal {F}},}$指標確率変数${\displaystyle \mathbf {1} _{A}\colon \Omega \rightarrow \mathbb {R} }$定義される${\displaystyle \mathbf {1} _{A}(\omega )=1}$もし${\displaystyle \omega \in A,}$さもないと${\displaystyle \mathbf {1} _{A}(\omega )=0.}$

平均

$\displaystyle \ \operatorname {\mathbb {E} } (\mathbf {1} _{A}(\omega ))=\operatorname {\mathbb {P} } (A)\ }$（「ファンダメンタルブリッジ」とも呼ばれる）。

分散

${\displaystyle \ \operatorname {Var} (\mathbf {1} _{A}(\omega ))=\operatorname {\mathbb {P} } (A)(1-\operatorname {\mathbb {P} } (A)).}$

共分散

$\displaystyle \ \operatorname {Cov} (\mathbf {1} _{A}(\omega ),\mathbf {1} _{B}(\omega ))=\operatorname {\mathbb {P} } (A\cap B)-\operatorname {\mathbb {P} } (A)\operatorname {\mathbb {P} } (B).}$

クルト・ゲーデルは、1934年の論文「形式数学体系の決定不能な命題について」の中で表現関数について記述した（記号「¬」は論理反転、すなわち「否定」を表す）：^{[ 1 ]： 42}

各クラスまたは関係Rには、対応する表現関数が存在する。$\displaystyle \phi (x_{1},\ldots x_{n})=0}$もし${\displaystyle R(x_{1},\ldots x_{n})}$そして$\displaystyle \phi (x_{1},\ldots x_{n})=1}$もし${\displaystyle \neg R(x_{1},\ldots x_{n}).}$

クリーネは、原始再帰関数の文脈で同じ定義を提示しており、述語Pの関数φ は、述語が真の場合は0 、述語が偽の場合は1の値を取る。 ^{[ 2 ]}

例えば、特性関数の積は${\displaystyle \phi _{1}*\phi _{2}*\cdots *\phi _{n}=0}$いずれかの関数が0に等しい場合、それは論理 OR の役割を果たします: IF${\displaystyle \phi _{1}=0\ }$または${\displaystyle \ \phi _{2}=0}$または...または${\displaystyle \phi _{n}=0}$すると、それらの積は0になります。現代の読者には表現関数の論理反転、つまり関数Rが「真」または満たされているときに表現関数が0 になるように見えるものは、クリーネによる論理関数 OR、AND、および IMPLY ^{[ 2 ] : 228} 、有界^{[ 2 ] : 228}および無界^{[ 2 ] : 279 ff}演算子、および CASE 関数の定義において有用な役割を果たします。^{[ 2 ] : 229}

古典数学では、集合の特性関数は1 (要素) または0 (非要素) の値のみをとります。ファジィ集合理論では、特性関数は実数単位区間[ 0, 1 ]の値をとるように一般化され、より一般的には、何らかの代数または構造(通常は少なくとも半順序集合または束である必要があります) の値をとります。このような一般化された特性関数は、通常メンバーシップ関数と呼ばれ、対応する「集合」はファジィ集合と呼ばれます。ファジィ集合は、「背が高い」、「暖かい」など、多くの現実世界の述語に見られるメンバーシップ度の段階的な変化をモデル化します。

一般に、集合の指示関数は滑らかではなく、その台が連結成分である場合に限り連続である。しかし、有限体の代数幾何学においては、すべてのアフィン多様体は（ザリスキ）連続な指示関数を持つ。^{[ 3 ]}関数の有限集合が与えられた場合${\displaystyle f_{\alpha }\in \mathbb {F} _{q}\left[\ x_{1},\ldots ,x_{n}\right]}$させて${\displaystyle V={\bigl \{}\ x\in \mathbb {F} _{q}^{n}:f_{\alpha }(x)=0\ {\bigr \}}}$それらの消失軌跡である。すると、関数は${\textstyle \mathbb {P} (x)=\prod \left(\ 1-f_{\alpha }(x)^{q-1}\right)}$指示関数として機能します${\displaystyle V.}$もし${\displaystyle x\in V}$それから${\displaystyle \mathbb {P} (x)=1,}$そうでなければ、一部の人にとって${\displaystyle f_{\alpha },}$我々は持っています${\displaystyle f_{\alpha }(x)\neq 0}$これはつまり${\displaystyle f_{\alpha }(x)^{q-1}=1,}$したがって${\displaystyle \mathbb {P} (x)=0.}$

指示関数は滑らかではないが、弱微分は可能である。例えば、ヘヴィサイド階段関数を考えてみよう。$${\displaystyle H(x)\equiv \operatorname {\mathbb {I} } \!{\bigl (}x>0{\bigr )}}$$ヘヴィサイド階段関数の分布微分は ディラックのデルタ関数に等しい。$${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} H(x)}{\mathrm {d} x}}=\delta (x)}$$ 同様に、分布微分は$${\displaystyle G(x):=\operatorname {\mathbb {I} } \!{\bigl (}x<0{\bigr )}}$$は$${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} G(x)}{\mathrm {d} x}}=-\delta (x).}$$

したがって、ヘヴィサイド階段関数の導関数は、正の半直線で与えられる領域の境界における内向き法線微分と見なすことができる。高次元では、導関数は自然に内向き法線微分に一般化され、ヘヴィサイド階段関数は自然にある領域Dの指示関数に一般化される。D の表面はSで表される。さらに、指示関数の内向き法線微分は表面デルタ関数を生み出すことが導き出され、それは次のように表される。${\displaystyle \delta _{S}(\mathbf {x} )}$: $${\displaystyle \delta _{S}(\mathbf {x} )=-\mathbf {n} _{x}\cdot \nabla _{x}\operatorname {\mathbb {I} } \!{\bigl (}\ \mathbf {x} \in D\ {\bigr )}\ }$$ ここでnは表面Sの外向き法線です。この「表面デルタ関数」は次の性質を持ちます: ^{[ 4 ]}$${\displaystyle -\int _{\mathbb {R} ^{n}}f(\mathbf {x} )\,\mathbf {n} _{x}\cdot \nabla _{x}\operatorname {\mathbb {I} } \!{\bigl (}\ \mathbf {x} \in D\ {\bigr )}\;\operatorname {d} ^{n}\mathbf {x} =\oint _{S}\,f(\mathbf {\beta } )\;\operatorname {d} ^{n-1}\mathbf {\beta } .}$$

関数f を1 に設定すると、指標の内向き法線微分を積分すると、表面積Sの数値になることがわかります。