発生代数

関係代数は群代数に類似しています。実際、群代数と関係代数はどちらも、同様に定義される圏代数の特殊な場合であり、群と半順序集合は圏の特殊な種類です。

ポセットの場合${\displaystyle (\mathbb {N} ,\leq ),}$縮小発生代数は関数から構成される${\displaystyle f(a,b)}$並進に対して不変であり、${\displaystyle f(a+k,b+k)=f(a,b)}$すべての人々のために${\displaystyle k\geq 0,}$同型区間 [ a + k , b + k ] と [ a , b ]で同じ値を持つようにする。tを、t ( a , a +1) = 1 、それ以外の場合はt ( a , b ) = 0 となる関数、つまり区間の同型クラス上の不変デルタ関数とする。その接続代数におけるべき乗は、他の不変デルタ関数t ⁿ ( a , a + n ) = 1、それ以外の場合はt ⁿ ( x , y ) = 0 である。これらは縮約接続代数の基底を形成し、任意の不変関数を次のように書くことができる。${\displaystyle \textstyle f=\sum _{n\geq 0}f(0,n)t^{n}}$この表記法は、縮約接続代数と形式的冪級数環との間の同型性を明確に示している。${\displaystyle R[[t]]}$スカラーR 上、通常の母関数の環としても知られています。ゼータ関数は次のように書くことができます。${\displaystyle \zeta =1+t+t^{2}+\cdots ={\tfrac {1}{1-t}},}$メビウス関数の逆数${\displaystyle \mu =1-t.}$

有限部分集合のブール順序集合の場合${\displaystyle S\subset \{1,2,3,\ldots \}}$包含順${\displaystyle S\subset T}$縮小発生代数は不変関数から構成される${\displaystyle f(S,T),}$同型区間 [ S , T ] と [ S ′ , T ′ ] において | T  \ S | = | T ′ \ S ′ | で同じ値を持つように定義されています。ここで、t を不変デルタ関数とし、| T \ S | = 1 のときはt ( S , T ) = 1 、それ以外の場合はt ( S , T ) = 0 とします。そのべき乗は次のとおりです。        $${\displaystyle t^{n}(S,T)=\,\sum t(T_{0},T_{1})\,t(T_{1},T_{2})\dots t(T_{n-1},T_{n})=\left\{{\begin{array}{cl}n!&{\text{if}}\,\,|T\smallsetminus S|=n\\0&{\text{otherwise,}}\end{array}}\right.}$$ここで、合計はすべての連鎖にわたるものである。${\displaystyle S=T_{0}\subset T_{1}\subset \cdots \subset T_{n}=T,}$そして、飽和鎖の場合のみ非ゼロの項が発生する。${\displaystyle |T_{i}\smallsetminus T_{i-1}|=1;}$これらはnの順列に対応するため、一意の非ゼロ値n ! が得られます。したがって、不変デルタ関数は分割されたべき乗です。${\displaystyle {\tfrac {t^{n}}{n!}},}$そして、任意の不変関数を次のように書くことができます。${\displaystyle \textstyle f=\sum _{n\geq 0}f(\emptyset ,[n]){\frac {t^{n}}{n!}},}$ここで [ n ] = {1, . . . , n } である。これにより、縮約接続代数と指数生成関数の環との間に自然な同型性が得られる。ゼータ関数は${\displaystyle \textstyle \zeta =\sum _{n\geq 0}{\frac {t^{n}}{n!}}=\exp(t),}$メビウス関数を使用： $${\displaystyle \mu ={\frac {1}{\zeta }}=\exp(-t)=\sum _{n\geq 0}(-1)^{n}{\frac {t^{n}}{n!}}.}$$ 実際、形式的冪級数を用いたこの計算は、${\displaystyle \mu (S,T)=(-1)^{|T\smallsetminus S|}.}$部分集合やラベル付きオブジェクトを含む多くの組み合わせ計数列は、縮約発生代数の観点から解釈でき、指数生成関数を用いて計算することができる。

整除性によって順序付けられた正の整数の半順序集合Dを考えます。${\displaystyle a\,|\,b.}$縮小発生代数は関数から構成される${\displaystyle f(a,b)}$乗法に対して不変であるもの：${\displaystyle f(ka,kb)=f(a,b)}$すべての人々のために${\displaystyle k\geq 1.}$（この区間の乗法的な同値性は、半順序集合の同型性よりもはるかに強い関係です。例えば、素数pに対して、2 要素の区間 [1, p ] はすべて同値ではありません。）不変関数f ( a , b ) はb / aのみに依存するため、自然な基底は不変デルタ関数で構成されます。${\displaystyle \delta _{n}}$定義される${\displaystyle \delta _{n}(a,b)=1}$b / a = nの場合、それ以外の場合は 0 とすると、任意の不変関数は次のように書ける。${\displaystyle \textstyle f=\sum _{n\geq 0}f(1,n)\,\delta _{n}.}$

2つの不変デルタ関数の積は次のようになります。

${\displaystyle (\delta _{n}\delta _{m})(a,b)=\sum _{a|c|b}\delta _{n}(a,c)\,\delta _{m}(c,b)=\delta _{nm}(a,b),}$

唯一の非ゼロ項はc = naおよびb = mc = nmaから生じるため、したがって、縮約接続代数から形式的ディリクレ級数の環への同型写像は、${\displaystyle \delta _{n}}$に${\displaystyle n^{-s}\!,}$したがって、fは${\textstyle \sum _{n\geq 1}{\frac {f(1,n)}{n^{s}}}.}$

入射代数ゼータ関数ζD ₍ a , b ) =1は、古典的なリーマンゼータ関数に対応する。${\displaystyle \zeta (s)=\textstyle \sum _{n\geq 1}{\frac {1}{n^{s}}},}$相互に${\textstyle {\frac {1}{\zeta (s)}}=\sum _{n\geq 1}{\frac {\mu (n)}{n^{s}}},}$どこ${\displaystyle \mu (n)=\mu _{D}(1,n)}$これは数論における古典的なメビウス関数です。他の多くの算術関数は縮約接続代数の中で自然に現れ、ディリクレ級数の観点からも同様に現れます。例えば、除数関数${\displaystyle \sigma _{0}(n)}$はゼータ関数の二乗であり、${\displaystyle \sigma _{0}(n)=\zeta ^{2}\!(1,n),}$上記の結果の特殊なケースとして、${\displaystyle \zeta ^{2}\!(x,y)}$区間 [ x , y ] 内の要素の数を示します。同等の、${\textstyle \zeta (s)^{2}=\sum _{n\geq 1}{\frac {\sigma _{0}(n)}{n^{s}}}.}$

除数半順序集合の積構造は、そのメビウス関数の計算を容易にする。素数への一意的な因数分解は、Dが無限デカルト積と同型であることを意味する。${\displaystyle \mathbb {N} \times \mathbb {N} \times \dots }$座標ごとの比較によって順序が決定される。 ${\displaystyle n=p_{1}^{e_{1}}p_{2}^{e_{2}}\dots }$、 どこ${\displaystyle p_{k}}$はk^番目の素数であり、その指数列に対応します。${\displaystyle (e_{1},e_{2},\dots ).}$ここで、 Dのメビウス関数は、上で計算した因子半順序集合のメビウス関数の積であり、古典的な公式が得られる。

${\displaystyle \mu (n)=\mu _{D}(1,n)=\prod _{k\geq 1}\mu _{\mathbb {N} }(0,e_{k})\,=\,\left\{{\begin{array}{cl}(-1)^{d}&{\text{for }}n{\text{ squarefree with }}d{\text{ prime factors}}\\0&{\text{otherwise.}}\end{array}}\right.}$

積の構造は、ゼータ関数の古典的なオイラー積も説明する。Dのゼータ関数は、上記で計算された因子のゼータ関数のデカルト積に対応する。${\textstyle {\frac {1}{1-t}},}$となることによって${\textstyle \zeta _{D}\cong \prod _{k\geq 1}\!{\frac {1}{1-t}},}$ここで右辺はデカルト積である。k^番目の因子の t を次の式に写す同型性を適用すると、${\displaystyle p_{k}^{-s}}$すると、通常のオイラー積が得られます。